高中数学选修2-2导数导学案

§1.1.1

函数的平均变化率导学案

【学习要求】

1．理解并掌握平均变化率的概念．

2．会求函数在指定区间上的平均变化率．

3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

【学法指导】

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

【知识要点】

1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)

－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x

x f x x f ?-?+)()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 ．

2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy

Δx ＝__________

表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 .

【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数

学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率

问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？

跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：

（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．

探究点二 求函数的平均变化率

例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．

跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．

问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？

探究点三 平均变化率的应用

例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？

跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成

果？

【当堂检测】

1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________

2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________

3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．

【课堂小结】

1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率Δy Δx ＝1

2

12)

()(x

x x f x f --.

【拓展提高】

1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ）

A ．6t +?

B ．9

6t t

+?+? C ．3t +? D ．9t +?

§1.1.2

瞬时速度与导数导学案

【学习要求】

1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．

2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.

【知识要点】

1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．

设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率t t s t t s ?-?+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0

Δs

Δt ＝__________________

2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0

Δy

Δx ＝_________________.

3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )

在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝________________

4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．

记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为

【问题探究】

探究点一 瞬时速度

问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？

问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？

例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s m /.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？

跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8s m /，求常数a 的值．

探究点二 导 数

问题1 从平均速度当Δt →0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？

例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y ＝f (x )＝x ＋2，求f ′(2)．

探究点三 导数的实际应用

例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为C t 0

时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，

原油的温度(单位：C 0

)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，

并说明它们的意义．

【当堂检测】

1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不等于0

2．一物体的运动方程是s ＝1

2at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( )

A ．at 0

B ．－at 0

C ．1

2

at 0

D ．2at 0

3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝3

2处的瞬时变化率是 ( )

A ．3

B ．－3

C ．2

D ．－2

4．已知函数f (x )＝1

x

，则)1(f '＝________

【课堂小结】

1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值． 2．利用导数定义求导数的步骤：

（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率Δy

Δx ；

（2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy Δx

. 【拓展提高】

1．()()()为则设h

f h f f h 233lim

,430

--='→（ ）

A ．－１

B ．－2

C ．－3

D ．1

2．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为234

1644

1t t t s +-=

,则速度为零的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 与8s 末 D ．0s ,4s ,8s 末

§1.1.3

导数的几何意义导学案

【学习要求】

1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．

2．会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

【学法指导】

前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.

【知识要点】

1．导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率

设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (

x 0＋Δx ))

的一条割线，此割线的斜率是Δy

Δx

＝__________________.

当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数

当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________

【问题探究】

探究点一 导数的几何意义

问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？

问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．

跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．

（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 (

)

探究点二 求切线的方程

问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？

问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？ 例2 已知曲线y ＝x 2，求：

（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程． 跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：

（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．

【当堂检测】

1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2

2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )

A ．a ＝1，b ＝1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝1，b ＝－1

D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______

【课堂小结】

1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

＝f ′(x 0)，

物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.

【拓展提高】

1．已知函数()y f x =的图象在点(1

(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：2

23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π??????

，，则点P 横

坐标的取值范围为

§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案

【学习要求】

1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1

x 的导数．

2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

【学法指导】

1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式

函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣． 2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．

【知识要点】

1

2

【问题探究】

探究点一 求导函数

问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：

（1）y ＝c ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x 2；（4）y ＝1

x

；（5）y ＝x .

问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？

例1 求下列函数的导数：

（1）y ＝sin π3；（2）y ＝5x ；（3）y ＝1x

3；（4）y ＝4

x 3；

（5）y ＝log 3x .

跟踪训练1 求下列函数的导数：

（1）y ＝x 8；（2）y ＝(1

2

)x ；（3）y ＝x x ；（4）x y 3

1log =

探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．

求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′????π3＝????cos π3′＝－sin π3＝－3

2

. 跟踪训练2 求函数f (x )＝

13

x

在x ＝1处的导数．

探究点三 导数公式的综合应用

例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．

跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．

【当堂检测】

1．给出下列结论：

①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3

x ，则y ′＝133x ；

③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －

3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.

