相似三角形与圆综合说课讲解

(一）知识复习巩固

圆的基本性质：圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理

相似三角形四种判定，及性质

(二）例题精讲：

例1、已知：如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点。求证：(1)BD平分∠CBF;(2)AB?BF=AF?CD.

考点：

相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析：

（1）由于AF是∠BAC的角平分线，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得

∠1=∠3，利用同弧所对的圆周角相等，可得∠2=∠4，那么，可证

∠3=∠4，即BD平分∠CBF；

（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可证△DBF∽△BAF，再利用相似三

角形的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BF，又由于∠1=∠2，同

圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而

BD=CD，等量代换，可得AB：AF=CD：BF，即AB?BF=AF?CD．解答：

证明：(1)∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2,(2分)

∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1,(4分)

又∵∠2=∠4，

∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)

(2)在△DBF和△BAF中，

∵∠3=∠1，∠F=∠F，

∴△DBF∽△BAF,(8分)

∴BDAB=BFAF即AB?BF=AF?BD(10分)

∵∠1=∠2，

∴BD=CD,(11分)

∴AB?BF=AF?CD.(12分)

例2、已知：如图,△ABC内接于圆,AB=AC,D为延长线上一点,AD交圆于E. 求证：AB2=AD?AE.

考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理

分析：

如图，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，列出比例式，即可解决问题．

解答：

证明：如图，连接BE；

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB；

∵∠AEB=∠ACB，

∴∠AEB=∠B，而∠BAE=∠BAD，

∴△ABE∽△ADB，

∴AB:AD=AE:AB，

∴AB2=AD?AE.

例3、如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A. B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

(1)弦长AB等于______(结果保留根号)；

(2)当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

(3)当AC的长度为多少时，以A. C. D为顶点的三角形与以B. C. 0为顶点

的三角形相似?请写出解答过程。

考点：

圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

分析：

（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能

∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

(1)过点O作OE⊥AB于E，

则AE=BE=12AB，∠OEB=90°，

∵OB=2，∠B=30°，

∴BE=OB?cos∠B=2×3√2=3√

∴AB=23√；

故答案为：23√；

(2)连接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

(3)∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO>∠A，∠BCO>∠D，

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，

即OC⊥AB，

∴AC=12AB=3√.

∴当AC的长度为3√时，以A. C. D为顶点的三角形与以B. C. 0为顶点的三角形相似。

例4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，E，F点.EG与CD交点为M.

(1)求证：∠GEF=∠A；

(2)求证：△OME∽△EMC；

(3)若ME=46√，MD:CO=2:5，求⊙O面积。

圆的综合题

分析：

（1）连接DF，如图所示，由CD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角

为直角得到∠CFD为直角，又因为∠ACB为直角，利用同位角相等的两直线平行，得到DF与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出

∠BDF=∠A，而∠BDF与∠GEF都为弧FG所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等得到∠BDF=∠GEF，等量代换可得证；

（2）由D为AB的中点，即CD为直角三角形ABC斜边AB的中线，利

用斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD与AD相等，都为AB的一半，利用等边对等角得到∠A=∠DCA，由（1）∠A=∠GEF，等量代换得到

∠GEF=∠DCA，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形

相似可得证；

（3）由（2）得出的三角形CEM与三角形MOE相似，利用相似得比例，得到ME2=OM?MC，将ME的长代入求出OM?MC的值为96，由MD：

CO=2：5，根据OD=OC，得出OM与CM的比值为3：8，设OM=3x，

CM=8x，代入OM?MC=96中列出关于x的方程，求出方程的解得到x的

值，确定出半径OC的长，即可求出圆O的面积．

解答：

(1)证明：连接DF，如图所示：

∵CD是圆O直径，

∴∠CFD=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴DF∥AC，

∴∠BDF=∠A，

∵∠BDF与∠GEF为同弧所对的圆周角，

∴∠BDF=∠GEF，

∴∠GEF=∠A；

(2)证明：∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，

∴DC=DA=12AB，

∴∠DCA=∠A，

又由(1)知∠GEF=∠A，

∴∠DCA=∠GEF，

又∵∠OME=∠EMC，

∴△OME∽△EMC；

(3)由(2)知△OME∽△EMC，

则OMME=MEMC,即ME2=OM?MC，

又∵ME=46√，

∴OM?MC=(46√)2=96，

∵MD:CO=2:5，

∴OM:MD=3:2，

∴OM:MC=3:8，

设OM=3x，MC=8x，

∴3x?8x=96,即x2=4，

解得：x=2，

∴OC=5x=10，

∴圆O面积为100π.

例5、如图，已知直线PA交⊙O于A. B两点，AE是⊙O的直径，点C 为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D.

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度。

考点：

切线的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理

分析：

（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的

性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；

（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF

为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，

从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．

解答：

(1)证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，

∴CD为⊙O的切线；

(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四边形DCOF为矩形，

∴OC=FD，OF=CD.

∵DC+DA=6，

设AD=x，则OF=CD=6?x，

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5?x，

在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(5?x)2+(6?x)2=25，

化简得x2?11x+18=0，

解得x1=2,x2=9.

∵CD=6?x大于0，故x=9舍去，

例6、如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线。在AM上取

一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN

相交于点F. 过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

(1)求证：△ABC∽△OFB；

(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；

(3)求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点。

考点：

切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三

角形的判定与性质

分析：

（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；

（2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即

可得出BQ=AD；

（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出

BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．

解答：

(1)证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，

又OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴∠BAC=∠FOB，

∵BN是半圆的切线，

∴∠BCA=∠FBO=90°，

∴△ABC∽△OFB.

(2)连接OP，

由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°，

∵AM、BN是⊙O的切线，

∴∠DAB=∠OBF=90°，

∴△ABD∽△BFO，

∴当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO，

∴AD=OB=1，

∵DP切圆O，DA切圆O，

∴DP=DA，

∵△ABD≌△BFO，

∴DA=BO=PO=DP,

又∵∠DAO=∠DPO=90°，

∴四边形AOPD是正方形，

∴DQ∥AB，

∴四边形ABQD是矩形，

∴BQ=AD=1；

(3)证明：由(2)知,△ABD∽△BFO，

∴BFOB=ABAD，

∴BF=OB?ABAD=1×2AD=2AD，

∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，

∴AD=DP，QB=QP，

过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，

DQ2=QK2+DK2，

∴(AD+BQ)2=(AD?BQ)2+22.

∴BQ=1AD，

∴BF=2BQ，

∴Q为BF的中点。

例7、如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E. F，点E为垂足，连接CF.

(1)当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；

(2)当DE=8时，求线段EF的长；