双曲线练习题及答案
双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式:
1:定义:双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径。 2.已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a 运用双曲线的定义
例1.若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α所在象限是( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
练习1.设双曲线19
162
2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15,则P 点到)0,5(-的距离是( ) A .7 B.23 C.5或23 D.7或23
例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2
+32
y 52=1的两个顶点,双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦
点,则此双曲线的方程是( )。
(A )6x 2-4y 2=1 (B )4x 2-6y 2=1 (C )5x 2-3y 2=1 (D )3x 2-5
y 2=1
练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的( )。
(A )充分条件 (B )必要条件 (C )充要条件 (D )不充分不必要条件
例3. 已知|θ|<
2
π
,直线y=-tg θ(x -1)和双曲线y 2cos 2θ-x 2 =1有且仅有一个公共点,则θ等于( )。 (A )±6π (B )±4π (C )±3π
(D )±12
5π
课堂练习
1、已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±
=,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为
;
2、焦点为(0,6),且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )
A .124
122
2=-y x
B .
124
122
2=-x y C .
112
242
2=-x y D .
112242
2=-y x
3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a
y b x 22
22=-的离心率,则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是
。
4.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,
则OP FP ?的取值范围为 ( )
A .)+∞
B .[3)++∞
C .7[-,)4+∞
D .7
[,)4
+∞
5. 已知倾斜角为
4
π
的直线l 被双曲线x 2-4y 2=60截得的弦长|AB |=82,求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。
6. 已知P 是曲线xy=1上的任意一点,F(2,2)为一定点,l :x+y -2=0为一定直线,
求证:|PF |与点P 到直线l 的距离d 之比等于
2。
7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为)
.
(Ⅰ)求双曲线C 的方程
(Ⅱ)若直线:=l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>OA OB (其中O 为原点),求k
的取值范围 8、已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。
(1)求a 的取值范围;
(2)若以A B 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值;
课后作业
1.双曲线36x 2
-49
y 2=1的渐近线方程是 ( )
(A )36x ±49y =0 (B )36y ±49
x =0 (C )6x ±7y =0 (D )7x
±6y =0
2.双曲线5x 2-4y 2=1与5
x 2-4y 2
=k 始终有相同的( )
(A )焦点 (B )准线 (C )渐近线 (D )离心率
3.直线y =x +3与曲线4
y 4x
x 2
+
-=1的交点的个数是( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )3个
4.双曲线x 2-ay 2=1的焦点坐标是( )
(A )(a +1, 0) , (-a +1, 0) (B )(a -1, 0), (-a -1, 0) (C )(-
a a 1+, 0),(a a 1+, 0) (D )(-a a 1-, 0), (a
a 1
-, 0) 5.设双曲线1b
y a x 22
22=-(b>a>0)的半焦距为c ,直线l 过(a, 0)、(0, b)两点,已知原点到直线 L 的距离
是
4
3
c ,则双曲线的离心率是( ) (A )2 (B )3 (C )2 (D )
3
3
2 6.若双曲线x 2-y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2,则a +b 的值为( )。 (A )-21 (B )21 (C )-21或2
1 (D )2或-2
7.已知方程k 3x 2++k
2y 2-=1表示双曲线,则k 的取值范围是 。
8. 若双曲线2
222k
4y k 9x -=1与圆x 2+y 2
=1没有公共点,则实数k 的取值范围是
9. 求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
10 设函数f (x )=sin x cos x -3cos(x +π)cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期;
(2)若函数y =f (x )的图象按b =? ????
π4
,32平移后得到函数y =g (x )的图象,求y =g (x )在??
????0,π4上的最大值.
11、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (I )求数列{}n a 的通项公式;
(II )若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈,证明:{}n b 是等差数列;
课1、[解析]设双曲线方程为λ=-2
2
4y x ,
当0>λ时,化为
14
2
2
=-
λ
λ
y x ,20104
52
=∴=∴λλ
, 当0<λ时,化为
142
2
=---λλy y ,2010452-=∴=-∴λλ, 综上,双曲线方程为
221205x y -=或12052
2=-x y
课2.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B 3、解(1)设双曲线方程为
22
22
1-=x y
a b
由已知得2==a c ,再由222
2+=a b ,得2
1=b
故双曲线C 的方程为2
213
-=x y . (2
)将=y kx 2
213
-=x y
得22(13)90---=k x 由直线l
与双曲线交与不同的两点得()
22
22
13036(13)36(1)0
?-≠?
?
