常见的追及与相遇问题类型及其解法
追及与相遇问题
追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于v －t 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了. 知识要点：
一、相遇是指两物体分别从相距S 的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S ，分析时要注意： （1）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系； （2）、两物体各做什么形式的运动； （3）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S 1+S 2方程； 二、追及问题 （1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。 若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。 若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离 。 2、追及问题的特征及处理方法：
“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：
⑴ 速度小者匀加速追速度大者,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速
度 ，即v v =乙甲。
⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。
①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。
③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。
⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 三、分析追及问题的注意点：
⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t -图象的应用。 例题分析：
1．一车处于静止状态,车后距车S 0=25m 处有一个人,当车以1m/s 2
的加速度开始起动时,人 以6m/s 的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?
2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以３m/s２的加速度开始行驶，恰好此时一辆自行车以６m/s速度驶来，从后边超越汽车．试求：
①汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？
②经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
3．公共汽车从车站开出以4m/s的速度沿平直公路行驶，2s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2m/s2。试问
（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？
（2）摩托车追上汽车时，离出发点多远？
（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？
4、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动，已知v1＞v2司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a的大小应满足什么条件？
5、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面７m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以２m/s2的加速度减速前进，求：①自行车未追上前，两车的最远距离；②自行车需要多长时间才能追上汽车．
6. 某人骑自行车以8m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面8m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以２m/s2的加速度减速前进，求：
①自行车未追上前，两车的最远距离；
②自行车需要多长时间才能追上汽车．
课后练习：
1、 一列快车正以20m/s 的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m 处有一货车正以6m/s
速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s 才停止，问是否发生碰车事故？（会发生碰车事故）
2、 同一高度有AB 两球，A 球自由下落5米后，B 球以12米/秒竖直投下，问B 球开始运动
后经过多少时间追上A 球。从B 球投下时算起到追上A 球时，AB 下落的高度各为多少？（g=10m/s2）（2.5秒；61.25米）
3、 如图所示，A 、B 两物体相距ｓ＝7ｍ，物体A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以ｖ1＝4m/s
的速度向右运动，而物体B 此时的速度ｖ２＝10ｍ/ｓ，由于摩擦力作用向右匀减速运动，加速度a ＝－2m/s2，求，物体A 追上B 所用的时间。（2.67s ）
ｖ１
ｖ２
4、羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；
猎豹从静止开始奔跑，经过60 m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度
4.0 s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，
假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m
达到最大速度用时间t2，则
1
1 12
t
v
s=
，
s
v
s
t4
30
60
2
2
1
1
1
=
?
=
=
羚羊从静止开始匀加速奔跑
50m达到最大速度用时间t1，则
2
2
22
t
v
s=
，
s
v
s
t4
25
50
2
2
2
2
2
=
?
=
=
猎豹要在从最大速度
减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此
x值为最大值，即x=S豹－S羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取x<55m。
5、高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底
板上所用的时间是多少？
解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2— 27所示．这样
至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示意图还可以看出，
电梯与螺钉的位移关系：
S梯一S钉= h 式中S梯＝vt十?at2，S钉＝vt－?gt2
可得t=
()a
g
h+
/
2
错误：学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现S梯＋S钉= h 式中S梯＝v0t十?at2，S钉＝v0t－?gt2
这样得到v0t十?at2＋v0t－?gt2=h，即?（a－g）t2＋2v0t－h=0
由于未知v0，无法解得结果。判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t，都能
相遇，即上式中的Δ＝4v02＋2（a－g）h≥0
也就是v0≥
()2/h g
a-
，这就对a与g关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。
、a
参考答案： 1、
S 人-S 车=S 0 ∴ v 人t-at 2/2=S0 即t 2
-12t+50=0 Δ=b 2
-4ac=122-4×50=-56<0 ∴ 方程无解.人追不上车 当v 人=v 车=at 时,人车距离最小 t=6/1=6s
ΔS min =S 0+S 车-S 人=25+1×62
/2-6×6=7m 2、
1．解一：速度关系，位移关系自汽v at v == t=2s
)(6232
1
262122m at t v s =??-?=-=?自
解二：极值法 (1)222
3621t t at t v s -=-
=?自 由二次函数的极值条件可知
s t 2)
2/3(26
=-?-
=时，s ?最大
)(622
3
262m s m =?-?=?
