苏教版数学高二必修五导学案2.2 等差数列(第2课时)11

第二章 数列

2．2 等差数列（第2课时）11 **学习目标**

1．了解等差数列的性质，会用性质解决等差数列的简单问题； 2．能进一步根据等差数列的定义判断或证明一个数列为等差数列． **要点精讲**

1．等差数列的性质

（1）在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(,,,)m n p q N *

∈．

（2）在等差数列{}n a 中，12n n n a a a ++=；2n k n k n a a a +-+=(,,)n k n n k N *

-+∈． （3）在等差数列{}n a 中，2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++??????也成等差数列． 2．数列{}n a 为等差数列的证明方法．

（1）若1n n a a --=常数对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等差数列． （2）若112n n n a a a +-+=对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等差数列． **范例分析**

例1．在等差数列{}n a 中，

（1）若3456450a a a a +++=，则18a a += ；

（2）若1235a a a ++=，45610a a a ++=，则789a a a ++= ．

例2．（1）已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求此数列； （2）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求此数列． （3）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．

例3．已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==．求数列{}n a 的通项

公式．

例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()1202,n n n a S S n n N -+=≥∈，112

a =

， （Ⅰ）求证：1n S ??

????

是等差数列； （Ⅱ）求n a 的通项表达式．

**规律总结**

1．利用等差数列的性质解题能够简化运算；

2．在等差数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成一个新的等差数列；

3．判定或证明一个数列{()}n f a 成等差数列，要把()n f a 看成一个整体，()n f a 为第n 项，第1n +项为1()n f a +． **基础训练** 一、选择题

1．在等差数列{n a }中,若1201210864=++++a a a a a ,则12102a a -的值为 （ ） A 、20 B 、22 C 、24 D 、28 2．关于等差数列，有下列四个命题：

①若有两项是有理数，则其余各项都是有理数； ②若有两项是无理数，则其余各项都是无理数；

③若数列{n a }是等差数列，则数列{}n ka 也是等差数列；

④若数列{}n a 是等差数列，则数列2

{}n a 也是等差数列．

其中是真命题的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 3．已知数列{}n a 中32a =，71a =，又数列11n a ??

?

?+??

为等差数列，则11a 等于（

）

A 、0

B 、

21 C 、3

7

D 、1- 4．若,,a b c 成等差数列，则二次函数2

()2f x ax bx c =++的零点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定

5．已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为1

4

的等差数列，则

m n -等于（ ） A 、1 B 、34 C 、12 D 、3

8

二、填空题

6．在ABC ?中，三个内角,,A B C 成等差数列， 则tan

tan 3tan tan 2222

A C A C

++= ． 7．在等差数列}{n a 中，475a a +=，566a a =，则通项公式n a = ． 8．如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3））．依此类推，第n 个图中原三角形被剖分为n a 个三角形．则数列{}n a 的通项公式是 ；第100个图中原三角形被剖分为 个三角形？

三、解答题

9．已知数列{}n a 中，91

7

a =

，131n n n a a a +=+

（1）求证：数列1n a ??

????

为等差数列；（2）求n a 。

10．如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD =cm ，这三个正方形的面积之和是1792

cm ． （1）求,,AB BC CD 的长；

（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

**能力提高**

11．若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，…，32313n n n

a a a --++（ ）

A 、一定不是等差数列

B 、一定是递增数列

C 、一定是等差数列

D 、一定是递减数列

12．已知数列{}n a 满足递推关系式11a =，1221()n n n a a n N *

+=+-∈，

（1）求证：数列1

{}2

n n a -为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．

2．2 等差数列（第2课时）11答案

例1．（1）3456364518()()2()450a a a a a a a a a a +++=+++=+=，18225a a +=； （2）235a =，5310a =，23a ，53a ，83a 成等差数列，8315a =．

例2．（1）设三个数分别为,,a d a a d -+，则()()15()()9a d a a d a d a d -+++=??-+=?，5

4a d =??=±?

，

∴所求数列为1,5,9或9,5,1

（2）法1：设四个数分别为3,,,3a d a d a d a d --++，

则(3)()()(3)26

()()40a d a d a d a d a d a d -+-++++=??

-+=?

，解得,a d ，

得所求数列为2,5,8,11或11,8,5,2

法2：设四个数分别为1234,,,a a a a ，则1234342640a a a a a a +++=??=?，23342()26

40a a a a +=??=?

，

得所求数列为2,5,8,11或11,8,5,2．

（3）设三边长分别为,,a d a a d -+(0)d >，则2

2

2

()()a d a a d -+=+， 所以4a d =，所以()::()3:4:5a d a a d -+=

例3．等差数列{}2log (1)()n a n N *

-∈的第1项是21log (1)1a -=，

第3项是23log (1)3a -=，故该等差数列的公差是2321log (1)log (1)

12

a a d ---=

=，

所以2log (1)1(1)1n a n n -=+-?=，所以21n

n a =+

例4．分析：判定一个数列是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看

1n n a a --(1)n >是不是一个与n 无关的常数．

（Ⅰ）由120n n n a S S -+=，得1120n n n n S S S S ---+=，112n n n n S S S S ---= 而

111

11

2n n n n n n S S S S S S -----==， ∴1n S ???

?

??

是等差数列，首项11

11

2S a ==，公差2d =． （Ⅱ）111(1)22n n n S S =+-?=，12n S n

=，

∴1

,12

1,22(1)

n n a n n n ?=??=??-≥-??

**基础训练**

1．C ． 解：因为468101285120a a a a a a ++++==，所以824a =， 故()10121010108822a a a d a a a a -=-=--= 2．B 提示：①③正确 3．B 提示：因为

7311411d a a -=++，所以d =1

24，113112811

3d a a =+=++， 所以1112

a =

4．D 提示：2a c b +=，2

()()()(1)0f x ax a c x c ax c x =+++=++=，

1x =-或c

x a

=-，当a c =时，有1个零点，当a c ≠时，有2个零点，

5．C 解：设四个根组成的等差数列的公比为d ，则四根之和164d +=，得12

d =， 所以四个根依次为

1357,,,4444，,m n 为715,1616，故12m n -=． 6

提示：3B π=

，原式tan()(1tan tan )tan 222222

A C A C A C

=+-+=7．3n a n =-或4n a n =- 提示：56475a a a a +=+=，5623a a =??=?或56

3

2a a =??=?

8．23-=n a n ；298 9．（1）

1311n n n a a a ++=，1113n n a a +=+，111

3n n

a a +-= 故数列1n a ??

?

???

为等差数列； （2）

911(9)7(9)3320n n d n n a a =+-=+-?=-，所以1320

n a n =-。 10．（1）设公差为(0)d d >，BC x =ＢＣ＝x ，则,AB x d CD x d =-=+．由题意得

???=+++-=+++-179)()(21

)()(2

22d x x d x d x x d x 解得???==47d x 或?

??-==47d x （舍去）

3AB =（cm ），7BC =（cm ），11CD =（cm ）。

（2）正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{}n a ，所以

103(101)439a =+-?=，2

210

391521a ==（2cm ）。 所求正方形的面积为15212

cm ． **能力提高**

11．C 提示：成等差数列，公差为9d

12．解：（1）

11111(221)12(1)1

2222

n n n n n n n n a a a a +++--+-----==为常数， 所以数列1

{}2

n n a -为等差数列。 （2）此时，()1111

1222

n n a a n --=+-?，所以()1112n n a n -=+-?．