?=+-=->??
k k
即2
13
≠
k 且2
1 2 9 13-+= =-A B A B x y x y k ,由2?>OA OB 得2+>A B A B x x y y , 而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x 22 22937 (1)21331 -+=+=--k k k k k . 于是2237231+>-k k ,即22 39031-+>-k k 解此不等式得21 3.3 < 21 13 < 3??-- ? ??? 4、解:(1)由???=-+=1 312 2y x ax y 消去y ,得022)3(2 2=---ax x a (1) 依题意???>?≠-0 032a 即66<<-a 且3±≠a (2) (2)设),(11y x A ,),(22y x B ,则??? ???? --=-=+)4(32)3(32221221a x x a a x x ∵ 以AB 为直径的圆过原点 ∴ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x 但1)(21212 21+++=x x a x x a y y 由(3)(4),22132a a x x -=+,2 2132 a x x --= ∴ 013232)1(2 2 2 =+-?+--? +a a a a a 解得1±=a 且满足(2) 9 设函数f (x )=sin x cos x -3cos(x +π)cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期; (2)若函数y =f (x )的图象按b =??? ?π4,3 2平移后得到函数y =g (x )的图象,求y =g (x )在????0,π4上的最大值.大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 【解答】 (1)f (x )=12sin2x +3cos 2x =12sin2x +32(1+cos2x )=12sin2x +32cos2x +3 2 =sin ????2x +π3+32.故f (x )的最小正周期为T =2π2 =π. (2)依题意g (x )=f ????x -π4+32=sin ????2????x -π4+π3+32+3 2 =sin ????2x -π6+ 3. 当x ∈????0,π4时,2x -π 6∈??? ?-π6,π3,g (x )为增函数, 所以g (x )在????0,π4上的最大值为g ????π4=332. 22、已知数列 {}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (I )求数列 {}n a 的通项公式; (II )若数列 {}n b 满足1 2 1114.4...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈,证明:{}n b 是等差数列; 22(I ):*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 2* 21().n a n N =-∈ (II )证法一:121 11 44 ...4 (1).n n b b b b n a ---=+ 12(...)42.n n b b b n nb +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②-①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= ③ 21(1)20. n n nb n b ++-++= ④ ④-③,得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120, n n n b b b ++-+= *211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列。 练习题答案 1、[解析]设双曲线方程为 λ=-224y x , 当 0>λ时,化为 14 2 2 =- λ λ y x ,20104 52 =∴=∴λλ , 当0<λ时,化为 142 2 =---λλy y ,2010452-=∴=-∴λλ, 综上,双曲线方程为 221205x y -=或12052 2=-x y 2、[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B 7、解(1)设双曲线方程为22 221-=x y a b 由已知得 2==a c ,再由2222+=a b ,得21=b 故双曲线C 的方程为2 213 -=x y . (2 )将=y kx 2 213 -=x y 得22(13)90---=k x 由直线l 与双曲线交与不同的两点得() 22 22 13036(13)36(1)0 ?-≠? ? ?=+-=->?? k k 即 213 ≠ k 且2 1 A x y B x y ,则 22 9 ,1313-+= =--A B A B x y x y k k ,由 2?>OA OB 得2+>A B A B x x y y , 而 2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x 22 22 2937 (1)2131331-+=++=---k k k k k k . 于是2237231+>-k k ,即2239031-+>-k k 解此不等式得 21 3.3 < 21 13< 故的取值范围为 3(1,,13 3??-- ? ??? 8、解:(1)由???=-+=1 312 2y x ax y 消去y ,得022)3(2 2=---ax x a (1) 依题意???>?≠-0 32a 即66<<- a 且3±≠a (2) (2)设),(11y x A ,),(22y x B ,则??? ???? --=-=+)4(32)3(32221221a x x a a x x ∵ 以AB 为直径的圆过原点 ∴ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x 但 1)(2121221+++=x x a x x a y y 由(3)(4), 2 2132a a x x -= +, 2 2132a x x --= ∴ 013232)1(2 2 2=+-? +--? +a a a a a 解得1±=a 且满足(2) 例2答案:A 提示:椭圆10x 2+32y 52=1的两个顶点是(10, 0), (-10, 0), 焦点是(-5103, 0), (5 10 3, 0), 在双曲线中,c=10, c a 2=5103, a 2=6, b 2 =4, ∴双曲线的方程是6x 2-4y 2=1 例3答案:B 提示:将y=-tg θ(x -1)代入到双曲线y 2cos 2θ-x 2 =1中,化简得cos 2θx 2+2xsin 2θ+cos 2θ=0, △=0,解得sin θ=±cos θ, ∴θ=±4 π 课练3.答案:e 12+e 22=e 12·e 22 提示:e 12+e 22= 2222b c a c +=22222b a )b a (c +=224 b a c = e 12·e 22 课练4【答案】B 【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点,所以2 14a +=,即2 3a =,所以双曲线方程为2 213 x y -=,设点P 00(,)x y ,则有220001(3x y x -=≥ ,解得22 0001(3x y x =-≥,因为00(2,)FP x y =+,00(,)OP x y =,所以2 000(2)OP FP x x y ?=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-,此二次函数对应的抛物线的对称轴为03 4 x =-,因 为0x ,所以 当0x =时,OP FP ?取得最小 值 4 313 ?+ =3+,故OP FP ?的取值范围 是[3)++∞,选B 。 课练5答案:y=x ±9, (x ±12)2+(y ±3)2=32 提示:设直线的方程是y=x +m, 与双曲线的方程x 2-4y 2=60联立,消去y 得3x 2+8mx +4m 2+60=0, |AB|=2|x 1- x 2|=2 9 720 m 162-=82,解得m=±9, ∴直线l 的方程是y=x ±9, 当m=9时, AB 的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x - 12)2+(y -3)2=32,同样当m=-9时,AB 的中点是(-12, -3), 圆的方程是(x +12)2+(y +3)2=32 课练 6 提示:设P(x, y), |PF|2=(x -2)2+(y -2)2, P 点到直线l 的距离d= 2 | 2y x |-+, ∴ 22 d |PF |=2 xy 2y 22x 222y x 2y 22y 2x 22x 2 222+--+++-++-=2, ∴|PF |与点P 到直线l 的距离d 之比等于2。 课后6答案:B 提示:a 2-b 2=1, 2 |b a |-=2, 且a 2>b 2, a>0, 解得a +b= 2 1 三、典型例题选讲 (一)考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点.