七年级数学上册全册单元测试卷综合测试卷(word含答案)

七年级数学上册全册单元测试卷综合测试卷（word含答案）

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．已知点O是直线AB上的一点，∠COE=120°，射线OF是∠AOE的一条三等分线，且∠AOF= ∠AOE．（本题所涉及的角指小于平角的角）

（1）如图，当射线OC、OE、OF在直线AB的同侧，∠BOE=15°，求∠COF的度数；

（2）如图，当射线OC、OE、OF在直线AB的同侧，∠FOE比∠BOE的余角大40°，求∠COF的度数；

（3）当射线OE、OF在直线AB上方，射线OC在直线AB下方，∠AOF＜30°，其余条件不变，请同学们自己画出符合题意的图形，探究∠FOC与∠BOE确定的数量关系式，请直接给出你的结论．

【答案】（1）解：∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=15°，

∴∠AOE=180°-15°=165°

∴∠AOF= ∠AOE=×165°=55°

∵∠AOC=∠AOE-∠COE=165°-120°=45°

∴∠COF=∠AOF-∠AOC=55°-45°=10°

答：∠COF的度数为10°.

（2）解：设∠BOE=x，则∠BOE的余角为90°-x.

∵∠FOE比∠BOE的余角大40°，

∴∠FOE=130°-x

∵∠COE=120°，则∠COF=x-10°，∠AOC=60°-x，

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=50°

∵∠AOF= ∠AOE

∴∠AOE=150°

∴∠BOE=x=180°-150°=30°

∴∠COF=x-10°=30°-10°=20°

答：∠COF的度数为20°

（3）解：∠FOC=∠BOE

如图，

设∠AOF=x

∵∠AOF=∠AOE

∴∠AOE=3x

∴∠EOF=2x，∠BOE=180°-3x=3（60°-x）

∵∠COE=120°

∴∠AOC=120°-3x

∴∠COF=∠AOC+∠AOF=120°-3x+x=2（60°-x）

∴

∴∠FOC=∠BOE

【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义及已知求出∠AOE、∠AOF的度数，再利用∠AOC=∠AOE-∠COE，求出∠AOC的度数，然后根据∠COF=∠AOF-∠AOC，可求得结果。（2）设∠BOE=x，利用余角的定义及∠FOE比∠BOE的余角大40°，用含x代数式表示出∠FOE、∠COF、∠AOC，再求出∠AOF的度数，即可得出∠AOE的度数，然后求出x的值，即可得出答案。

（3）根据题意画出图形，设∠AOF=x，利用已知分别用含x代数式表示出∠AOE、∠EOF、∠BOE，再用含x的代数式表示出∠FOC，然后就可得出∠FOC与∠BOE确定的数量关系式。

2．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等.

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射出去，若b镜反射出的光线n平行于m，且∠1=30 ，则∠2=________，∠3=________；

（2）在（1）中，若∠1=70 ，则∠3=________；若∠1=a，则∠3=________；

（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3=________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由.

（提示：三角形的内角和等于180 ）

【答案】（1）60°；90°

（2）90°；90°

（3）90°

【解析】【解答】(1)

∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠2，

根据邻补角的定义可得

根据m∥n,所以

所以

根据三角形内角和为所以

故答案为：

( 2 )

由(1)可得∠3的度数都是

( 3 )

理由：因为

所以

又由题意知∠1=∠4，∠5=∠2，

所以

由同旁内角互补,两直线平行,可知：m∥n.

