现代控制系统分析与设计

现代控制系统分析与设计

一 线性定常系统模型

1. 线性定常系统的数学模型

在MA TLAB 中，线性定常（linear time invariant, 简称为 LTI ）系统可以用4种数学模

型描述，即传递函数(TF)模型、零极点增益(ZPK)模型和状态空间(SS)模型以及SIMULINK

结构图。前三种数学模型是用数学表达式表示的，且均有连续和离散两种类型，通常把它们

统称为LTI 模型。

1) 传递函数模型（TF 模型）

令单输入单输出线性定常连续和离散系统的传递函数分别为

11101)()()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y s G n n n m m m m ++++++++==---- (1-1) 和

11101)()()(a z a z a z b z b z b z b z U z Y z G n n n m m m m ++++++++==---- 。 (1-2) 在MA TLAB 中，连续系统和离散系统的传递函数都用分子/分母多项式系数构成的两个

行向量num 和den 表示，即

[]01b b b num m =，[]011a a den n -=

系统的传递函数模型用MATLAB 提供的函数tf( )建立。函数tf ( )不仅能用于建立系统传递

函数模型，也能用于将系统的零极点增益模型和状态空间模型转换为传递函数模型。该函数

的调用格式如下：

),(d e n n u m

tf G = 返回连续系统的传递函数模型G 。 ),,(Ts den num tf G = 返回离散系统的传递函数模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =-1或

者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G tf Gtf = 可将任意的LTI 模型G 转换为传递函数模型Gtf 。

例1-1 已知一个系统的传递函数为

6

1166)(23+++=s s s s G 建立传递函数模型。

在命令窗中运行下列命令

>>num=6;den=[1 6 11 6];G=tf (num, den)

返回

Transfer function:

6

----------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

2) 零极点增益模型（ZPK 模型）

系统的零极点增益模型是传递函数模型的一种特殊形式。令线性定常连续和离散系统的

零极点形式的传递函数分别为

)

())(()())(()()()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s U s Y s G ++++++==

(1-3) 和 )())(()())(()()()(2121n m p z p z p z z z z z z z K z U z Y z G ++++++==

(1-4) 在MA TLAB 中，连续和离散系统的零点和极点都用行向量z 和p 表示，即

[]m z z z z 21=，[]n p p p p 21=。

系统的零极点增益模型用MATLAB 提供的函数zpk ( )建立。函数zpk( )不仅能用来建立

系统零极点增益模型，也能用于将系统的传递函数模型和状态空间模型转换为零极点增益模

型。该函数的调用格式如下：

),,(k p z z p k

G = 返回连续系统的零极点增益模型G 。 ),,,(Ts k p z zpk G = 返回离散系统的零极点增益模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =-1或

者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G z p k G z p k

= 可将任意的LTI 模型G 转换为零极点增益模型Gzpk 。 例1-2 已知系统的传递函数为

)

3)(2)(1(6)(+++=s s s s G 建立系统的零极点增益模型。

在命令窗中运行下列命令

>> z=[ ];p=[-1 -2 -3];k=6;G=zpk(z,p,k)

返回

Zero/pole/gain:

6

-----------------

(s+1) (s+2) (s+3)

注意：无零点时，设z 为空。

3) 状态空间模型(SS 模型)

令多输入多输出线性定常连续和离散系统的状态空间表达式分别为

)()()(t Bu t Ax t x

+= )()()(t Du t Cx t y += （1-5）

和

)()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()()(k Du k Cx k y += （1-6）

在MA TLAB 中，连续系统和离散系统的状态空间模型都用MA TLAB 提供的函数ss ( )

建立。函数ss ( )不仅能用于建立系统的状态空间模型，也能用于将系统的传递函数模型和

零极点增益模型转换为状态空间模型。该函数的调用格式如下：

),,,(D C B A ss G = 返回连续系统的状态空间模型G 。

),,,,(Ts D C B A ss G = 返回离散系统的状态空间模型G 。Ts 为采样周期，当Ts =1或

者Ts =[]时，系统的采样周期未定义。

)(G ss Gss = 可将任意的LTI 模型G 转换为状态空间模型Gss 。

例1-3 已知系统的状态空间表达式为

u x x ????

