轴对称图形典型例题
轴对称图形典型例题
例1 如下图，已知，PB丄AB, PC丄AC,且PB = PC, D是AP上一点.
证明：???PB丄AB，PC丄AC，且PB= PC,
??? / PAB = Z PAC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），
/ APB + Z PAB= 90°,/ APC +Z PAC= 90°,
/ APB = / APC,
在厶PDB和厶PDC中，
PB =PC,
VAPB =NAPC,
.
、PD =PD
???△PDB ◎△ PDC （SAS）,
/ BDP = / CDP .
（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）
注利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等.
例2 已知如下图（1）,在四边形ABCD中，BC > BA, AD = CD , BD平分/ ABC .求证:
/A +/ C = 180°.
证法一：过D作DE丄AB交BA的延长线于E, DF丄BC于F,
BD 平分/ ABC ,? DE = DF ,
在Rt△ EAD 和Rt△ FCD 中，
；AD = DC,
QE =DF.
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明. ）
Rt△ EAD也Rt△ FCD （HL ）,
???/ C=Z EAD ,
/ EAD +Z BAD = 180°,
?/ A+Z C = 180°.
证法二：如下图（2）,在BC上截取BE= AB，连结DE，证明△ ABD◎△ EBD可得.
（2）
证法三：如下图（3）,延长BA到E,使BE= BC,连结ED，以下同证法
（3）
注本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法.
例3 已知，如下图，AD ABC的中线，且DE平分Z BDA交AB于E, DF平分Z ADC 交AC于F .
证法一：在DA截取DN = DB,连结NE、NF，贝U DN = DC，在△ BDE和厶NDE中,
BD = ND,
奁BDE =ZNDE ,
DE = DE.
（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）
???△BDE ◎△ NDE （SAS）,
? BE= NE （全等三角形对应边相等），
同理可证：
CF = NF,
在厶EFN中，EN + FN > EF （三角形两边之和大于第三边），
BE+ CF>EF .
证法二：延长ED至M，使DM = ED，连结CM、MF , 在厶BDE和厶CDM中，
BD 二CD ,
.BDE CDM ,
DE =DM .
（从另一个角度作辅助线）
???△BDE ◎△ NDE （SAS）,
??? CM = BE （全等三角形对应边相等），
又???/ BDE= / ADE,/ ADF = Z CDF ,
而/ BDE + / ADE + / ADF + / CDF = 180°,
/ ADE+ / ADF = 90°,
即/ EDF = 90°,
/ FDM =/ EDF = 90°,
在厶EDF和厶MDF中，
ED 二MD ,
EDF = MDF,
DF 二DF.
?△ EDF◎△ MDF （SAS）,
?EF = MF （全等三角形对应边相等），
在厶CMF中，
CF + CM >EF,
BE+ CF >EF.
注本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中.
例4 已知，如下图，P、Q是厶ABC边BC上的两点，且BP = PQ= QC = AP = AQ.求：/ BAC的度数.
解：??? AP= PQ = AQ （已知），
??? / APQ=Z AQP = Z FAQ = 60°（等边三角形三个角都是60°）,
??? AP= BP （已知），（注意观察图形和条件）
?/ PBA =Z PAB （等边对等角），
/ APQ=Z PBA +Z FAB = 60°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），
?/ PBA =Z PAB= 30°，同理/ QAC = 30°,
/ BAC = Z BAP +Z FAQ + Z QAC = 30° + 60°+ 30°= 120°.
注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程.
例5 已知，如下图，在△ ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D,连结ED，并延长ED到点F，使DF = DE ,连结FC .
求证：/ F = / A.
证明：??? AB = AC,
?/ B=Z ACB （等边对等角），
EB= ED ,
/ B=Z EDB ,
?/ ACB = Z EDB （等量代换），
?ED // AC （同位角相等，两直线平行），
在厶BDE 和厶AED 中，BE = AE=ED ,
连结AD 可得，/ EAD =/ EDA，/ EBD = / EDB ,
/ EDA + Z EDB = 90 ° ,即卩AD 丄BC,
/ EDA +Z EDB = 90°,即卩AD 丄BC,
（用什么定理判定三角形全等的？）
?D为BC的中点，
?△ BDE◎△ CDF ,
?/ BED = Z F，而/ BED = Z A,
?/ F=Z A.
