上海高中数学向量

一、概念梳理

（一）向量的基本概念

1、什么叫向量？

2、什么是向量方向与模？

3、什么是相反向量？什么是平行向量？

（二）向量的加法

1、向量的加法定义

向量加法的定义：如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，

作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，

即a+b=AB+BC=AC。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2、向量加法的法则：

（1）向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。

（2）向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则）

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，

则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

3、向量a，b的加法也满足交换律和结合律：

①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。

②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。

③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；

当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；

当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。

④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。

因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。

如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，

AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，

所以(a+b)+c=a+(b+c)。

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。

（三）用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回归物理问题，从而解决物理问题。

（四）向量的减法

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。于是-(-a)=a。

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。

所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。

1、平行四边形法则

图1

如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。

又b+BC=a，所以BC=a-b。

由此，我们得到a-b的作图方法。

图2

2、三角形法则

如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ，即a -b 可以表示为从b 的终点

指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。

与数x 的相反数是-x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a 。

（2）向量减法的定义。我们定义a -b =a +(-b )， 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 规定：零向量的相反向量是零向量。

(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。

（五）实数与向量相乘

我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

(1)|λa |=|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反。

由(1)可知，λ=0时，λa =0。

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。 实数与向量的积的运算律： 设λ、μ为实数，那么

(1)λ(μa )=(λμ)a ； (2)(λ+μ)a =λa +μ； (3)λ(a +b )=λa +λb .

特别地，我们有(-λ)a =-(λa )=λ(-a )，λ(a -b )=λa -λb 。 向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b =λa 。共线向量可能有以下几种情况：

(1)有一个为零向量； (2)两个都为零向量； (3)同向且模相等； (4)同向且模不等； (5)反向且模相等； (6)反向且模不等。

数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定。它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。

(六) 向量的线性运算

1、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、1μ、2μ，恒有λ(1μa ±2μb )=λ1μa ±λ2μb 。

2、一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c=x a ＋y b 的形式，其中x 、y 是实数。

3、平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。（即，可以作

E

M

N

C A

B

D

G

E

D

A

B

C

出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。

二、应用拓展

例1、 化简：

(1)BC +AB (2)DB +CD +BC (3)AB +DF +CD +BC +FA

例2 、若AC =a +b ，DB =a -b

①当a 、b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a +b |=|a -b |？ ③当a 、b 满足什么条件时，a +b 平分a 与b 所夹的角？ ④a +b 与a -b 可能是相等向量吗？

例3、已知：平行四边形ABCD ，点M ，N 分别是边DC,BC 的中点，

射线AM 与BC 相交于点E 。设：AB =a ，AD =b ， 分别求向量AM ，AN ，AE 关于a ，b 的分解式。

例4、在三角形ABC 中，已知AB =a ，BC =b ，G 是重心，

请写出AG 关于a ，b 的分解式。

例5、已知：在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点．

求证：)(21BC AB EF +=

三、巩固练习

1、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，AC =c ，BC =b ，则|a+b+c|为( )。

A.0

B.3

C.2

D.22

2、设a =(AB +CD )+(BC +DA )，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。

①a ∥b ； ②a +b =a ； ③a +b =b ； ④|a +b |＜|a |+|b |； ⑤|a +b |=|a |+|b |。 A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤ 3、下列等式中，正确的个数是( )。

①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-(-a )=a ⑤a +(-a )=0 A.5 B.4 C.3 D.2

4、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，

则AF -DB 等于( )。

A.FD

B.FC

C.FE

D.BE 5、下列式子中不能化简为AD 的是( )。

A.(AB +CD )+BC

B.(AD +MB )+(BC +CM )

C.BM AD MB -+

D.OC -OA +CD

6、已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的( )。

A.重心

B.垂心

C.内心

D.外心

7、31[21

(2a +8b )-(4a -2b )]等于( )。

A.2a -b

B.2b-a

C.b -a

D.a -b

8、设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则k 的值为( )。 A.1 B.-1 C.±1 D.0 9、若向量方2x-3(x-2a )=0，则向量x 等于( )。

A.a 5

6 B.-6a C.6a D.- a 56

10、设向量a ，b 都不是零向量：

(1)若向量a 与b 同向，则a +b 与a 的方向_________，且|a +b |_________|a |+|b |； (2)若向量a 与b 反向，且|a |＞|b |，则a +b 与a 的方向__________，且

|a +b |_________|a |-|b |。

11、如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，

设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，

则1AC =__ __。(用a 、b 、c 表示)

12、在△ABC ，AE =51

AB ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB =a ，AC =b ，则BF 用a 、b

表示的形式BF =_____。

13、在△ABC ，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是

△ABC 平面上的任意一点，若OA +OC OB +=31e 1-21

e 2，则OP ON OM ++=________。 14、某人在静水中游泳，速度为34km/h ，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h ，则他实际以多大的速度沿何方向游?