??????+??????????---=1006116100010 []x y 006=

建立系统的状态空间模型。

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[0;0;1];C=[6 0 0];D=0;G=ss(A,B,C,D)

返回

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -6 -11 -6

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 6 0 0

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

注意：D=0不能缺省。

2．模型转换

上述三种LTI 模型之间可以通过函数tf( )，zpk( )和ss( )相互转换。线性定常系统的传递

函数模型和零极点增益模型是唯一的，但系统的状态空间模型是不唯一的。函数ss( )只能将

传递函数模型和零极点增益模型转换为一种指定形式的状态空间模型。

例1-4 已知系统的传递函数，建立TF 模型，将其转换为ZPK 模型和SS 模型。再将转换得

到的SS 模型转换为TF 模型。

2

545)(23+++=s s s s G 编制如下程序%ex14。

%ex14

num=5;den=[1 4 5 2];Gtf=tf(num,den);

Gzpk=zpk(Gtf)

Gss=ss(Gtf)

Gtf1=tf(Gss)

在命令窗中运行该程序，即

>> ex14

返回

Zero/pole/gain:

5

-------------

(s+2) (s+1)^2

a =

x1 x2 x3

x1 -4 -2.5 -0.5

x2 2 0 0

x3 0 2 0

b =

u1

x1 1

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 1.25

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

Transfer function:

5

---------------------

s^3 + 4 s^2 + 5 s + 2

传递函数可以转换为约旦标准型（包括对角标准型）、能控标准型和能观测标准型。

我们编制的函数jordants( ) 可用部分分式展开将传递函数转换为对角标准型或约当标

准型。该函数的调用格式为：

),(den num jordants GJ =

其中num 和den 分别为传递函数分子和分母多项式系数的行向量，

GJ 为转换得到对角标准型或约当标准型。

该函数的程序如下：

function Gj=jordants(num,den) %用部分分式展开将传递函数转换为约当标准型

[R,P,K]=residue(num,den);

j=1;q=P(1);m(1)=0;

for i=1:length(P)

if P(i)==q

m(j)=m(j)+1;

else q=P(i);

j=j+1;

m(j)=1;

end

end %计算各极点的重数

Aj=diag(P);

for i=1:length(P)-1

if Aj(i,i)==Aj(i+1,i+1)

Aj(i,i+1)=1;

else Aj(i,i+1)=0;

end

end %构造系统矩阵Aj

B1=0;

l=0;

for j=1:length(m)

l=l+m(j);

B1(l)=1;

end

Bj=B1'; %构造输入矩阵Bj

n=1;l=m(1);

Cj(:,1:m(1))=rot90(R(1:m(1),:),3);

for k=2:length(m)

n=l+1;l=l+m(k);

Cj(:,n:l)=rot90(R(n:l,:),3);

end %构造输出矩阵Cj

if K==[ ]

Dj=0;

else

Dj=K;

end %构造直联矩阵Dj

Gj=ss(Aj,Bj,Cj,Dj);

例1-5 已知系统的传递函数为

6

1166)(23+++=

s s s s G 将其转换为对角标准型。

在命令窗中运行下列命令

>> num=[6];den=[1 6 11 6];Gj=canon(tf(num,den), 'modal')

返回

a =

x1 x2 x3

x1 -3 0 0

x2 0 -2 0

x3 0 0 -1

b =

u1

x1 -7.762

x2 -9.798

x3 2.872

c =

x1 x2 x3

y1 -0.3865 0.6124 1.044

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

例1-6 已知系统的传递函数为

4

851117102)(2323++++++=s s s s s s s G 将其转换为约当标准型。

在命令窗中运行下列命令

>> num=[2 10 17 11]; den=[1 5 8 4]; Gj=jordants(num,den)

返回

a =

x1 x2 x3

x1 -2 1 0

x2 0 -2 0

x3 0 0 -1

b =

u1

x1 0

x2 1

c =

x1 x2 x3

y1 -1 -2 2

d =

u1

y1 2

Continuous-time model.