(2)汽车追上自行车时，二车位移相等
2''21at v t =
s t v t 43
622'=?== s m at v /1243''=?==
解三：用相对运动求解
选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远,这段时间内,起初相对此参照物的各个物理量为
初速 s m v v v /6600-=-=-=自汽初 末速 066=-=-=自汽末v v v t
加速度 2
/303s m a a a =-=-=自汽
∴相距最远 m a v v s t 63
2)6(022
2
02-=?--=-=
(负号表示汽车落后) 解四：图象求解
(1) s a
v t 23
6
==
=
自 m at v s t 6232
1
262122=??-?=-
=?
(2) s t t 42'
==
s m v v /122'
==自
3、
解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。（1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即
v(t+2)=
2
1at 2
解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s (2)摩托车追上汽车时通过的位移为
s=
2
1at 2
=29.9m (3)摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即v=at /
t /
=
a
v
=2s
最大距离为△s=v(t /
+2)-
2
1at /2
=12m 小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。 4、
解法一：由分析运动过程入手 后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v2相等之前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。 综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：
v 1t-
2
1
a 0t 2= v 2t+s v t -a 0t=v 2
联立上式可解得：a 0=s v v 2)(212- 所以不 a ≥s
v v 2)(2
12-时时两车即不会相撞。
解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为
v 1t-2
1at 2
≤s+ v 2t
即2
1at 2+(v 2-v 1)t+s ≥0
对于位移s 和时间t,上面不等式都成立的条件为 △=(v 2-v 1)2-2as ≤0
由此得a ≥s
v v 2)(2
12-
解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a 的
匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/≤s 时，则不会相撞。
由s /
=a v 220=a
v v 2)(2
12-≤s
得a ≥s
v v 2)(2
12-
小结：上述三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次不等到式（一元二次方程）运用数学知识，利用根的判别式△=b2-4ac 来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。 5、
解：①当v 汽＝v 车时，有最远距离
()m s s s 162
10
44221001677=--?--?-+
=-+=?自汽
②7+=汽自s s
72
1
201++=at t v t v （错解）５s 末汽车已停下
t 1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下 t 1＇
=－１s(舍)
经５s 汽车停下且走了２５m ，而s 自=20m, 20<7+25
∴相遇是在汽车停止后，s 自＝７＋２５＝３２（m ）
t ＝３２／４＝８（s ）
若s 自＝８m/s ，s ?＝８m ，何时相遇，相遇时v 汽＝？
s s s ?+=汽自
t=4s
8t=10t －t 2+8 t=－2s(舍) 6、
6、解：①当v 汽＝v 车时，有最远距离
()m s s s 162
10
44221001677=--?--?-+
=-+=?自汽
②7+=汽自s s
72
1
201++=at t v t v （错解）５s 末汽车已停下
v 汽＝２m/s
t 1=7s 应判断在追上前汽车是否已经停下 t 1＇
=－１s(舍)
经５s 汽车停下且走了２５m ，而s 自=20m, 20<7+25
∴相遇是在汽车停止后，s 自＝７＋２５＝３２（m ）
t ＝３２／４＝８（s ）
7、在平直公路上，一辆摩托车从静止出发追赶正前方100m 处正以v0=10m/s 的速度速度前进的卡车，若摩托车的最大速度为20m/s,现要摩托车在2min 内追上上卡车，求摩托车的加速度为多大？
解析：设摩托车在2min 内一直加速追上了卡车，它的位移s1同汽车的位移s2的关系为
s1= s2+s0
即21
a/t2= v0t+ s0
其中t=2min=120s, vo=10m/s, s0=100m
解得a/=7213
m/s2
若以加速度运动2min,摩托车的未速度为v= a/t=7213
×120m/s=21.7m ＞vm=20m/s
这说明摩托车应先做匀加加速运动，达到最大速度vm 后，再做匀速运动运动去追赶卡车。根据上述分析可得
21
at12+vm(t-t1)=so+vot
vm=at1
解得a=
)(22o o m m
s t v t v v --
= ）（10012010120202202
-?-??m/s 2
≈0.18m/s 2
这就是摩托车的加速度。
小结：上述解得应用了假设法，这是一种重要的思维方法，当物理过程或物理状态有多种可能性时，运用它排除谬误，辩明真为是比较方便的。