15、在中心为O 的正八边形A1A2…A8中，a 0=18A A ，ai=1+i i A A (i=1，2，…，7)，

bj=OA j(j=1，2，…，8)，试化简a 2+a 5+b 2+b 5+b 7

16、已知△ABC 为直角三角形，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，求证：|AB |2

=|DB +DA |2

+|DC +DA |2

17、已知两向量a 和b ，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直。

18、已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，求证：

OG =31

(a +b +c )

四、全课小结

本次课你有哪些收获？还有什么问题？

五、课后作业（见附页）

课 后 记

学生课堂亮 点

对学生或家长建议

教学反思

学生家长签字

教务部门签章

平面向量复习课后作业

一、填空题

1、 若a 是非零向量，则a k 的方向是：当0

2、 如果两个非零向量b a 、

满足b a λ=(λ是非零实数)，那么a 和b 一定是___________；当1=λ时，它们是__________的向量；当1-=λ时，它们是___________的向量

3、 设k 是非零实数，b a 、是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：

_______________________________________

4、 如果b a 、

是两个不平行的向量，那么b a 52--叫做b a 、的______________________ 5、 对于非零向量a ，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0a ，那么向量a 可以

记作____________

6、 设e 是单位向量，若x 与e 方向相同，且满足

2

3

=

e

x ，请用e 表示x ：________________ 7、 如果,c b a 32=+,b a 02=+则

=b

a _____________________

8、 在四边形ABCD 中，设a AB =，b CD =，如果,a b 2=那么四边形一定是_________

（填四边形的名称）

9、 已知ABC ?的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________

10、 设O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，点P 为平面内与O 不重合的任意一点，

设a OP =，试用a 表示PD PC PB PA +++：________________________________ 二、选择题

11、 下列式子中，错误的是（ ）

A. a a a 2=+

B. ()0=-+a a

C.()

b a b a --=+- D. a b b a -=- 12、 向量()()

OM BC BO MB AB ++++化简后的结果等于( )

A. BC

B. AB

C. AC

D. AM 13、 点C 在线段AB 上，且AB AC 5

3

=

，若BC m AC =，则m 的值等于（ ） A.

32 B. 23 C. 32- D. 2

3- 14、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个

（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.3

15、 已知一个单位向量e ，设b a 、

是非零向量，则下列等式中正确的是（ ） A.a e a = B. b b e = C. e a a

=1 D.

=

a a

1b b

1

三、解答题 16、 计算：()

??

? ??---+-a b b a 21313232

17、 已知向量关系式()

,x b a 062=-+，试用向量b a 、

表示x 。

18、 已知非零向量b a 、

，请用作图方法验证()

b a b a 222+=+（不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程。）

19、 在ABC ?中，E G 、为AC 的三等分点，H F 、为BC 三等分点，a CA =，b

BC =写出GH EF AB 、、

关于b a 、的线性组合。 a

b

20、 如图，已知平行四边形ABCD 中，点F E 、分别是边AB DC 、的中点，CF

AE 、与对角线BD 分别交于点H G 、，设a AF =，b AD =，

（1） 试用b a 、分别表示向量GE GH 、； （2） 作出向量DH 分别在b a 、

方向上的分向量。

21、 在ABC ?中，D 是AB 边的在中点，E 是BC 延长线上的点，且BC BE 2=。

（1） 用BC BA 、表示向量DE （2） 用CB CA 、

表示向量DB

22、 在四边形ABCD 中，,b a AB 2+=,b a BC --=4,b a CD 35--=请判断四边形

B

A

C

E

F

G

H

A B

C

E G

F

H

A

B

D

E

C

的形状，并证明你的结论。