我们编制的函数ctrlts( )可将传递函数转换为能控标准型。该函数的调用格式为：ctrlts

Gc

num

(d e n

)

,

其中num和den分别为传递函数的分子和分母多项式系数的行向量，Gc为转换得到的能控标准型。

该函数的程序如下:

function Gc=ctrlts(num,den) %将传递函数转换为能控标准型

m=length(num)-1;n=length(den)-1;

if m==n

[R,P,K]=residue(num,den);

num1=num-K*den;

A(n,:)=-1*rot90(den(:,2:n+1),2);

A(1:n-1,2:n)=eye(n-1);

A(1:n-1,1)=zeros(n-1,1);

B=[zeros(n-1,1);1];

C=rot90(num1(:,2:n+1),2);

D=K;

else A(n,:)=-1*rot90(den(:,2:n+1),2);

A(1:n-1,2:n)=eye(n-1);

A(1:n-1,1)=zeros(n-1,1);

B=[zeros(n-1,1);1];

C(:,1:m+1)=rot90(num,2);

C(:,m+2:n)=zeros(1,n-m-1);

D=0;

end

Gc=ss(A,B,C,D);

例1-7将例1-6中的传递函数转换为能控标准型。

在命令窗中运行下列命令

>> num=[2 10 17 11];den=[1 5 8 4];Gc=ctrlts(num,den)

返回

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -4 -8 -5

b =

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 3 1 0

d =

u1

y1 2

Continuous-time model.

进一步，求能控标准型的对偶系统可得能观测标准型。在命令窗中运行下列命令

>> Ao=(Gc.a)';Bo=(Gc.c)';Co=(Gc.b)';Do=Gc.d;Go=ss(Ao,Bo,Co,Do)

返回

a =

x1 x2 x3

x1 0 0 -4

x2 1 0 -8

x3 0 1 -5

b =

u1

x1 3

x2 1

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 1

d =

u1

y1 2

Continuous-time model.

下面是介绍MA TLAB提供的三个函数tfdata( ), zpkdata( ), ssdata( )。

函数tfdata( ) 可得到传递函数模型的分子分母多项式系数。其调用格式为

t f d a t a

G

d e n

n u m=

]

)'',

[v

(

,

其中G为系统LTI模型。num和den分别为分子和分母多项式的系数向量。

函数zpkdata( ) 可得到零极点增益模型的零点、极点和增益。其调用格式为

G

zpkdata

k

p

[v

z=

)'',

(

]

,

,

其中G为系统LTI模型。z和p分别为零点和极点向量，k为增益。

函数ssdata( ) 可得到状态空间模型的系数矩阵。其调用格式为D

ssdata

G

C

B

A=

,

(

)'',

[v

]

,

,

其中G为系统LTI模型。A,B,C,D为系数矩阵。

3. 模型的连接

1) 串联连接

设线性定常系统∑1和∑2的LTI 模型分别为1G 和2G 。在MATLAB 中, 两者的串联

连接（参教材）可由命令12*G G G =实现，其中G 为整个系统的LTI 模型。多个系统的串

联连接可由命令11***G G G G n n -=实现。

2) 并联连接

设线性定常系统∑1和∑2的LTI 模型分别为1G 和2G 。在MATLAB 中, 两者的并联

连接（参教材）可由命令21G G G +=实现，其中G 为整个系统的LTI 模型。多个系统的

并联连接可由命令n G G G G +++= 21实现。

3) 反馈连接

设线性定常系统∑1和∑2的LTI 模型分别为1G 和2G 。在MATLAB 中, 两者的反馈

连接（参教材）可由MA TLAB 提供的函数feedback( )实现。该函数的调用格式为： ),,(21Sign G G feedback G =

其中G 为整个系统LTI 模型。如果Sign=-1或省略Sign 变量，则表示负反馈。如果Sign=1,

则表示正反馈。

4. 状态空间表达式的相似变换

线性定常系统状态空间表达式为),,,(D C B A ∑，假设存在一个非奇异矩阵T 将原状态

x 变换为z=Tx ， 则状态z 对应的状态空间表达式为),,,(D C B A ∑，其中1-=TAT A ，

TB B =，1-=CT C 。

MATLAB 提供函数ss2ss( )可完成状态空间模型的相似变换。该函数调用格式为

),(2T G ss ss Gt =

其中G 为原状态空间模型。T 为变换矩阵。Gt 为经变换得到的状态空间模型。

例1-8 考虑一个系统，它的状态空间表达式为

u x x ??

????+??????--=113210 []x y 01=

由于该系统的系统矩阵A 为友矩阵，所以可由其特征值构造变换矩阵。令变换矩阵T

为12111-??