若3||1=PF ,则=||2PF ( ) A .1或5 B .6 C .7 D .9 分析:根据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出a 的值,利用双曲线的定义求出 2||PF 的值. 解:Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±,由已知渐近线为023=-y x , 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=,||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ,7||2=∴PF . 故选C . 归纳小结:本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. (二)基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( ) A . 4 5 B .5 C .25 D .5 解析:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?,消去y ,得 210b x x a - +=有唯一解,所以△=2()40b a -=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a +===+=,故选D . 归纳小结:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 例3(2009全国Ⅰ理)设双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切,则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析:设切点00(,)P x y ,则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==.由题意有 00 2y x x =.又有2001y x =+,联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=. 因此选C . 例4(2009江西)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点,若12F F ,, (0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A . 32 B .2 C .5 2 D .3 解析:由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-,则2c e a ==,故选B . 归纳小结:注意等边三角形及双曲线的几何特征,从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用. (三)求曲线的方程 1、设双曲线22 22b y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点, 从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点. (1) 证明:无论P 点在什么位置,总有|→ --OP |2 = |→-OQ ·→ --OR | ( O 为坐标原点); (2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围; 解:(1) 设OP :y = k x, 又条件可设AR: y = a b (x – a ), 解得:→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→ -OQ = (b ak ab +,b ak kab +), ∴|→ -OQ ·→ --OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =| b k a |)k 1(b a 2 22222-+. 设→ --OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得: m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 2 22222k a b b a k -, ∴ |→ --OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 2222 22k a b b a k -=2 22222k a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上,∴b 2 – a 2k 2 > 0 . ∴无论P 点在什么位置,总有|→ --OP |2 = |→-OQ ·→ --OR | . (2)由条件得:2 22222k a b ) k 1(b a -+= 4ab, 即k 2 = 2 2a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 4 17 2019高考双曲线单元测试题 1.双曲线的渐近线为() A. B. C. D. 2.A已知双曲线的中心为原点,点是双曲线的一个焦点,点到渐近线的距离为1,则的方程为() A. B. C. D. 3.双曲线的渐近线方程为,则的离心率为() A. 2 B. C. D. 4.已知双曲线,则双曲线的焦点坐标为() A. B. C. D. 5.已知双曲线的离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为() A. B.C. D. 6.斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是()A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. D. 7.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为、,焦距为(),抛物线 的准线交双曲线左支于,两点,且(为坐标原点),则该双曲线的离心率为()A. B. 2 C. D. 8.若双曲线与双曲线的焦距相等,则实数的值为() A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 9.已知点是双曲线(,)右支上一点,是右焦点,若(是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率为() A. B. C. D. 10.已知双曲线,的左焦点为F,离心率为,若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为() A. B. C. D. 11.已知双曲线方程为,它的一条渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为() A. B. C. D. 12.已知双曲线的离心率为2,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知方程表示双曲线,则实数的取值范围为___________. 14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________. 15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 16.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是________. 三、解答题 17.已知三点P、、. (1)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程; (2)求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程. 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲:动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0);命题乙; P 点轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 [ ] A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么角?的终边在 [ ] A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 6. 7. 若a ·b ?0,则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A .双曲线且焦点在x 轴上 B .双曲线且焦点在y 轴上 C .双曲线且焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上 D .椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0,方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x﹣4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是() A.x=0 B. C.D. 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为; (2)顶点间的距离为6,渐近线方程为. 3、与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上,且经过点A(,﹣2)和B(﹣2,)两点的双曲线的标准方程. 5、已知P是双曲线=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为. 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为. 2、设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为. 3、双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0) 和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l 的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是() A. B.C.D. 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,已知A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为. 2、.已知F1,F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积. 3、已知双曲线焦点在y轴上,F1,F2为其焦点,焦距为10,焦距是实轴长的2倍.求: (1)双曲线的渐近线方程; (2)若P为双曲线上一点,且满足∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积. 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P(1,1)的直线L与双曲线只有一个公共点,则直线L的斜率k= ____ 5、综合题型 《双曲线高考真题》专题 2018年( )月( )日 班级 姓名 从善如登,从恶如崩。——《国语》 1.(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A .(, B .(2,0)-,(2,0) C .(0,, D .(0,2)-,(0,2) 2.(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A .=y B .=y C .2=± y x D .2 =±y x 3.(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>:,则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B .2 C . 2 D .4.(2017新课标Ⅰ)已知F 是双曲线C :2 2 13 y x -=的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3).则APF ?的面积为 A . 13 B .12 C .23 D .32 5.(2017新课标Ⅱ)若1a >,则双曲线22 21x y a -=的离心率的取值范围是 A .)+∞ B . C . D .(1,2) 6.(2017天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐 近线上,OAF △是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 A . 221412x y -= B .221124x y -= C .2213x y -= D .22 13y x -= 7.(2016天津)已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦距为52,且双曲线的一条 渐近线与直线02=+y x 垂直,则双曲线的方程为 A .1422=-y x B .1422 =- y x C . 15 320322=-y x D .12035322=-y x 8.(2015湖南)若双曲线22 221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-,则此双曲线的离心 率为 A B .54 C .43 D .53 9.(2015四川)过双曲线2 2 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点,则||AB = A . 3 B . C .6 D .10.(2014新课标1)已知F 是双曲线C :2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到 C 的一条渐近线的距离为 A B .3 C D .3m 11.(2013新课标1)已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为2 , ~ 第17章反比例函数综合检测题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、反比例函数y = x n 5 图象经过点(2,3),则n 的值是( ). A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y =x k (k ≠0)的图象经过点(-1,2),则这个函数的图象一定经过点( ). A 、(2,-1) B 、(-21,2) C 、(-2,-1) D 、(2 1 ,2) 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s (km ),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t (h )与行驶速度v (km/h )的函数关系图象大致是( ) ? 4、若y 与x 成正比例,x 与z 成反比例,则y 与z 之间的关系是( ). , A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y =kx -k ,y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y = x k 满足( ). A 、当x >0时,y >0 B 、在每个象限内,y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图,点P 是x 轴正半轴上一个动点,过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y = x 1 于点Q ,连结OQ ,点P 沿x 轴正方向运动时, Rt △QOP 的面积( ). A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 ~ 7、在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量 m 的某种气体,当改变容积V 时,气体的密度ρ也随之改变. ρ与V 在一定范围内满足ρ= V m ,它的图象如图所示,则该 气体的质量m 为( ). A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A (-3,y 1),B (-2,y 2),C (-1,y 3)三点都在函数y =-x 1 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ). Q p x y o % t /h ) t /h ) t /h ) %O t /h v /(km/h ) O A . B . C . . x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 2.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1- 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例1:已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且PF 1+PF 2=2F 1F 2,求椭圆的标准方程。 2.已知椭圆的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),且2a =10,求椭圆的标准方程. 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例:1. 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 例.求过点(-3,2)且与椭圆x 29+y 24 =1有相同焦点的椭圆的标准方程. 