其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )

A ．

3

6

B ．0

C ．12x

D ．32

3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )

A ．[0，π4]∪[3π

4

，π)

B ．[0，π)

C ．[π4，3π4]

D ．[0，π4]∪[π2，3π

4

]

4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________

【课堂小结】

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x

2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .

3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.

【拓展提高】

1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角C ．直角 D ．钝角

2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为___________

§1.2.3

导数的四则运算法则(一)导学案

【学习要求】

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

【学法指导】

应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.

【知识要点】

导数的运算法则

设两个可导函数分别为f (x )和g (x )

【问题探究】

探究点一 导数的运算法则

问题1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？

问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 例1 求下列函数的导数：

（1）y ＝3x

－lg x ； （2）y ＝(x 2

＋1)(x －1)； （3）y ＝x 5＋x 7＋x 9

x

.

跟踪训练1 求下列函数的导数：

（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x

2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x

1＋sin x

.

探究点二 导数的应用

例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________

（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________

（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1

t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬

时速度．

跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －1

2

在点M ????π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12

B.12

C ．－

22 D ．2

2

（2）设函数f (x )＝13x 3－a

2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c

的值．

【当堂检测】

1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )

A ．－2e x cos x

B ．－2e x sin x

C ．2e x sin x

D ．－2e x (sin x ＋cos x )

2．曲线f (x )＝x

x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193

B ．163

C ．133

D ．103

4．已知f (x )＝1

3

x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______

5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．

【课堂小结】

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，

要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

§1.2.3

导数的四则运算法则(二)导学案

【学习要求】

1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．

【学法指导】

复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．

【知识要点】

【问题探究】

探究点一 复合函数的定义

问题1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

问题3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？ 例1 指出下列函数是怎样复合而成的：

（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x .

跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：

（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．

探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数？ 例2 求下列函数的导数：

（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x ； （3）y ＝sin(－2x ＋π3)； （4）y ＝102x ＋

3.

跟踪训练2 求下列函数的导数．

（1）y ＝ln 1

x ； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．

探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x

＋1

在点(－1

2

，1)处的切线方程．

跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．

【当堂检测】

1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )

A ．2(3x －2)

B ．6x

C ．6x (3x －2)

D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( ) A ．sin 2x B ．2sin x C ．sin x cos x D ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( ) A ．2xf ′(x 2) B ．2xf ′(x ) C ．4x 2f (x ) D ．f ′(x 2)

4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.

【课堂小结】

求简单复合函数f (ax ＋b )的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.

【拓展提高】

1 ．已知函数

2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,

不等式

1)

1()1(>-+-+q

p q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________

§1.3.1

利用导数判断函数的单调性导学案

【学习要求】

1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．

2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．

3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

【学法指导】

结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.

【知识要点】

一般地，在区间(a ，b

【问题探究】

探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系

问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

问题2 若函数f (x )在区间(a ，b )内单调递增，那么f ′(x )

一定大于零吗？

问题3 （1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．

（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 例1 已知导函数f ′(x )的下列信息：

当10；当x >4或x <1时，f ′(x )<0；当x ＝4或x ＝1时，f ′(x )＝0. 试画出函数f (x )图象的大致形状．

跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．

例2 求下列函数的单调区间： （1）f (x )＝x 3－4x 2＋x －1；（2）f (x )＝2x (e x －1)－x 2；（3）f (x )＝3x 2－2ln x . 跟踪训练2 求下列函数的单调区间：

（1）f (x )＝x 2

－ln x ；（2）f (x )＝e x

x －2

；（3）f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x <2π)．

探究点二 函数的变化快慢与导数的关系

问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？

例3 如图，设有圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？ ( )

跟踪训练3 （1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．

（2）已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是 (

)

【当堂检测】

1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )

A ．单调增函数

B ．单调减函数

C ．在????0，1e 上是减函数，在????1e ，6上是增函数

D ．在????0，1e 上是增函数，在????1

e ，6上是减函数 2．

f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A ．???

?0，1

a B ．????1a ，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0，a )

4．（1）函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为___________

（2）函数y ＝x 3－x 的增区间为_______________________，减区间为_____________

【课堂小结】

1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．

2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为 （1）确定函数f (x )的定义域； （2）求导数f ′(x )；

（3）在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.