例6 已知，如下图，△ ABC中，AB = AC, E在CA的延长线上，/ AEF = Z AFE . 求证：EF丄BC .
证法一：作BC边上的高AD, D为垂足，
E
AB= AC, AD丄BC,
/ BAD = Z CAD
(等腰三角形三线合一)，
又???/ BAC=Z E+Z AFE，/ AEF = Z AFE ,
/ CAD = Z E,??? AD // EF ,
AD 丄BC,
EF 丄BC.
证法二：过A作AG丄EF于G,
Z AEF = Z AFE , AG = AG , Z AGE = Z AGF = 90
?△AGE^A AGF (ASA ),
AB= AC , ? Z B =Z C ,
又Z EAF = Z B+Z C,(请对比多种证法的优劣)
?Z EAG+Z GAF = Z B +Z C ,
Z EAG=Z C , ? AG // BC , AG 丄EF , EF 丄BC.
证法三：过E作EH // BC交BA的延长线于H ,
AB= AC , ? Z B =Z C ,
?Z H = Z B=Z C=Z AEH ,
Z AEF = Z AFE , Z H+Z AFE + Z FEH = 180° ,
Z H + Z AEH + Z AEF + Z AFE = 180 ° ,
?Z AEF + Z AEH = 90°，即Z FEH = 90° ,
EF 丄EH ,又EH // BC,
EF 丄BC.
AB= AC, ? Z B =Z C ,
1
Z B= 2 (180 °-Z BAC),
Z AEF = Z AFE ,
Z AFE = 2 (180 ° -Z EAF ),
证明：连结BC , ??? AB = AC （已知）， ?
Z ABC = Z ACB （等边对等角），
又???点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上
（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） ，而两点确定一条直线，
? AD 就是线段BC 的垂直平分线，
? PB = PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
，
? Z PBC = Z PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质） ?
Z ABC -Z PBC = Z ACB -Z PCB （等式性质），
即Z ABP = Z ACP .
注 本题若用三角形全等， 至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质， 就显得比
较简洁.
例8 如下图，AB = AC , DE 垂直平分 AB 交AB 于D ，交AC 于丘，若厶ABC 的周长为28, BC = 8,求厶BCE 的周长.
/ BFK = Z AFE ,
1
/ BFK = 2 ( 180° -Z EAF ),
1 1
Z B +Z BFK = 2 （180。—/BAC ） + 2 （180° - ZEAF ） 1
?/ = 2 [ 360° - （Z EAF + /BAC ）], Z EAF + Z BAC = 180° , ??? Z B +Z BFK = 90°,即Z FKB = 90°
EF 丄 BC .
注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立 系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法.
EF 与BC 的联
例7 如下图，AB = AC , DB = DC , P 是AD 上一点. 求证：Z ABP =Z ACP
.
解：??? 等腰△ ABC 的周长=28, BC = 8,
2AC + BC = 28, ??? AC = 10,
（理由是什么？）
?/ DE 垂直平分AB ,
AE = BE , ?
△ BCE 的周长=BE + EC + BC =AE + EC + BC
=AC + BC = 10+ 8= 18.
注本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用， 关键是运用线段垂直平分线的性质得到线
段的等量关系.
例9 已知，如下图，△ ABC 中，AB = AC , / BAC = 120°, EF 为AB 的垂直平分线，
1 BF =— FC
交BC 于F ，交AB 于E ,求证：
2
.
证法一：连结AF ，则AF = BF , ? / B =/ FAB （等边对等角）， AB = AC ,
?
/ B =/ C （等边对等角）， / BAC = 120 ° ,
180-"BAC “
30
?
/ B =/ C = 2
（三角形内角和定理），
/ FAB = 30°,
/ FAC = / BAC -/ FAB = 120°— 30°= 90°, 又??? / C = 30°,（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）
1 AF FC
?
2
（直角三角形中30 °角所对的直角边等于斜边的一半），
1 BF FC
2 .
EF