八年级初二数学下学期勾股定理单元提优专项训练试卷

八年级初二数学下学期勾股定理单元提优专项训练试卷

一、解答题

1．如图，△ABC 中，90BAC ∠=?，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ?<∠

（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).

（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.

2．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8. (1)求证:△ADG ≌△BDF ； (2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；

(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (4)求线段EF 长度的最小值.

3．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．

（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．

（2）如图1，求AF的长．

（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．

①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．

4．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；

（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

5．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．

（1）如图1，求∠BGD的度数；

（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；

（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．

6．已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…

（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；

（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．

7．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离

()

()2

2

121212PP x x y y =

-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.

已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．

8．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题

问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．

（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．

（2）已知△PMN 中，PM 17，MN ＝5NP 13图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．

9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．

（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度； （2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ； （3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；

（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．

10．如图，己知Rt ABC ?，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .

（1）直接写出BC =__________，AC =__________； （2）求证：ABD ?是等边三角形；

（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；

（4）P 是直线AC 上的一点，且1

3

CP AC =

，连接PE ，直接写出PE 的长. 11．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．

（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．

12．已知：如图，在ABC ?中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）； （2）设,BC m AC n ==

①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求

m

n

的值.

13．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，2BC AC =.

(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ?的面积.

(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点

M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.

14．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．

（1）求证：AE ＝BD ；

（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；

（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．

15．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

16．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．

（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．

（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．

17．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；

（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；

（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．

18．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

19．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、

BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．

（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转

90?）；

（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长．

20．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）见解析；（2）∠ADC=45α?+；（3）2BD DE =

【分析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论. 【详解】

解：（1）如图所示；

（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α， ∴∠PAD=α，AB=AD ， ∵90BAC ∠=?， ∴902DAC α∠=?-， 又∵AB=AC ， ∴AD=AC ， ∴∠ADC=

1

[180(902)]2

α??-?-=45α?+； （3）如图，连接BE ，

由（2）知：∠ADC=45α?+， ∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α， ∴∠AED=45°，

∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ， ∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ， ∴∠BED=90°，

∴△BED 是等腰直角三角形， ∴22222BD BE DE DE =+=， ∴2BD DE =.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.

2．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5 【解析】 【分析】

（1）由D 是AB 中点知AD =BD ，结合DG =DF ，∠ADG =∠BDF 即可得证； （2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．

（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题． （4）由EF =22

EC CF +=2247(8)()33x x -+-=225

(4)259

x -+知x =4时，取得最小值． 【详解】

解：（1）∵D 是边AB 的中点， ∴AD =BD ，

在△ADG 和△BDF 中，

∵AD BD ADG BDF DG DF =??

∠=∠??=?

， ∴△ADG ≌△BDF （SAS ）； （2）如图，连接EG ．

∵DG =FD ，DF ⊥DE ， ∴DE 垂直平分FG ． ∴EF =EG ．

（3）∵D 是AB 中点， ∴AD =DB ， ∵△ADG ≌△BDF ， ∴∠GAB =∠B ∵AB =10,BC =6,AC =8. ∴2AB = 2BC + 2AC ∴∠ACB =90°，

∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°， ∴∠EAG =90°， ∵AE =x ，AC =8，

∴EC =8-x ， ∵∠ACB =90°， ∴EF 2=（8-x ）2+y 2， ∵△ADG ≌△BDF ， ∴AG =BF ， ∵CF =y ，BC =6， ∴AG =BF =6-y ， ∵∠EAG =90°， ∴EG 2=x 2+（6-y ）2， ∵EF =EG ，

∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2， ∴y =

473x -，（74＜x ＜25

4

）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =43x -7

3

，

∴EF

=

=

=

∵（x -4）2≥0， ∴

225

(4)259

x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5． 故线段EF 的最小值为5． 【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

3．（1）证明见解析；（2）AF ＝5cm ；（3）①有可能是矩形，P 点运动的时间是8，Q 的速度是0.5cm /s ；②t ＝203

． 【解析】 【分析】

（1）证△AEO ≌△CFO ，推出OE=OF ，根据平行四边形和菱形的判定推出即可； （2）设AF=CF=a ，根据勾股定理得出关于a 的方程，求出即可；

（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB 上，根据平行四边形的性质求出即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴AO＝OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵

AEO CFO

AOE COF AO OC

∠∠

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE＝OF，

∵OA＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形；

（2）解：设AF＝acm，

∵四边形AECF是菱形，

∴AF＝CF＝acm，

∵BC＝8cm，

∴BF＝（8﹣a）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，

a＝5，

即AF＝5cm；

（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，

Q的速度是：4÷8＝0.5，

即Q的速度是0.5cm/s；

②分为三种情况：第一、P在AF上，

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，

∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），

∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），

t＝20

3

，

第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

即t＝20

3

．

【点睛】

考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，用了方程思想，分类讨论思想．

4．（1）AB＝45；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为47.