【分析】（1）由入射角等于反射角可得∠1=∠4，∠5=∠2；由邻补角的定义可求得∠6的

度数；于是由两直线平行，同旁内角互补可得∠6+∠7=则∠7的度数可求解，由图知∠5+∠7+∠2=所以∠5和∠2的度数可求解；再根据三角形的内角和等于

可求得∠3的度数；

（2）由（1）可知∠3=；

（3）由（1）和（2）可得∠3=

3．如图，点B、C在线段AD上，CD＝2AB＋3．

（1）若点C是线段AD的中点，求BC－AB的值；

（2）若BC＝AD，求BC－AB的值；

（3）若线段AC上有一点P（不与点B重合），AP＋AC＝DP，求BP的长．

【答案】（1）解：设AB长为x，BC长为y，则CD=2x+3．若C是AB的中点，则AC=CD，即x+y=2x+3，得：y-x=3，即BC-AB=3

（2）解：设AB长为x，BC长为y，若BC= CD，即AB+CD=3BC，∴x+2x+3=3y，∴y=x+1，即y-x=1，∴BC-AB=1

（3）解：以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，则A：0，B：x，C：x+y，D：x+y+2x+3=3x+y+3．设P：p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP=p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，∵AP+AC=DP，BP= ，∴p+x+y=3x+y+3-p，解得：2p-2x=3，∴p-x=1.5，∴BP=1.5

【解析】【分析】（1）此题可以设未知数表示题中线段的长度关系，设AB长为x，BC长为y，则AC=AB+BC=x+y,CD=2x+3 ，根据中点的定义得出 AC=CD ，从而列出方程，变形即可得出答案；

（2）设AB长为x，BC长为y ，则CD=2x+3 ，由BC= CD，得出AB+CD=3BC，从而列出方程变形即可得出答案；

（3）设AB长为x，BC长为y ，则CD=2x+3 ，以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，则A点表示的数为0，B点表示的数为x，C点表示的数为x+y，D点表示的数为x+y+2x+3=3x+y+3．设P点表示的数为p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP=p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，由AP+AC=DP，列出方程，并行得出P-X的值，再根据BP= 即可得出答案。

4．已知：，OB、OC、OM、ON是内的射线.

（1）如图1，若OM平分，ON平分当OB绕点O在内旋转时，则的大小为________；

（2）如图2，若，OM平分，ON平分当绕点O在内旋转时，求的大小；

（3）在的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值

【答案】（1）78°

（2）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM ∠AOC，∠BON

∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM﹣∠BOC ∠AOC ∠BOD﹣24°

（∠AOC+∠BOD）﹣24°，∴∠MON （∠AOD+∠BOC）﹣24° 180°﹣24°=66°.

（3）解：∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t.

若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2（63﹣t），∴t=33；

若2∠AOM=∠DON，即2（27+t）=63﹣t，∴t=3.

综上所述：当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍.

【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM ∠AOB，∠BON ∠BON.

∵∠MON=∠BOM+∠BON ∠AOD，∴∠MON=78°.

故答案为：78°.

【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，然后根据

∠MON=∠BOM+∠BON=∠AOD即可求解；

（2）由角平分线的定义可得∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，

∠MON=∠BON+∠COM-∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣24°=（∠AOC+∠BOD）﹣24°=（∠AOD+∠BOC）﹣24°可求解；

（3）由题意可得∠AOC＝54°＋2t，∠AOM＝27＋t，∠BOD＝126?2t，∠DON＝63?t，分∠AOM＝2∠DON，∠DON＝2∠AOM两种情况讨论，列方程即可求解．

5．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.

（1）在图①中， ________度；

（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若

，求的度数；

（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）

【答案】（1）30

（2）解：设∠BON=α，

∵∠BOC=60°，

∴∠NOC=60°-α，

∵∠MON=90°，

∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，

∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，

∵∠NOC= ∠MOA，

∴60°-α= （90°-α），

解得：α=54°，

即∠BON=54°；

（3）3或21

【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB

上，另一边OM在直线AB的上方，

∴∠MON=90°，

∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，

∴∠BON=30°或∠BON=210°，

∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，

∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，

故答案为：3或21.

【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-

∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．

6．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB 的上方.将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.

（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC.

①求t的值；

②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）.

【答案】（1）解：①∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,

∵OP平分∠BOC，

∴∠COP＝∠BOC＝75°,

∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,

∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°,

t＝15÷3＝5；

②是，理由如下：

∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，

∴OQ平分∠AOC；

（2）解：∵OC平分∠POQ，

∴∠COQ＝∠POQ＝45°.

设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，

由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，

解得：t＝5，

当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，

解得：t＝65，

∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；

（3）解：设经过t秒后OC平分∠POB，

∵OC平分∠POB，

∴∠BOC＝∠BOP，

∵∠AOQ+∠BOP＝90°，

∴∠BOP＝90°﹣3t，

又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，

∴180﹣30﹣6t＝（90﹣3t），

解得t＝ .