【拓展提高】

1．已知函数53

123

-++=

ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 . （2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是

2．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，)(x f ' >1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______ 3．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______

4．设函数f (x )＝x －1

x

－a ln x .

（1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值； （2）若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；

§1.3.2

利用导数研究函数的极值导学案

【学习要求】

1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.

2．掌握函数极值的判定及求法

.

3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

【学法指导】

函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.

【知识要点】

1．极值的概念

已知函数y ＝f (x )，设x 0是定义域(a ，b )内任一点，如果对x 0附近的所有点x ，都有 ，则称函数f (x )在点x 0处取 ，记作y 极大＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个 ．如果都有 ，则称函数f (x )在点x 0处取 ，记作y 极小＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个 ．极大值与极小值统称为 ．

极大值点与极小值点统称为 2．求可导函数f (x )的极值的方法 （1）求导数f ′(x )；

（2）求方程 的所有实数根；

（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化． ①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极 值． ②如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极 值．

③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)

【问题探究】

探究点一 函数的极值与导数的关系

问题1 如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？

问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 问题3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明． 例1 求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3

x

＋3ln x 的极值．

探究点二 利用函数极值确定参数的值

问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？

例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． （1）试确定常数a 和b 的值；

（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．

探究点三 函数极值的综合应用

例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R ∈. （1）求函数f (x )的单调区间和极值；

（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．

跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．

【当堂检测】

1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( ) A ．y ＝1

x

B ．y ＝x －e x

C ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3

D ．y ＝x 3

3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．－12 D ．a <－3或a >6

4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为__________ 5．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________

【课堂小结】

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． 2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.

【拓展提高】

1．已知三次函数c bx ax x x f +++=2

3)(在1=x 和1-=x 时取极值，且4)2(-=-f ．

（1）求函数)(x f y =的表达式； （2）求函数)(x f y =的单调区间和极值

2．若函数4)(3

+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值3

4-

， （1）求函数的解析式；

（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围

§1.3.3

利用导数研究函数的最值导学案

【学习要求】

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会用导数求某定义域上函数的最值．

【学法指导】

弄清极值与最值的区别是学好本节的关键．

函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.

【知识要点】

1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值

函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f (x )在开区间(a ，b )内所有使 的点；

（2）计算函数f (x )在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【问题探究】

探究点一 求函数的最值

问题1 如图，观察区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？

问题2 观察问题1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？ 例1 求下列函数的最值：

（1）f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]； （2）f (x )＝1

2

x ＋sin x ，x ∈[0,2π]

跟踪训练1 求下列函数的最值：

（1）f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]； （2）f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．

探究点二 含参数的函数的最值问题

例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．

（1）若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． （2）求f (x )在区间[0,2]上的最大值．

跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．

探究点三 函数最值的应用

问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

例3 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．

跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )

【当堂检测】

1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上 ( )

A ．极大值一定比极小值大

B ．极大值一定是最大值

C ．最大值一定是极大值

D ．最大值一定大于极小值 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) ( )

A ．有最大值，但无最小值

B ．有最大值，也有最小值

C ．无最大值，但有最小值

D ．既无最大值，也无最小值 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈????

π2，π的最大值是

( )

A ．π－1

B ．π

2

－1

C ．π

D ．π＋1

4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______

【课堂小结】

1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．

2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

【拓展提高】

1．已知a ≤1－x x

＋ln x 对任意x ∈????

12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

2．已知函数c bx ax x x f +++=23)(,过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y （1）若函数)(x f 在2-=x 处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[]1,3-上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[]1,2-上单调递增，求实数b 的取值范围

§1.3.4

导数的实际应用导学案

【学习要求】

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

【学法指导】

1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．

2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

【知识要点】

1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的_____或．这些都是最优化问题．

2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的

【问题探究】

题型一面积、体积的最值问题

例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这

个矩形面积最大时的边长．

题型二强度最大、用料最省问题

例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大

的横梁，断面的宽度和高度应是多少？

跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最

小，用料最省？

题型三省时高效、费用最低问题

例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B300 km的点A

处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时

速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，

问点C选在何处可使运输时间最短？

跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路

费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？

跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/

千克)满足关系式y＝

a

x－3

＋10(x－6)2，其中3

商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

【当堂检测】

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()

A．4 B．6 C．4.5 D．8

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知

贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行

获得最大收益，则x的取值为多少？

3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以

表示为y＝

1

128 000x

3－3

80x＋8(0

从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【课堂小结】

1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤

（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；

（2）列模型：列出实际问题的数学模型；

（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

（6）结论：根据比较值写出答案．

2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、

宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.