????--=T 。

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 1;-2 -3];B=[1 1]';C=[1 0];G=ss(A,B,C,0); T=inv([1 1;-1 -2]); G1=ss2ss(G,T)

返回

a =

x1 x2

x1 -1 0

x2 0 -2

b =

u1

x1 3

x2 -2

c =

x1 x2

y1 1 1

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

通过线性变换可将状态空间表达式变换为约当标准型（包括对角标准型），能控标准型和能观测标准型。

MATLAB提供的函数canon( )可将状态空间表达式变换为对角标准型或约当标准型。该函数的调用格式为：

G

canon

GJ

',

(al

)'

mod

其中G为原状态空间模型，而GJ为转换得到的对角标准型或约当标准型。但该函数在系统含有重特征值时，效果不甚理想。

例1-9利用函数canon( )将例1-8中状态空间表达式变换为对角标准型。

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 1;-2 -3];B=[1 1]';C=[1 0];G=ss(A,B,C,0); G1=canon(G,’modal’)

返回

a =

x1 x2

x1 -1 0

x2 0 -2

b =

u1

x1 4.243

x2 4.472

c =

x1 x2

y1 0.7071 -0.4472

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

如果SISO 线性定常系统),,,(D C B A ∑完全能控，则可通过非奇异线性变换将状态空间表达式),,,(D C B A ∑变换为能控标准型。

我们编制的函数ctrlss( ) 可实现这一变换。该函数的调用格式为：

)(G ctrlss Gc =

其中G 为原来的状态空间模型。Gc 为转换得到的能控标准型。

该函数程序如下：

function Gc=ctrlss(A,B,C,D) %将状态空间表达式变换为能控标准型

n=length(A);

Uc=ctrb(A,B);

U=inv(Uc);

p1=U(n,:);

for i=1:n

T(i,:)=p1*A^(i-1);

end

Ac=T*A*inv(T);

Bc=T*B;

Cc=C*inv(T);

Gc=ss(Ac,Bc,Cc,D);

例1-10 考虑一个系统，它的状态空间表达式为

u x x ????

?

?????+??????????---=112122211220 []x y 111=

将其转换为能控标准型。

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 2 -2;1 1 -2;2 -2 1];B=[2 1 1]';C=[1 1 1];D=0;Gc=ctrlss(A,B,C,D)

返回

a =

x1 x2 x3

x1 -4.441e-016 1 1.665e-016

x2 -8.882e-016 0 1

x3 -2 1 2

b =

u1

x1 1.388e-017

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 -20 -4 4

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

试编将状态空间表达式变换为能观测标准型的函数。

二 线性定常系统状态方程的解

1、线性定常连续系统状态转移矩阵的计算

线性定常连续系统的状态转移矩阵为])[()(11---==ΦA sI L e t At 。

（3-2-1） 在MA TLAB 中, 状态转移矩阵可直接用指数矩阵法和拉氏反变换法计算。

例2-1 求系统矩阵A 对应的状态转移矩阵。

???

???--=3210A

指数矩阵法：

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 1;-2 -3];syms t; phet=expm(A*t)

返回

phet =

[ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t)]

[ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)]

拉氏反变换法：

在命令窗中运行下列命令

>> A=[0 1;-2 -3]; syms s;G=inv(s*eye(size(A))-A)

返回

G =

[ (s+3)/(s^2+3*s+2), 1/(s^2+3*s+2)]

[ -2/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)]

即1)(--A sI 。再对其进行拉氏逆变换，即在命令窗中输入语句

>>phet= ilaplace(G)

返回

phet =

[ -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t)]

[ -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)]

2. 线性定常连续系统的状态方程求解

如果线性定常连续系统的状态空间表达式为

Bu Ax x +=

Du Cx y +=

且初始状态为)0(x ，那么状态方程解的拉氏变换式为

)()()0()()(11s Bu A sI x A sI s x ---+-= （3-2-2）

其解为

?-+=t t A At d Bu e x e t x 0

)()()0()(τττ （3-2-3） 其中零输入响应为 )0(x e At 或)0(}){(11x A sI L --- （3-2-4） 零状态响应为 τττd Bu e t

t A )(0)(?-或)}(){(11s Bu A sI L --- （3-2-5）

系统的输出响应为 )()}()()0()({111t Du s Bu A sI C x A sI C L +-+---- （3-2-6） 例2-2 已知系统的状态方程为

u x x ??

