高考数学之函数知识点总结
函数概念
（一）知识梳理
1．映射的概念
设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；
⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念 (1)函数的定义：
设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),(
(2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}
A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；
（2）*
{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2
:22f x y x x →=-+；
（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 上述三个对应 （2） 是A 到B 的映射．
例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 81 个，B 到A 的映射有 64 个，A 到B 的函数有 81 个
例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与
它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）
()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）2
)(x x f =，3
3
)(x x g =；（2）x x
x f =)(，?
??<-≥=;01,01
)(x x x g
（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *
）；（4）x
x f =
)(1+x ，x x x g +=
2)(；
（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g
考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f
题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f .
例2．（09湖北改编）已知)11(x x f -+=2
2
11x x +-，则)(x f 的解析式可取为 题型2：求抽象函数解析式
例1．已知函数)(x f 满足x x
f x f 3)1(2)(=+，求)(x f
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例1.（08年湖北）函数=
)(x f )4323ln(1
22+--++-x x x x x
的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D . )1,0()0,4[, - 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域 例1．（2007·湖北）设()x x x f -+=22lg
，则??
? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ）
A . ()()4,00,4 -；
B . ()()4,11,4 --；
C . ()()2,11,2 --；
D . ()()4,22,4 --
例2．已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 例3．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域
例4．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域(-3 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 如函数)32(log 2 2 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322++-=x x u 的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数1 cos 3 cos 2+-=x x y 的值域，因为 （5）利用基本不等式求值域： 如求函数4 32 += x x y 的值域 （6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域 （8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数3 2 ()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（－48） （9）对勾函数法 像y=x+m x ，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 三种模型：（1）如4 y x x =+，求（1）单调区间（2）x 的范围[3,5]，求值域（3）x ∈ [-1,0 )?(0,4],求值域 （2）如 4 4y x x =+ +， 求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4） （3）如 1 23 y x x =+ - ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间 函数的单调性 （一）知识梳理 1、函数的单调性定义： 设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ?，如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有 )()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间。 如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数； 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法： （1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥， （2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b y ax a x =+>,0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b a a -∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b b a a -. （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减 （4）若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。 3、单调性的说明： （1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数x y 1 =分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数x y 1 =的单调递 减区间为)0,(-∞和),0(+∞。 4、函数的最大（小）值 设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称 )(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。 （二）考点分析 考点1 函数的单调性 题型1：讨论函数的单调性 例1．（1）求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2 ()82,f x x x =+-若2 ()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）222()82(2)(2)g x x x =+---42 28x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 例2. 判断函数f(x)=12 -x 在定义域上的单调性. 解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)= 12 -x , 可分解成两个简单函数. f(x)=)(,)(x u x u =x 2 -1的形式.当x ≥1时，u(x)为增函数，)(x u 为增函数. ∴f （x ）=12 -x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x)为减函数，)(x u 为减函数， ∴f(x)=12 -x 在（-∞,-1］上为减函数. 题型2：研究抽象函数的单调性 例1．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则 221111()()()()x f x f x f x f x x -=? -221111 ()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴ 21 1x x >，∴21()x f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数． （3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=， ∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2 (|21|)(4)f x f -<， 又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2 |21|4x -<，解得：101022 x - <<， 即不等式的解集为1010(,)22 - ． 题型3：函数的单调性的应用 例1．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答： 3-≤a ）)； 例2．已知函数1()2 ax f x x += +在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1 (,)2+∞）； 考点2 函数的值域（最值）的求法 求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 题型1：求分式函数的最值 例1．（2007上海）已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当21 =a 时，求函数)(x f 的最小值。 [解析]当21= a 时，221 1)(',221)(x x f x x x f -=++ = 1≥x ，∴0)(>'x f 。∴)(x f 在区间),1[+∞上为增函数。 ∴)(x f 在区间),1[+∞上的最小值为2 7 )1(= f 。 题型2：利用函数的最值求参数的取值范围 例2．（2008广东）已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a 的 取值范围。 [解析] 02)(2>++= x a x x x f 在区间),1[+∞上恒成立；∴022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立；∴a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立； 函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3，∴3<-a 即 3->a 函数的奇偶性 （一）知识梳理 1、函数的奇偶性的定义：①对于函数)(x f 的定义域内任意一个 x ，都有)()(x f x f -=-〔或 0)()(=+-x f x f 〕 ，则称)(x f 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数)(x f 的定义域内任意一 个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 2.函数的奇偶性的判断： （1）可以利用奇偶函数的定义判断()()f x f x =±- （2）利用定义的等价形式, ()()0f x f x ±-=， () 1() f x f x -=±（()0f x ≠） （3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称 3．函数奇偶性的性质： （1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. （2）若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。 （3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()() ()2 f x f x F x +-= ，()()()2f x f x G x --=。 （4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. （5）设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶= 偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇． （二）考点分析 考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 例1． 判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）· x x -+11； （3）2|2|1)(2 -+-=x x x f ；（4）?? ?>+<-=). 0() 1(), 0()1()(x x x x x x x f 题型2：证明抽象函数的奇偶性 例1 .(09年山东)定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1( )()(xy y x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数； [解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0()0 10 0(f f =++∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1)∴ f (x) + f (－x) = f (2 1x x x --) = f (0) = 0 ∴ f (－x) =－f (x)∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数 例2．（1）函数)(x f ，R x ∈，若对于任意实数b a ,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f 为奇函数。 （2）设函数)(x f 定义在),(l l -上，证明)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数。 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例1．已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 [解析] )(x f 是定义在)2,2(-上奇函数∴对任意x ∈)2,2(-有()()f x f x -=- 由条件0)12()1(>-+-m f m f 得(1)(21)f m f m ->--=(12)f m - )(x f 是定义在)2,2(-上减函数∴21212m m ->->->，解得12 23 m -<< ∴实数m 的取值范围是1223m - << 例2．设函数)(x f 对于任意的R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时0)( （2）试问当33≤≤-x 时，)(x f 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。 例3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2 +a +1) －2a +1).求a 的取 值范围，并在该范围内求函数y =( 2 1)1 32+-a a 的单调递减区间. [解析]设0 ∴f (－x 2) .03 2 )31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又 由f (2a 2+a +1) －2a +1.解之，得0 又a 2 －3a +1=(a －23)2－4 5. ∴函数y =(21)132 +-a a 的单调减区间是3[,)2 +∞ 结合0 3 ，3). 函数的周期性 （一）知识梳理 1．函数的周期性的定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足 )()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 2．周期性的性质 （1）若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为 2||T a b =-； （2）若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-； （3）如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-； （4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a |；②函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ③若1()(0)()f x a a f x += ≠恒成立，则2T a =；④若1 ()(0)() f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. （二）考点分析 考点2函数的周期性 例1．设函数)(x f 是定义域R 上的奇函数，对任意实数x 有)2 3()23 (x f x f --=+成立 （1）证明：)(x f y =是周期函数，并指出周期； （2）若2)1(=f ，求)3()2(f f +的值 考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例1 .（09年江苏题改编）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +?=对于x R ∈恒成立，且()0f x >， 则(119)f = 1________ 。 [解析]由(2)()1f x f x +?=得到) (1)2(x f x f = +，从而得)()4(x f x f =+，可见)(x f 是以4为周期的函数，从而)3()3294()119(f f f =+?=，又由已知等式得) 1(1)3(f f = 又由()f x 是R 上的偶函数得)1()1(-=f f 又在已知等式中令1-=x 得1)1()1(=-?f f ， 即1)1(=f 所以1)119(=f 例2．已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()2(x f x f -=+ （1）求证：)(x f 是周期函数； （2）若)(x f 为奇函数，且当10≤≤x 时，x x f 21)(= ，求使x x f 2 1 )(-=在[]2009,0上的所有x 的个数。 2.5 二次函数 （一）知识梳理 1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。 (2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。 2．二次函数f(x)=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2 a b a c a b -- （1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b - -∞上单调递减，在),2[+∞-a b 上单调递增，a b x 2-=时，a b a c x f 44)(2 min -=； （2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b - -∞上单调递增，在),2[+∞-a b 上单调递减，a b x 2-=时，a b a c x f 44)(2 max -=。 3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042 >-=?ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0) a x x x x x x M M ?= -+=-=2122121214)(。 4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ， (1)x 1<α,x 2<α ,则?????><-≥?0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则?? ? ??>>-≥?0)()2/(0ααaf a b (3)α ? ???<-<>>≥?βαβα)2/(0 )(0 )(0 a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则?????<<≥?0)(0)(0βαf f (5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f 5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2 +bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在 区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： ①0? +bx+c>0(<0)的解集为?或者是R; ②0?=?f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切?ax 2+bx+c=0有两个相等的实根?ax 2 +bx+c>0(<0)的解集为?或者是R; ③0?>?f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点?ax 2+bx+c=0有两个不等的实根?ax 2 +bx+c>0(<0) 的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ （二）考点分析 考点1．求二次函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。 法一：利用一般式 设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：??? ???? =--=+--=++84411 242 a b ac c b a c b a 解得：?????