习题课导学案

【学习要求】

1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.

2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．

【双基自测】

1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上()

A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值

2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定

3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为 ( ) A ．－1

B ．0

C ．－23

9

D ．

33

4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x

)

的图象可能为 ( )

5．若f (x )在(a ，b )内存在导数，则“f ′(x )<0”是“f (x )在(a ，b )内单调递减”的________________条件．

【问题探究】

题型一 函数与其导函数之间的关系

例1 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)， 则y ＝f (x )的图象大致是

( )

跟踪训练1 已知R 上可导函数y ＝f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0

的解集为 ( )

A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(1,2)

C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例2 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1

x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．

（1）求g (x )的单调区间和最小值． （2）讨论g (x )与g (1

x

)的大小关系．

跟踪训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ∈. （1）求f (x )的单调区间与极值；

（2）求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.

题型三 导数的综合应用

例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.

（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由． 跟踪训练3 （1）若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是????－12，1

2，则实数a 的值是多少？ （2）若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在???

?－12，1

2上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？

【当堂检测】

1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是 ( )

A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，－1]，(0,1)

D ．[－1,0)，(0,1] 2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．????13，＋∞ B ．????－∞，13 C ．???

?1

3，＋∞ D ．?

???－∞，1

3 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )

的图象画在同一个直角坐标系中，

不可能正确的是( )

4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )

5．函数f (x )＝x 3－1

2

x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )

【课堂小结】

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.

【拓展提高】

1．等差数列{}n a 中的40051a a 、是函数32

1()4613

f x x x x =-+-的极值点，则22013lo

g a =（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 2．函数2

1()2ln 2

f x x x x a =

+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____ 3．已知函数32

()f x x ax bx c =+++（,,a b c R ∈），若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则2

2

a b

+的最小值是 4．已知函数.ln )(,2

)23ln()(x x g x x x f =++

=

（1）求函数

()f x 的单调区间；

（2）如果关于x 的方程m x x g +=

2

1

)(有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.

§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一) 导学案

【学习要求】

1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积及变力所做的功．

【学法指导】

曲边梯形的面积体现了“以直代曲”的思想，将曲边梯形的面积转化为求“直边图形”的面积.

【知识要点】

1．曲边梯形：曲线与 和 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．

2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S ＝____________克服弹簧的拉力的变力所做的功：W ＝____________.

【问题探究】

探究点一 求曲边梯形的面积

问题1 如何计算下列两图形的面积？

问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?

思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？

思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)

思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点

i

n

处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是1

3吗？取任意ξi ∈[i －1n ，i n ]处的函数值

f (ξi )作为近似值，情况又怎样？

例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝1

2

x 2所围成的图形的面积．

跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．

探究点二 求变力做功

问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？

例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．

跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？

【当堂检测】

1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1

n

B ．2n

C ．3

n

D ．12n

2．函数f (x )＝x 2在区间??

??i －1n ，i n 上

( )

A ．f (x )的值变化很小

B ．f (x )的值变化很大

C ．f (x )的值不变化

D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小

3．求由曲线y ＝1

2x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取

每个小区间的左端点)是________．

4．弹簧在拉伸过程中力F (x )＝5x (x 为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________

【课堂小结】

求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；

（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； （3）求和：∑i ＝1

n

f (ξi )·b －a

n ；

（4）取极限：S ＝lim n →＋∞∑i ＝1

n f (ξi )·b －a

n

.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以

取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点

).

§1.5.2

定积分的概念导学案

【学习要求】

1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质．

【学法指导】

通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.

【知识要点】

1．定积分：设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0

区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1

f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限

存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即?

b

a

dx x f )(＝_________.

