(完整版)高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案)

高中思维训练班《高一数学》

第 1 讲 集合与函数 (上)

『本讲要点』 : 复杂的集合关系与运算、函数定义的深化 『重点掌握』 : 函数的迭代

1. 定义 M 与 P 的差集为 M-P={x | x ∈M 且 x 不∈P} , 若 A={y | y=x

2

}B={x | -3≤x ≤3} , 再定义 M △N =( M-N)∪(N-M )，求 A △ B

2. 集合 A={1,2,3} 中, 任意取出一个非空子集 , 计算它的各元素之和 .

则所有非空子集 的元素之和是 . 若 A={1,2,3, ,n} , 则所有子集的元素之和

数.若

A B {a 1,a 4} , a 1

a

4

10

. 且A

n 1000，

*4函数 f (n)

f(f(n 5))n 1000

5. 练 习 : 定 义 : f

(x) f(f(

f

(x)

n 个

＋ y)=f(x) ＋f(y) ＋xy 。求 f(x) ( 本

求 f (7)( 本讲重点迭代

3. 已知集合 A

{a 1,a 2,a 3,a 4

f 10(x) 1024x 1023 ．求 f (x) 的解析式． (本讲重点

迭代法

9. 求集合 A = {1,2,3, ,10} 所有非空子集的元素之和

10. 已知不等式 ax 2

+bx+c >0, 的解集是 {x|m < x < n},m >0, 求不等式 cx 2

+bx+a <0

的解集

作业答案 :7.8,8. 1/ n 2

+3n+1,9. 略,10. x<1/n 或 x>1/m

答案:

B-A={x|- 3≤x < 0} A △B={x|- 3≤x < 0 或 x > 3}

2. 【解】〖分析〗已知 {1,2, ,n}的所有的子集共有 2n

个. 而对于 i

{1,2, ,n} , 显 然{1,2, ,n}中包含 i 的子集与集合 {1,2, ,i 1,i 1, , n}的

子集个数相等 . 这就说明 i

f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b) ＋b=a 2

x ＋b(a ＋1)

f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)] ＋b=a 3x ＋ b(a 2

＋a ＋1)

10 依次类推有： f 10(x)=a 10x ＋ b(a 9＋a 8＋?＋ a ＋1)=a 10x ＋

b(1 a )

1a 由题设知：

10

a 10

=1024 且

b(1 a )

=1023 1a

∴a=2，b=1 或 a= － 2， b=－3

∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)= －2x －3

2 例 f(x) 对任意实数 x 与 y 都有 f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,

1. 【 解 】 A{x|x ≥0}

B={x|- 3≤x ≤3}

A-B={x|x > 3}

在 集 合 {1,2, ,n}

的所有子集中一共出现2 1

次, 即 对 所 有的 i 求 和, 可 得

n n1

S n 2n 1

(

集 合 {1,2, ,n} 的 所 有子集的元素之和为

2n 1

(1 2

n)

1

n(n 1)

2

=n (n 1) 2

n 1.

3. 【解】 a 1

a

2

a 3 a 4

, 且 A

B {a 1,a 4}

a

1

a 12

, 又

a 1 N

,所以 a 1 1.

又

a

1 a

4

2

10

, 可得 a 4 9, 并且 a

2

a 4 或

a

3 a

4.

6

(舍)

8. 解：令 y=1，得 f(x ＋1)=f(x) ＋ x ＋1

再依次令 x=1，2，?， n －1，有 f(2)=f(1) ＋2 f(3)=f(2) ＋3

f(n －1)=f(n －2) ＋(n －1) f(n)=f(n －1) ＋n 依次代入，得 f(n)=f(1) ＋2＋3＋?＋ (n －1) ＋n= x( x 1)

∴f(x)= 2

方法 3. 抽象函数的周期问题

*1 例 f(x) 在 x>0 上为增函数 ,且 f(x

) f (x) f(y).求: y

(1) f (1)的值 .

(2) 若 f (6) 1, 解不等式 f (x 3) f (1

) 2 x (1) 求证 :f(x) 在 R 上是增函数 (2) 若 f(1)=5/2, 解不等式 f(2a-3) < 3

3 练 f(x) 是定义在 x>0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y); 当 x>1 时有 f(x)<0;f(3) = -1.

(1) 求 f(1) 和 f(1/9) 的值 (2) 证明 f(x) 在 x>1 上是增函数

(3) 在 x > 1 上, 若不等式 f(x) + f(2-x) < 2 成立 , 求 x 的取值范围 4 例 几个关于周期的常见的规律 :

n(n 1)

2

(x ∈ N +)

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第2讲

函数(下)

本讲要点』 :1. 单调函数不等式的解法 2. 根据抽象的函数条件拼凑出特定值的

当 x>0 时 ,f(x)>2

5练习:f(x) 是定义在R 上的奇函数, 且f(x-2) = -f(x), 以下结论正确的是( 多

选): ___________

A.f(2) = 0

B.f(x) = f(x+4)

C.f(x) 的图象关于直线x=0 对称

D.f(x+2) = f(-x)

『课后作业』:

6定义在x>0 上, 当x>1 时,f(x)>0; 对任意的正实数x 和y 都有

f(xy) = f(x) + f(y).

