20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.11 定值问题(原卷版)
第十一讲 定值问题
一．定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值. 二、常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
三、定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
考向一 特殊探究，一般证明
【例1】过抛物线y ＝ax 2
（a ＞0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则+等于（ ） A ．2a B ．
C ．4a
D ．
【举一反三】
1.已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率e =√2
2
，且椭圆过点(√2,1). （1）求椭圆C 的标准方程.
（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ?????? +ON ?????? =OD ?????? ，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
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2．已知椭圆E:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线y =4x 的焦点重合，且椭圆的离心率为1
2
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆E 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA ?????? ?MB ?????? 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
考向二 直接推理求值
【例2】已知椭圆C ：
x 2a
2+
y 2b
2=1（a ＞b ＞0）经过点(√3，1
2
)，且离心率为
√3
2
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知A （0，b ），B （a ，0），点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点，直线AP 、BP 分别将x 轴、y 轴于点M 、N ，求证：|AN|?|BM|为定值．
【举一反三】
1．已知椭圆C1：x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√6
3
，椭圆C2：x
2
3a2
+y2
3b2
=1(a>b>0)经过点
(√3 2,√3
2
).
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：ΔNAB面积为定值.
2．已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的
右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为k(k≠0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：|MF|
|PQ|
为定值．
考向三问题转化
【例3】．已知定点F(1,0)，横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若|TF|=|TH|+1.
（1）求动点T的轨迹C的方程；
（2）若点P(4,4)不在直l:y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A,B两个不同点.问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA,PB斜率之和是一个定值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【举一反三】
1.在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点.
（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值.
（2）y轴上是否存在点P，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
1．已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知P(2,1)，过(?2,0)的直线m与抛物线C相交于A,B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1?k2为定值，并求出定值.
2．已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F，其离心率为1
2
，点P是椭圆C上
任一点，且ΔPF1F2面积的最大值为√3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率不为0的直线与椭圆C相交于M，N两个不同点，且OMPN是平行四边形，证明：四边形OMPN的面积为定值.
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3．已知抛物线的顶点为原点，关于y 轴对称，且过点N(?1,1
2).
（1）求抛物线的方程；
（2）已知C(0,?2)，若直线y =kx +2与抛物线交于A ，B 两点，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2+k 2为定值．
4．已知在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，点A(?3p,0)(p >0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB ????? ?BQ ????? =0，BC ????? =12CQ ????? ，动点Q 的轨迹为曲线M . （1）求动点Q 的轨迹方程；
（2）作曲线M 的任意一条切线（不含y 轴）l ，直线x =?2p 与切线l 相交于E 点，直线x =2p 与切线l 、x 轴分别相交于F 点与D 点，试探究DE 2?DF 2
OD 2
的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定
值请说明理由.
5．已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率为1
2
，直线l ：y =kx +t 交椭圆于A ，
B 两点，OM ?????? =OA ????? +OB ????? ，且点M 在椭圆
C 上，当k =1
2时，t =1. （1）求椭圆方程；
（2）试探究四边形OAMB 的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
6．已知椭圆C:
x 2a
2+
y 2b 2
=1 (a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2=4√3x 的焦点重合，且离心率为√3
2
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM 、l 、ON 的斜率与k 1，k ，k 2点成等比数列，求直线l 的斜率及|OM|2+|ON|2的值.
7．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y =4
3x ，右焦点F(5,0)，双曲
线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点（不同于A 1，A 2），直线A 1P ，A 2P 分别与直线l:x =9
5交于M ，N 两点．
（1）求双曲线的方程． （2）证明FM ?????? ?FN ????? 为定值．
8.如图，21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左右焦点，E D ,是椭圆的两个顶点，
32||21=F F ，5||=DE ，若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(
0b
y a x N 称为点M 的一个“椭点”.直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨AOB
的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
9．已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(0,?1)，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB 的斜率为k2，证明：k1+k2为定值，并求出该定值.
10．已知椭圆C：x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)离心率等于1
2
，P(2，3)、Q(2,?3)是椭圆上的两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）A,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当A,B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
11．已知椭圆E:x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)过点P (√3，√3
2
)，且其中一个焦点的坐标为(1，0)， （1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线l:x =my +1(m ∈R )与椭圆交于两点A ，B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA ?????? ?MB ?????? 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
12．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，椭圆C 2：x 23a 2+y 2
3b 2=1(a >b >0)经过点
(√32,√32). （1）求椭圆C 1的标准方程；
（2）设点M 是椭圆C 1上的任意一点，射线MO 与椭圆C 2交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个相异点，证明：ΔNAB 面积为定值.
13．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，椭圆C 截直线y =1所得的线段的长度为2√2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA ????? +OB ????? =OD
?????? ，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.