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 例: 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. . 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例:1.若△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方程。 2.已知椭圆的标准方程是x 2a 2+y 225=1(a >5),它的两焦点分别是F 1,F 2,且F 1F 2=8,弦AB 过点F 1,求△ABF 2的周长. 3.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24 =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且PF 1∶PF 2=2∶1,求△PF 1F 2的面积. 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆1222=+y x ,求过点?? ? ??2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程. 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2 =1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 《圆锥曲线》单元测试题 一、选择题 1.已知椭圆方程 19 252 2=+y x ,椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2,N 是MF 1的中点,O 是椭圆的中心,那么线段ON 的长是( ) A .2 B .4 C .8 D . 2 3 2.从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120o,那么此椭圆的离心率为( ) A . 2 2 B . 33 C .2 1 D . 3 6 3.设1>k ,则关于x 、y 的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是( ) A .长轴在y 轴上的椭圆 B .长轴在x 轴上的椭圆 C .实轴在y 轴上的双曲线 D .实轴在x 轴上的双曲线 4.到定点(7, 0)和定直线x = 77 16 的距离之比为47的动点轨迹方程是( )。 A . 116922=+y x B .19 1622=+y x C .1822=+y x D .1822 =+y x 5.若抛物线顶点为(0,0),对称轴为x 轴,焦点在01243=--y x 上那么抛物线的方程为( ) A .x y 162= B .x y 162-=; C .x y 122=; D .x y 122-=; 6.过椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B , 且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若13<k <1 2 ,则椭圆离心率的取值范围是( ) A .????14,94 B .????23,1 C .????12,23 D .??? ?0,1 2 7.若椭圆)1(12 2>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y n x 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ?的面积是( ) A .4 B .2 C .1 D .1 2 8.双曲线 22 1(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A . 316 B .38 C .163 D .83 9.设双曲线以椭圆 22 1259 x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( ) A .2± B .43± C .12± D .34 ± 10.已知椭圆2 2 2(0)2 y x a a +=>与A (2,1),B (4,3)为端点的线段没有公共点,则a 的取值范围是( ) A .02a << B .02a << 或a > C .103a << D .2a <<第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是(0,3),那么k 的值为 。 12.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在x 轴上,且a -c =3, 那么椭圆的方程是 。 13.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为_________ 14.双曲线的实轴长为2a ,F 1, F 2是它的左、右两个焦点,左支上的弦AB 经过点F 1,且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列,则|AB |= 15.关于曲线0992 2 3 3 =++-xy y x y x ,有下列命题:①曲线关于原点对称; ②曲线关于x 轴对称;③曲线关于y 轴对称;④曲线关于直线x y =对称;其中正确命题的序号是________。 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 分析:由于9≠k ,25≠k ,则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在x 轴上,6=c , ∴设所求双曲线方程为:162 2 =-- λ λy x (其中60<<λ) ∵双曲线经过点(-5,2),∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ(舍去) ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为: ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223, ,∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ(舍) ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明:(1)注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后,便有了以上巧妙的设法. (2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面. 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F ∠的大小. 《双曲线》单元测试题 一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.) 1.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y =±4x ,则该双曲线的离心率是( A ) A.17 B.15 C. 174 D.15 4 2.若双曲线过点(m ,n )(m >n >0),且渐近线方程为y =±x ,则双曲线的焦点( A ) A .在x 轴上 B .在y 轴上 C .在x 轴或y 轴上 D .无法判断是否在坐标轴上 3.双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为F 1、F 2,∠F 1MF 2=120°,则双曲线的离心率为( B ) A.3 B. 62 C.6 3 D. 3 3 4.已知双曲线9y 2-m 2x 2=1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1 5,则m 等于 (D) A .1 B .2 C .3 D .4 5.已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且满 足12120,||||2,MF MF MF MF == 则该双曲线的方程是( A ) A.x 29-y 2=1 B .x 2 -y 29=1 C.x 23-y 27 =1 D.x 27-y 2 3 =1 6.设F 1,F 2是双曲线x 2 -y 2 24=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|, 则△PF 1F 2的面积等于( C ) A .4 2 B .83 C .24 D .48 7. P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上的点,F 1,F 2是其焦点,双曲线的离心率是5 4 ,且 1PF ·2PF =0,若△F 1PF 2的面积是9,则a +b 的值等于( B ) A .4 B .7 C .6 D .5 8.设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( C )双曲线题型归纳含(答案)
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