(1) 证明f(x) 在x>0 上为增函数

(2) 若f(5) = 1, 解不等式f(x+1) –f(2x) > 2

*7 已知函数f(x) 对任意实数x, 都有f(x ＋m)＝－ 1 f(x), 求证f(x) 是

周期函数

1 f(x)

7. 当n≥10 时,f(n)=n-3; 当n<10 时,f(n)=f[f(n+5)] . 求 f (7)( 本讲重点迭代法)

1 1 1

*8. 已知f(1)= 且当n>1 时有=2(n ＋1) 。求f(n) (n

∈N+)(本

5 f (n) f ( n 1)

讲重点顺序拼凑法)

9. 求集合 A = {1,2,3, ,10} 所有非空子集的元素之和

10.已知不等式ax2+bx+c>0, 的解集是{x|m < x< n},m >0, 求不等式

cx2+bx+a<0

的解集

作业答案:6. 0

7. 当n≥10时,f(n)=n-3; 当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] . 求 f (7)(本讲重点迭代

法)

1 1 1

*8. 已知f(1)= 且当n>1 时有=2(n ＋1) 。求f(n) (n

∈N+)(本

5 f (n) f ( n 1)

讲重点顺序拼凑法)

9. 求集合 A = {1,2,3, ,10} 所有非空子集的元素之和

10.已知不等式ax2+bx+c>0, 的解集是{x|m < x< n},m >0, 求不等式

cx2+bx+a<0

的解集

『上讲课后作业回顾』: 化学

5. 有 4.0 克+2 价金属的氧化物与足量的稀盐酸反应后，完全转化为氯化物，测得

氯化物的质量为9.5 克，通过计算指出该金属的名称。(差量法)

6. 取100 克胆矾，需加入多少克水才能配成溶质质量分数为40%的硫酸铜溶液( 十

字交叉法)

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第 3 讲函数的周期专题( 下) 、简单的函数对称问题

『本讲要点』: 函数的周期和对称问题一直是高考的难点,本讲对此进行专题性讲解

『重点掌握』: 凑f(x) 法计算函数的周期

『需要的知识背景』:函数的奇偶性,一次函数、二次函数

1 例已知f(x)是定义在R上的函数，满足 f (x+1) = - f (x)

(1)证明： f (x)是周期函数，并求最小正周期

(2)当x∈[0,1 )时，f(x)=x ，求在[-1,0 )上的解析式

(T=2 ，已求好)(f (x)=-x -1 ，已求好)

**2 例f(x) 图像满足下列条件，试证明f(x) 为周期函数

(1)关于x=a, x=b 对称. (2)关于(a,0), (b,0) 对称. ( 3)关于(a,0), x=b 对称.

*3 练对函数f(x), 当x ∈( - ∞，+∞)时，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),

证明函数y=f(x) 为周期函数, 并求出最小正周期f(x)=f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10) T=10

推广该题，对任意不相等的两个实数a,b, 如果对任意x 满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x) ，则该函数是以2(b-a) 为周期的周期函数，证明同上面类似

4 例设f(x) 和g(x) 均为周期函数，f(x) 的周期为2，g(x) 的周期为

3，问：f(x) ±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函数若是, 求出它们的周期

f(x) 的周期为2，--->f(x+2m)=f(x)

g(x) 的周期为3，--->g(x+3n)=g(x)

2与3的最小公倍数是6，--->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x)

f(x+6s) ±g(x+6s)=f(x) ±g(x) >f(x) ±g(x) 是周期为 6 的周期函数；

f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x) >f(x)g(x) 也是周期为 6 的周期函数。

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第 4 讲函数的对称专题( 下)

第 5 讲对称与周期的关系

『本讲要点』: 较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点1: 两个函数的图象对称性

性质1：y

f (x) 与

y

f (x)关于x 轴对称。

换种说法：

y f (x)

与

y g(x)若满足 f

(x)

g(x) ，即它们关

于y

0对称。

性质2：y f (x) 与

y

f( x)关于Y轴对称。

换种说法：

y f (x)

与

y g(x) 若满足 f

(x)

g( x) ，即它们关于

x

0对称。

性质3：y f (x) 与y f (2a x) 关于直

线x a 对称。

换种说法：

y f (x)

与

y g(x) 若满足 f

(x)

g(2a x) ，即它们关

于

x a 对称

性质4：y f (x)与y 2a f (x)关于直线y a对称。

换种说法：y f (x)与y g(x)若满足 f (x) g(x) 2a ，即它们关于y a对称。

性质5：y f (x)与y 2b f(2a x) 关于点(a,b)对称。

换种说法：y f (x)与y g(x)若满足 f (x) g(2a x) 2b ，即它们关于点

(a,b)对称。性质6：y f(a x)与y (x b)关于直线x a b对称。

2

知识点2: 单个函数的对称性

性质1：函数y f(x)满足f(a x) f(b x)时，函数y f (x)的图象关于直线x a

b对 2 称。

证明：

性质2：函数y f(x)满足f(a x) f(b x) c时，函数y f (x)的图象关于点( a b， 2 c)对称。

2

证明：

性质3：函数y f(a x)的图象与y f(b x) 的图象关于直线x b a对称。

2

证明：

知识点3: 对称性和周期性之间的联系

性质1：函数y f (x) 满足 f (a x) f(a x) ，f(b x) f(b x) (a b) ，求证：函数

y f ( x) 是周期函数。

证明：

性质2：函数y f(x)满足f(a x) f(a x) c和f(b x) f(b x) c (a b)时，函数

y f ( x)是周期函数。(函数y f (x)图象有两个对称中心( a，c)、( b，

c)时，函22

数y f (x) 是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期)

证明：性质3：函数y f (x)有一个对称中心( a，c)和一个对称轴x b ( a≠b)时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b a)

证明：

推论：若定义在R上的函数f(x) 的图象关于直线x a和点(b,0) (a b)对称，则f(x) 是周期函数，4(b a) 是它的一个周期

证明：

性质4：若函数f(x) 对定义域内的任意x满足：f(x a) f(x a), 则2a为函数f(x) 的周期。(若f(x)满足f(x a) f(x a)则f(x) 的图象以x a为图象的对称轴，应注意二者的区别)