【分析】

（1）根据勾股定理可求AB的长；

（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示DE，CE的长，即可证CE＝2DE；

（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC ＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证

△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．

【详解】

（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，

∴AO＝4，BO＝8，

在Rt△ABO中，AB＝2245

AO BO

+=

（2）如图，过点D作DF⊥AO，

∵DE＝DO，DF⊥AO，

∴EF ＝FO ， ∵m ＝4， ∴AO ＝BO ＝4，

∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°， ∵点C ，O 关于直线AB 对称，

∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，AO ＝AC ＝OB ＝BC ＝4， ∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°， ∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°， ∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°， ∴AF ＝DF ，

设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ， ∴AF ＝DF ＝4﹣x ，

在Rt △DEF 中，DE ＝()2

222242816EF DF x x x x +=+-=-+

在Rt △ACE 中，CE ＝()()

2

222164222816AC AE x x x +=+-=-+

∴CE ＝2DE ，

（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，

∵m ＝3， ∴OB ＝3 ∴tan ∠ABO ＝

3

3

43AO BO ==

， ∴∠ABO ＝30°

∵点C ，O 关于直线AB 对称，

∴AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝3，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°， ∴∠CAF ＝120°，∠CBO ＝60° ∵BM ⊥OB ，∠ABO ＝30°， ∴∠ABM ＝120°，

∴∠CAF ＝∠ABM ，且DB ＝AF ，BM ＝AO ＝AC ＝4， ∴△ACF ≌△BMD （SAS ） ∴CF ＝DM ，

∵CF+CD＝CD+DM，

∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，

即CF+CD的最小值为CM的长，

∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，

∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝43，

∴CN＝23，BN＝3CN＝6，

∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，

在Rt△CMN中，CM＝2247

CN MN

+=，

∴CD+CF的最小值为47.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

5．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝263．

【解析】

【分析】

（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由

∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；

（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由

CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；

（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；

【详解】

（1）解：如图1﹣1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，

在△DAE和△BDF中，

AD BD A BDF AE DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DAE ≌△BDF ， ∴∠ADE ＝∠DBF ，

∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°， ∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．

（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．

∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ， ∴△GMB 是等边三角形， ∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°， ∴∠MBD ＝∠GBC ， 在△MBD 和△GBC 中，

MB GB MBD GBC BD BC =??

∠=∠??=?

， ∴△MBD ≌△GBC ，

∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°， ∵CH ⊥BG ， ∴∠GCH ＝30°， ∴CG ＝2GH ，

∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ， ∴2GH ＝DG+GB ．

（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝3GCH ＝30°， ∴tan30°＝

GH

CH

， ∴GH ＝4， ∵BG ＝6， ∴BH ＝2，

在Rt △BCH 中，BC 22213BH CH += ∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，

∴S 四边形ABCD ＝2?S △BCD ＝2×4

×（2＝． 【点睛】

本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

6．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析. 【分析】

（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；

（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】

（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71． 理由如下：

根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意； 若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意； 若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意， 所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．

（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 理由如下：

对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 因为2

2

2

4

2

2

2

(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+

所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．

因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，

所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 【点睛】

考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用

7．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304

，）时，

PD+PF 【解析】

【分析】

（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状； （3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点. 【详解】

解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B -- ∴()()

22

AB 234813=

+++=

故A 、B 两点间的距离为：13.

∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1 ∴()MN 415=--= 故M 、N 两点的距离为5.

（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ∴()()

22

DE 13635=

++-=

()()

2

2

DF 14625=

-+-=

()()

2

2

EF 343252=

--+-=

∴DE=DF ，222DE DF EF += ∴△DEF 为等腰直角三角形 （3）

作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短 设直线DF'的解析式为y=kx+b 将D （1,6），F'（4，-2）代入得：

6

42k b k b +=??

+=-?

解得

8

3

26

3 k

b

?

=-??

?

?=

??

∴直线DF'的解析式为：

826 y

33

x

=

-+

令y=0，解得

13

x

4

=，即P的坐标为（

13

4

，）

∵PF=PF'

∴PD+PF=PD+PF'=DF'=()()

22

146273

-++=

故当P的坐标为（

13

4

，）时，PD+PF的长度最短，最短长度为73.

【点睛】

本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.

8．（1）13，17，10，

11

2

；（2）图见解析；7．

【分析】

（1）利用勾股定理求出AB，BC，AC，理由分割法求出△ABC的面积．

（2）模仿（1）中方法，画出△PMN，利用分割法求解即可．

【详解】

解：（1）如图1中，AB＝22

AE BE

+＝22

32

+＝13，BC＝22

BD CD

+＝22

14

+＝17，AC＝22

AF CF

+＝22

13

+＝10，

S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣

3

2

﹣2＝

11

2

，

故答案为13，17，10，

11

2

．

（2）△PMN如图所示．

S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，

故答案为7．

【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

9．（1）t ，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t 的值为2﹣1或2+1，BE =3． 【解析】 【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）根据SAS 即可证明△ADE ≌△CDF ；

（3）由△ADE ≌△CDF ，即可推出∠ADE =∠CDF ，推出∠EDF =∠ADC =90°； （4）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】

（1）由题意：AE =t ．

∵CA =CB ，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD =∠ACD =45°． 故答案为t ，45．

（2）∵∠ACB =90°，CA =CB ，CD ⊥AB ，∴CD =AD =BD ，∴∠A =∠DCB =45°． ∵AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）．

（3）∵点E 在边AC 上运动时，△ADE ≌△CDF ，∴∠ADE =∠CDF ，∴∠EDF =∠ADC =90°．

（4）①当点E 在AC 边上时，如图1．在Rt △ACB 中，∵∠ACB =90°，AC =CB ，AB =2，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB =1，AC =BC 2=．

∵CE =CD =1，∴AE =AC ﹣CE 2=-1，∴t 2=-1．

∵BC =22112+=

，∴BE =22EC BC +=12+=3；

②当点E 在AC 的延长线上时，如图2，AE =AC +EC 2=+1，∴t 2=+1．

∵BC =22112+=

，∴BE =22EC BC +=12+=3；

综上所述：满足条件的t 2121，BE 3 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．