【解析】【分析】（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC 度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB 互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来.先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解.

7．已知，如图1，∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β.

（1）如图2，若α＝90°，β＝30°，则∠MON＝________；

（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图3的位置，求∠MON；(用α，β表示)

（3）如图4，若α＝2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒(转到OC与OA共线时停止运动)，且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由.

【答案】（1）60°

（2）解：设∠BOD＝γ，

∵∠MOD＝＝，∠NOB＝＝，

∴∠MON＝∠MOD＋∠NOB－∠DOB＝＋－γ＝

（3）解：为定值 .

设运动时间为t秒，则∠DOB＝3t－t＝2t，∠DOE＝∠DOB＝t，

∴∠COE＝β＋t，∠AOD＝α＋2t，

又∵α＝2β，

∴∠AOD＝2β＋2t＝2(β＋t)，

∴＝

【解析】【解答】（1）解：∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，α=90゜，β=30゜，

∴∠MON= α+ β=60°，

故答案为：60°

【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON= ∠AOD+ ∠BOC，进而求出即可；

（2）设∠BOD=γ，而∠MOD= = ，∠NOB= = ，进而得出即可；（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，进而得出答案.

8．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．

（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；

（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；

（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．

【答案】（1）解：结论：∠ECD＝90°+∠ABE．

理由：如图1中，延长BE交DC的于H．

∵AB∥CH，

∴∠ABE＝∠H，

∵BE⊥CE，

∴∠CEH＝90°，

∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，

∴∠ECD＝90°+∠ABE．

（2）解：如图2中，作EM∥CD，

∵EM∥CD，CD∥AB，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，

∵EF⊥CD，

∴∠F＝90°，

∴∠FEM＝90°，

∴∠CEF与∠CEM互余，

∵BE⊥CE，

∴∠BEC＝90°，

∴∠BEM与∠CEM互余，

∴∠CEF＝∠BEM，

∴∠CEF＝∠ABE

（3）解：如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．

∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，

∵EG平分∠CEF，

∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，

∴∠ABE＝∠CEF＝2α，

∵AB∥CD∥EM，

∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，

∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED＝∠FED＝2α+β，

∴∠DEC＝β，

∵∠BEC＝90°，

∴2α+2β＝90°，

∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，

∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，

∵∠ABK＝180°，

∴∠ABE+∠DBE+∠KBD＝180°，

即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，

∴6α+（2α+2β）＝180°，

∴α＝15°，

∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°

【解析】【分析】（1）延长BE交DC的延长线于H，由AB∥CH，两直线平行内错角相等，得∠ABE＝∠H，由BE⊥CE，结合外角的性质得∠ECD等于90°+∠H，于是等量代换求得∠ECD＝90°+∠ABE；

（2）作EM∥CD，由平行线的传导性，得AB∥CD∥EM，两直线平行内错角相等，得∠BEM＝∠ABE，由同旁内角互补，得∠F+∠FEM＝180°，则∠F＝90°，∠FEM也等于90°，根据同角的余角相等，∠CEF＝∠BEM，所以等量代换，得∠CEF＝∠ABE；（3）设∠GEF＝α，∠EDF＝β ,根据平行线的性质定理和角平分线的定义，结合已知条件把相关角全部用含α和β的代数式表示；由∠BEC=90°和∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°分别列两个关于α和β的二元一次方程，解出α和β，则可求出∠BEG的度数。

9．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.

（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？请直接写出结论：直线 ________（平分或不平分） .

（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________.（直接写出结果）

（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转，请探究：当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.

【答案】（1）平分

（2）或49

（3）解：不变，设，

，，

【解析】【解答】（1）直线平分；（2）或

【分析】（1）根据图形得到直线ON平分∠AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求出t的值；（3）根据题意得到∠AON=50°?y，∠AOM?∠NOC=x?y=40°.