==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2 +4x+7 法二：利用顶点式 ∵f(2)= f(-1) ∴对称轴2 1 2)1(2=-+= x 又最大值是8 ∴可设)0(8)2 1 ()(2 <+-=a x a x f ，由f(2)= -1可得a= - 4 7448)2 1(4)(2 2++-=+--=∴x x x x f 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2 -ax-2a-1,又 84)12(482 max =---=a a a a y 即得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x 2+4x+7 例2．已知二次函数的对称轴为2x =-，截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式． 解：∵二次函数的对称轴为2x =-，设所求函数为2()(2)f x a x b =++，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x 过点(22,0)-+，()f x 又过点(0,1)-， ∴4021a b a b +=??+=-?， 122 a b ? =???=-?， ∴21 ()(2)22 f x x = +- 考点2．二次函数在区间上的最值问题 例1．已知函数f(x)= - x 2 +2ax+1-a 在x 属于[0,1]时有最大值2，求a 的值。 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2+a 2 -a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f y x a 1 y x 0a 1 y x a 1 20 0≤a ≤1时 )(2 5 121)()(2 max 舍得±==+-==a a a a f x f 30 a>1时，22)1()(max =∴===a a f x f 综上所述：a= - 1或a=2 例2．已知y=f(x)=x 2 -2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。 答案：32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时 2,2,12 1 min 2max =+=≤ 1 0min 2max =+-=≤ 2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时 例3．已知函数2 1 sin sin 42 a y x a x =-+- +的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴22 1()(2)24 a y t a a =--+ -+，对称轴为2a t =， （1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2 max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． （2）当12a >，即2a >时，函数22 1()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 11 1242 y a a =-+-+=，得103a =． （3）当12a <-，即2a <-时，函数22 1()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由max 11 1242 y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或10 3 a =． 考点3．一元二次方程根的分布及取值范围 例1．已知关于x 的二次方程x 2 +2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间（0，1）内，求m 的范围。 思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴a b x 2-=与区间相对位置。 解：设f(x)=x 2 +2mx+2m+1 -1 012y x 题意画出示意图 21650 56)1(02)1(0 12)0(-<<-??? ? ??>+>=-<+=?m m f f m f (1)由 21211 00 )1(0 )0(0-≤<-????? ???<-<>>≥??m m f f （2） 练习：方程k x x =- 2 3 2 在（- 1，1）上有实根，求k 的取值范围。 宜采用函数思想，求)11(2 3)(2 <<--=x x x x f 的值域。 )25,169[-∈k 【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主 要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。 例2． 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围． 解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x 则120x x ≤或1212 00 x x x x ?≥?? >??+>?，得924a -≤≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020 f a >??--? ->?? ?≥??，得924a -≤≤． 指数与指数函数 （一）知识梳理 1．指数运算 m n m n a a =；1m n m n a a -=；01a =；r s r s a a a +?=(0,)a r s Q >∈、； ()r s rs a a =(0,)a r s Q >∈、； ()r r s ab a b =(0,)a r s Q >∈、 2.指数函数：x a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）.⑴①当1a >，指数函数：x a y =在定义域上为增函数；②当01a <<，指数函数：x a y =在定义域上为减函数.⑵当1a >时，x a y =的a 值 1y x 越大，越靠近y 轴；当01a <<时，则相反 . （二）考点分析 例1．已知下列不等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n < (2)0.20.2m n < 变式1：设 111 ()()1222 b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 例2．函数x y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ） A ． 12 B.2 C.4 D.14 例3．已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记 ]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21 [上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．)2,1()1,0( C ．)1,21[ D ．]2 1 ,0( 对数与对数函数 （一）知识梳理 1．对数运算： log ()log log a a a M N M N ?=+； log log log a a a M M N N =-； log log n a a M n M =； 1log log n a a M M n = ；log a N a N =；log log log b a b N N a =换底公式：；log log log 1a b c b c a ??=推论： 2．对数函数：如果a （0,1a a >≠）的b 次幂等于N ，就是N a b =，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，记作 b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数. 当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反. （二）考点分析 例1．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠ （1） 求函数()()f x g x +定义域 （2） 判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由. 例2．已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+≤?=?>? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3 C.11[,)73 D.1[,1)7 例3．若3 log 1(04 a a <>，且1)a ≠，求实数a 的取值范围. 变式1：若011log 2 2<++a a a ，则a 的取值范围是 （ ） A ．),2 1(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21( D ．)2 1,0( 幂函数 （一）知识梳理1、幂函数的概念 一般地，形如y x α= ()x R ∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数 2、幂函数的图像及性质 y x = 2y x = 3y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 R R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展 当0α>时，幂函数y x α =有下列性质： （1）图象都通过点(0,0)，(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数； （3）在第一象限内，1α>时，图象是向下凸的；10α>>时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。 当0α>时，幂函数y x α =有下列性质： （1）图象都通过点(1,1)； （2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，α越大，图象下落的速度越快。 无论α取任何实数，幂函数y x α=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 （二）考点分析 考点1：利用幂函数的单调性比较大小 例1．已知0α>，试比较1,0.2,22α αα?? ??? 的大小； 例2．已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上． 问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 函数图象 （一）知识梳理 1．函数图象 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到； y =f (x ) a x =→直线y =f (2a -x )。 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； y=f(x) c b a o y x y=|f(x)| c b a o y x Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 y=f(x) c b a o y x y=f(|x|) c b a o y x ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或 压缩（01a <<）为原来的1 a 倍得到。 (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 （二）考点分析 例1．（08江苏理14）设函数3 ()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 4__ 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()3 31f x ax x =-+≥0可化为，2331 a x x ≥ - 设()2331g x x x =-，则()()' 4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12?????? 上单调递减，因此()max 142g x g ?? == ??? ，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤ 2331x x -，()()' 4 312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 【答案】4 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系； 例2．（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是 （ ） A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面 B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知，曲线甲v 比乙v 在0～0t 、0～1t 与x 轴所围成图形面积大，则在0t 、1t 时刻，甲车均在乙车前面，选A. （2）. (2009山东卷理)函数x x x x e e y e e --+=-的图像大致为 ( ). 答案 A 解析 函数有意义,需使 0x x e e --≠, 其定义域为 {}0|≠x x ,排 1x y 1O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 除C,D,又因为22212 111 x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A . 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比 较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例3．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y =与 x y 5log =的图象的交点个数为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 解析：由)1()1(-=+x f x f 知函数)(x f y =的周期为2， 作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log 5x=1; 当x>5时，f(x)=1∈[0，1]， log 5x>1, )(x f y =与x y 5log =的图象不再有交点，故选 C [巩固]设奇函数f (x )的定义域为R ，且对任意实 数x 满足 f(x+1)= -f(x)，若当x ∈[0,1]时，f(x)=2x -1,则f(6log 2 1)= . 题型3：函数的图象变换 例5．（2008全国文，21）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，， ，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2 ()363(2)f x ax x x ax '=-=-． 因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········································ 4分 （Ⅱ）由题设，3 2 2 2 ()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]， 上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥， 即02024a -≥．故得6 5 a ≤． ······································································ 9分 反之，当6 5 a ≤ 时，对任意[02]x ∈， ， 26 ()(3)3(2)5 g x x x x x +-+≤ y x O 1 -1 1 5 23(210)5x x x = +-3(25)(2)5 x x x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]， 上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65? ?-∞ ??? ，． ···································································· 12分 例6．（2009四川卷文）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)2 5(f 的值是 ( ) A. 0 B. 21 C. 1 D. 2 5 题型4：函数图象应用 例7．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =?的图像可能是（ ） y=f(x)o y x y=g(x) o y x o y x o y x o y x o y x A B C D 点评：明确函数图像在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。 例8．已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围。 解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0， 又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ① 又有f (－1)＜0，即－a +b －c ＜0 ② ①+②得b ＜0，故b 的范围是(－∞，0) 解法二：如图f (0)=0有三根0，1，2， ∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ，∴b =－3a ， ∵当x >2时，f (x )>0，从而有a >0，∴b ＜0。 点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 题型5：函数图像变换的应用 例9．已知10< |x a a x =的实根个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3或4 21 o y x 高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则 其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式） 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。 集合与函数板块公式 1.集合的运算: (1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:?U ∈=x x A |{U 且}A x ?,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系: (1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或?) (2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ?.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f (3))()(x g x f y = ,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2 )(π π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法: ①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1>--?>--x f x f x x x f x f x x ②)(x f 减函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1<--?<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法: ①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)(' 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学集合与函数的概念 知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A 且 ??? 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算 第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： 即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成： 及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的； 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 《 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； ' 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321x x 、 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 ？ 练习：（1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d | B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)， 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() [] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？高考复习函数知识点总结
导数及其应用(知识点总结)
指数函数与对数函数知识点总结
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
指数函数知识点总结
集合与函数知识点归纳
高中数学知识点完全总结(绝对全)
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
高中数学第一章集合与函数概念知识点
最全高中数学知识点总结(最全集)
高中数学集合与函数的概念知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
指数函数知识点汇总
(完整版)高考数学高考必备知识点总结精华版
基本初等函数和函数的应用知识点总结
指数函数知识点总结
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
高考数学必考知识点总结归纳