????+??????--=103210 试求初始状态为????

??-=11)0(x ，输入分别为)(1)(t t u =和 t t u =)(时状态方程的解。 编制程序%ex22求输入为)(1)(t t u =时状态方程的解。该程序如下：

A=[0 1;-2 -3];B=[0 1]';syms s;G=inv(s*eye(size(A))-A);phet=ilaplace(G);X0=[1 -1]';Xt1=phet*X0

Xt2=ilaplace(G*B*(1/s))

在命令窗中运行该程序，即

>> ex22

返回

xt1 =

[ exp(-t)]

[ -exp(-t)]

xt2 =

[ 1/2-exp(-t)+1/2*exp(-2*t)]

[ exp(-t)-exp(-2*t)]

其中xt1为零输入响应，xt2为零状态响应。 将该程序中s s u 1)(=用21)(s

s u =代替可求出输入为单位斜坡函数时状态方程的解 xt1 =

[ exp(-t)]

[ -exp(-t)]

xt2 =

[ 1/2*t-3/4-1/4*exp(-2*t)+exp(-t)]

[ 1/2-exp(-t)+1/2*exp(-2*t)]

上述得到的是状态方程的解析解，MATLAB 提供的函数step( ) 、impulse( )、lsim( ) 和

initial( )可以求得系统响应的数值解。

函数step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。该函数的调用格式为：

),(t G step y = 其中G 为给定系统LTI 模型，t 为时间向量。通常取t=0:dt:t-end ，其中t-end 为终值时间，而dt 为时间步长。y 为系统输出。

)(G step y = 这时时间向量t 自动生成。

),(],,[t G step x t y = 或 )(],,[G s t e p x t y = 如果G 为状态空间模型，

则x 为系统状态向量，否则x 将返回空矩阵。

),(t G step 或 )(G s t e p 此时不返回任何变量，而自动地绘制单位阶跃响应输出曲线。

函数impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。该函数的调用格式与函数step( )的调用格式相似。

函数lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。该函数的调用格式为：

),,(t u G lsim y =

其中u 为与时间向量t 对应的输入向量。当然还可以和step( )函数一样有其它的调用格式。 函数initial( ) 可求解系统的零输入响应。该函数的调用格式为

)0,(x G initial y = 或 )0,(],,[x G i n i t i a l x t y =

其中G 为状态空间模型，x0为初始状态。

例2-3 已知系统为

u x x ??

????+??????--=103210 []x y 11=

初始状态为??

????-=11)0(x ，试求u(t)为单位阶跃函数时系统状态响应和输出响应，并绘制状态响应曲线和输出响应曲线。

在命令窗中运行下列命令，建立状态空间模型，计算系统在初始状态作用下的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。

>> A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 1]; D=0; G=ss(A,B,C,D);

t=0:0.5:10; x0=[1;-1];

[yo,t,xo]=initial(G ,x0,t); plot(t,xo,':',t,yo,'-')

返回图1。

图1状态响应 图2 输出响应

在命令窗中继续运行下列命令，计算系统在输入作用下的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。

>>figure('pos',[50 50 200 150],'color','w')

u=ones(size(t));

[yu,t,xu]=lsim(G ,u,t);

plot(t,xu,':',t,yu,'-')

返回图2。

再继续运行下列命令求系统总的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。 >>y=yo+yu; x=xo+xu; plot(t,x,':',t,y,'-')

返回图3。

图3 图4

例2-4 已知系统 u x x ??

????+??????--=026510 []x y 21=

求出系统在初始状态为零，且)0()(≥=-t e t u t 时系统的状态响应和输出响应。

在命令窗中运行下列命令

>>A=[0 1;-5 -6];B=[2;0];C=[1 2];D=0;G=ss(A,B,C,D);t=0:0.5:20;u=exp(-t);

[y,t,x]=lsim(G,u,t);plot(t,x,':k',t,y,'-k')

可得状态响应和输出响应的数值解以及相应的曲线，如图4。

也可编制如下程序%ex24，先求状态方程的解析解再求数值解，然后绘制曲线。 %ex24