10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB的下方．

（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；

（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；

（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．

【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC

∴∠BOM=∠BOC=60°

又∵∠MON=90°

∴∠BON=∠MON?∠BOM

=90°?60°=30°

（2）解：设的余角为x°，

则

由题意得：，

x=15,

3x=45，

所以的度数为45°

（3）解：（0°< <90°）．

．

【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON?∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3倍，建立方程求解即可。

（3）根据角的和与差计算即可。

11．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH＝，∠ADC＝ .

（1）求证：∠EFC＝∠FEC；

（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则＝________，＝________；

②试探究与的关系，并说明理由；

（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出与的关系.

【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠BAC,EH⊥AB.

∴∠EFC=∠AFH=90°－∠BAC,∠FEC=90°－∠ABC,

∴∠EFC＝∠FEC.

（2）35°；70°；解：② , 理由如下: 由(1)可知:

, 又∵ , ∴ . ∴ .

（3）解：图形如下:

∵∠ABC＝∠BAC,∠BHE=90°－∠ABC,∠F=90°－∠BAC，

∴ .

又∵，

∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°，

即 .

.

∵2∠EAC=∠DAC, ，

∴ .∴即 .

∴ .

【解析】【解答】解：(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,

∴∠ =∠AFH－∠EAC=90°－∠BAC－∠EAC=90°－30°－25°=35°.

∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,

∴∠ =180°－∠ACB－∠CAD=180°－60°－50°=70°.

故答案为:35°,70°.

【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.

12．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.

（1）说明：DC∥AB；

（2）求∠PFH的度数.

【答案】（1）证明:∵DC∥FP，

∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，

∴DC∥AB

（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°，

∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP，

又∵∠AGF=80°，

∴∠AGF=∠GFP=80°，

∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°，

又∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH= ∠GFE=55°，

∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°

【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；

（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出，，根据角的和差，由

算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。

13．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF

（1）证明：BD⊥BC;

（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD 的度数：

（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ=________.

【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF

∴∠ABC= ∠ABE，∠ABD= ∠ABF

∴∠ABC+∠ABD= （∠ABE+∠ABF）= ×180°=90°

∴BD⊥BC

（2）解：∵CD∥EF

BD平分∠ABF

∴∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°

又AP平分∠DAG，∠BAG=50°

∴∠DAP= ∠DAG

∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP

=180°－∠DAG－∠ABF

=180°－ (∠DAB－∠BAG)－∠ABF

=180°－∠DAB+ ×50°－∠ABF

=180°－ (∠DAB+∠ABF)+25°

=180°－ ×180°+25°

=115°

（3）45°

【解析】【解答】（3）解：如图，

∵AQ∥BC

∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，

∵BC平分∠ABE，

∴∠1=∠2=∠4，

∴∠3+∠4=90°，

又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN

∴∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，

∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4）

=45°- ∠3+90°-∠4

=135°-（∠3+∠4）

=135°-90°

=45°.

【分析】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠CBD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP=

∠DAG，然后根据出三角形内角和即可求出∠APD的度数；（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即∠3+∠4=90°，根据垂直和平行线的性质以及角平分线的定义可得∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，则∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4），代入计算即可求解.

14．如图1所示，AB∥CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE.

（1）求证：∠ABE+∠C﹣∠E＝180°.

（2）如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系.

（3）如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M＝130°，请直接写出∠E的度数.

【答案】（1）证明：如图1，过点E作

∴

∵

∴

∴

∴；

（2）解：∵BF、EG分别平分、

∴

设

∵

∴

∴

由（1）知，

即

∴；

（3）解：∵CN、BF分别平分、

∴

设

由（1）知：

即

如图3，过M作

则

∴

∴

∴ .

【解析】【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出

，进而得出答案；（2）设

，由平行线的性质得出

，由（1）知

，即可得出答案；（3）设

，由（1）知，过M

作，由平行线的性质得出，求出

，即可得出答案.

15．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.

（1）在图①中， ________度；

（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若，求的度数；

（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）

【答案】（1）30

（2）解：设∠BON=α，

∵∠BOC=60°，

∴∠NOC=60°-α，

∵∠MON=90°，

∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，

∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，

∵∠NOC= ∠MOA，

∴60°-α= （90°-α），

解得：α=54°，

即∠BON=54°；

（3）3或21

【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，

∴∠MON=90°，

∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，

∴∠BON=30°或∠BON=210°，