几何概型的经典题型

几何概型的常见题型及典例分析

一．几何概型的定义

1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2．特点：

（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.

3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.

4．古典概型和几何概型的区别和联系：

（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.

（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一）、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos

x π的值介于0到21之间的概率为(

).A.31

B.π

2

C.21

D.

32例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？

C A B M

D （二）、与面积有关的几何概型

例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（

）A．4π

B.14π

- C.8π

D.18

π

-例2、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为。

（三）、与角度有关的几何概型例1、在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC ，求使得AOC ∠和BOC ∠都不小于30°的概率？例2、如图所示，在等腰直角ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求

AM AC <的概率。（四）、与体积有关的几何概型

例1、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？

A

C B

O M

N 2

图

（五）、会面问题中的概率

例1、某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

例2、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公

司工作，他们对讲机的接收范围是25km，下

午3：00张三在基地正东30km内部处，向基

地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基

地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的

概率。