2．在定积分

?

b

a

dx x f )(中， 叫做被积函数， 叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做被积式．

3．如果函数f (x )在[a ，b ]的图象是 ，则f (x )在[a ，b ]一定是可积的．

4．定积分的性质 （1）?

b

a dx x kf )(＝ (k 为常数)；

（2）[]?±b

a

dx x f

x f )()(2

1

＝ ±

； （3）

?

b

a

dx x f )(＝ ＋ (其中a

【问题探究】

探究点一 定积分的概念

问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点． 问题2 怎样正确认识定积分

?

b

a

dx x f )(?

利用定积分的定义，计算?10x 3

d x 的值． 跟踪训练1 用定义计算?21(1＋x )d x .

探究点二 定积分的几何意义

问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么

?

b

a

dx x f )(表示什么？

问题2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，?

b

a

dx x f )(表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？

例2 利用几何意义计算下列定积分：

（1）?3－39－x 2d x ； （2）?3－1(3x ＋1)d x .

跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： （1）?1－1x d x ； （2）?2π0cos x d x ； （3）?1－1|x |d x .

探究点三 定积分的性质

问题1 定积分的性质可作哪些推广？

问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？

例3 计算?3－3(

9－x 2－x 3)d x 的值． 跟踪训练3 已知?10x 3d x ＝14，?21x 3d x ＝154，?21x 2d x ＝73，?42x 2

d x ＝563

，求： （1）?203x 3d x ； （2）?416x 2d x ； （3）?21(3x 2－2x 3)d x .

【当堂检测】

1．下列结论中成立的个数是

( )

①?10x 3d x ＝∑

i ＝1n i 3n 3·1n ；②?10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1

n

(i －1)3n 3·1n ；③?10x 3

d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1

n i 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．定积分

?

b

a

dx x f )(的大小

( )

A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关

B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关

C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关

D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关

3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：

（1）?10x d x ________?10x 2d x ； （2）?204－x 2d x ________?2

02d x .

4．已知?

2

π0

sin x d x ＝?

π

2

π

sin x d x ＝1，?

2

π0

x 2

d x ＝π3

24

，求下列定积分：

（1）?π0sin x d x ；

（2） ?

2π0

(sin x ＋3x 2)d x .

【课堂小结】

1．定积分

?

b

a

dx x f )(是一个和式∑i ＝1

n

b －a

n f (ξi )的极限，是一个常数．

2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．

3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．

§1.6微积分基本定理导学案

【学习要求】

1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．

2．会利用微积分基本定理求函数的积分．

【学法指导】

微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.

【知识要点】

1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么?b a f(x)d x＝．2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则

（1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?b a f(x)d x＝．

（2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?b a f(x)d x＝_______．

（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?b a f(x)d x＝，若S上＝S下，则?b a f(x)d x＝.

【问题探究】

探究点一微积分基本定理

问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？

问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)? 例1计算下列定积分：

（1）?21

1

x d x；（2）?

3

1

(2x－

1

x2)d x；（3）?

－π

(cos x－e x)d x.

跟踪训练1计算下列定积分：

（1）?1025x4d x；（2）?31(x＋

1

x

)26x d x.

探究点二分段函数的定积分

例2已知函数f(x)＝

??

?

??sin x，0≤x≤

π

2，

1，

π

2≤x≤2，

x－1，2≤x≤4.

先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．

跟踪训练2（1）设f(x)＝

??

?

??x2，x≤0，

cos x－1，x>0，

求?1－1f(x)d x；

（2）求?a－a x2d x(a>0)．

探究点三定积分的应用

例3计算下列定积分：?π0sin x d x，?2ππsin x d x，?2π0sin x d x.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．

跟踪训练3求曲线y＝sin x与直线x＝－

π

2，x＝

5

4

π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．

【当堂检测】

1．(1＋cos x)d x等于()

A．π B．2 C．π－2 D．π＋2

2．若?a1(2x＋

1

x)d x＝3＋ln 2，则a的值是()

A．5 B．4 C．3 D．2

3．?20(x2－

2

3x)d x＝_______

4．已知f(x)＝

?

?

?4x－2π，0≤x≤π2，

cos x，

π

2

，计算?π0f(x

)d x.

【课堂小结】

?

-

2

π

2

π