创新设计高二数学人教B选修22规范训练：第二章 推理与证明 章末解读 含解析

命题趋势

1．从近年来的新课标高考看，新课标高考对本部分的考查直接涉及的多为小题，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他主要是渗透到数学问题的求解之中．因此，对本部分知识的复习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明．

2．直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的思想与方法，是数学证明题的核心，也是数学学习的重要内容．从近三年的新课标高考看，高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几何、立体几何等．

在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．

3．数学归纳法是解决与正整数有关的数学命题证明的一种方法，是高考常考的一个重要内容．

从近三年的新课标高考看，对本部分的考查常常在解答题中进行，且多为解答题中的某一个小问，但考查问题多涉及数列、不等式、整除问题以及几何问题等，范围广．因此，备考中，我们要做好以下几点：其一，要抓住数学归纳法证明数学命题的原理，明晰其内在的联系；其二，要把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步间的区别联系；其三，要熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧，并在证明的过程中注意使用．

高考真题

1．(2011·陕西高考)观察下列等式

1＝1

2＋3＋4＝9

3＋4＋5＋6＋7＝25

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

照此规律，第五个等式应为________．

解析由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝

81.

答案5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81

2．(2010·陕西高考)观察下列等式：

13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，

根据上述规律，第五个等式为______________________________________．解析由13＋23＝(1＋2)2＝32；

13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝62；

13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝102?13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋

5)2＝152；

则第五个式子为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.

答案13＋23＋33＋43＋53＋63＝212

3．(2010·浙江高考)设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则

T4，________，________，T16

T12成等比数列．

解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，

由T4＝b41q6，T8＝b81q1＋2＋…＋7＝b81q28，

T 12＝b 121q 1＋2＋…11＝b 121q 66

，

∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8

＝b 41q 38， 即? ????T 8T 42＝T 12T 8·T 4，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列． 答案 T 8T 4 T 12T 8

4．(2011·山东高考)设函数f (x )＝x

x ＋2

(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x

x ＋2，

f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x

3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x

7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x

15x ＋16

，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.

解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8，16，…，故其通项公式为b n ＝2n . 所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝

x

(2n －1)x ＋2n

.

答案

x

(2n －1)x ＋2n

5．(2011·天津高考)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1，b n ＝3＋(－1)n －1

2，n ∈N *

，且a 1＝2. (1)求a 2，a 3的值；

(2)设c n ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列；

(3)设S n 为{a n }的前n 项和，

证明S 1a 1＋S 2a 2

＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ≤n －1

3(n ∈N *)．

(1)解 由b n ＝3＋(－1)n －1

2，n ∈N *

，可得b n ＝???

2，n 为奇数，1，n 为偶数.

又b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1， 当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1， 由a 1＝2，可得a 2＝－3

2；

当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8. (2)证明 对任意n ∈N *， a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1， ① 2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n ＋1.

②

②－①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即c n ＝3×22n －1， 于是c n ＋1

c n

＝4.

所以{c n }是等比数列．

(3)证明 a 1＝2，由(2)知，当k ∈N *且k ≥2时，

a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)

＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －3)＝2＋3×2(1－4

k －1)1－4

＝22k －1，

故对任意k ∈N *，a 2k －1＝22k －1. 由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1， 所以a 2k ＝1

2－22k －1，k ∈N *.

因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k

2. 于是S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k －1

2＋22k －1. 故S 2k －1a 2k －1＋S 2k

a 2k ＝k －12＋22k －1

22k －1＋k 212－2

2k －1

＝k －1＋22k 22k －k 22k －1

＝1－1

4k －

k

4k (4k －1)

.

所以，对任意n ∈N *， S 1a 1＋S 2

a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n

＝? ????S 1a 1＋S 2a 2＋? ????

S 3a 3＋S 4a 4＋…＋?

????S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝? ?

???1－14－112＋????

??1－142－242(42－1)＋…＋1－14n －n 4n (4n －1) ＝n －? ????14＋112－??????142＋242(42－1)－…－14n ＋n 4n (4n －1)≤n －? ????14＋112＝n －13.