常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程
(A)
一、就是非题
1.任意微分方程都有通解。( )
2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( )
3.函数x x y cos 4sin 3-=就是微分方程0=+''y y 的解。( )
4.函数x e x y ?=2就是微分方程02=+'-''y y y 的解。( )
5.微分方程0ln =-'x y x 的通解就是()C x y +=2ln 21
(C 为任意常数)。(
) 6.y y sin ='就是一阶线性微分方程。( )
7.xy y x y +='33不就是一阶线性微分方程。( )
8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9.221xy y x dx dy
+++=就是可分离变量的微分方程。( )
二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①()0ln 3=-?-xdy xdx y 就是 。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 就是 。 ③x y
y dx dy
x ln ?=就是 。
④x x y y x sin 2+='就是 。
⑤02=-'+''y y y 就是 。
2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
3.x e y 2-=''的通解就是 。
4.x x y cos 2sin -=''的通解就是 。
5.124322+=+'+'''x y x y x y x 就是 阶微分方程。
6.微分方程()06='-''?y y y 就是 阶微分方程。
7.x y 1
=所满足的微分方程就是 。
8.x y y 2=
'的通解为 。 9.0=+x
dy y dx 的通解为 。 10.()2511
2+=+-x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。
12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。
三、选择题
1.微分方程()043
='-'+''y y y x y xy 的阶数就是( )。 A.3 B.4 C.5 D. 2
2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。
A.3
B.5
C.4
D. 2
3.下列函数中,哪个就是微分方程02=-xdx dy 的解( )。
A.x y 2=
B.2x y =
C.x y 2-=
D. x y -=
4.微分方程3
23y y ='的一个特解就是( )。
A.13+=x y
B.()32+=x y
C.()2C x y +=
D. ()31x C y += 5.函数x y cos =就是下列哪个微分方程的解( )。
A.0=+'y y
B.02=+'y y
C.0=+y y n
D. x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21就是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。
A.通解
B.特解
C.就是方程所有的解
D. 上述都不对
7.y y ='满足2|0==x y 的特解就是( )。
A.1+=x e y
B.x e y 2=
C.2
2x e y ?= D. x e y ?=3
8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。
A.x a y sin *=
B.x a y cos *?=
C.()x b x a x y cos sin *+=
D. x b x a y sin cos *+=
9.下列微分方程中,( )就是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.02=-''y y
B.032=+'-''y y x y
C.045=-''x y
D. 012=+'-''y y
10.微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( )。
A.x e
B.1-x e
C.1+x e
D. x e -2
11.在下列函数中,能够就是微分方程0=+''y y 的解的函数就是( )。
A.1=y
B.x y =
C.x y sin =
D. x e y =
12.过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系就是
( )。
A.x y 2='
B.x y 2=''
C.x y 2=',()31=y
D. x y 2='',()31=y
13.下列微分方程中,可分离变量的就是( )。 A.
e x y dx dy =+ B.()()y b a x k dx
dy --=(k ,a ,b 就是常数) C.x y dx dy =-sin D. x e y xy y ?=+'2 14.方程02=-'y y 的通解就是( )。
A.x y sin =
B.x e y 24?=
C.x e C y 2?=
D.x e y =
15.微分方程0=+x
dy y dx 满足4|3==x y 的特解就是( )。 A.2522=+y x B.C y x =+43 C.C y x =+22 D. 722=-y x
16.微分方程01=?-y x
dx dy 的通解就是=y ( )。 A.x C B.Cx C.C x
+1 D. C x + 17.微分方程0=+'y y 的解为( )。
A.x e
B.x e -
C.x x e e -+
D. x e -
18.下列函数中,为微分方程0=+ydy xdx 的通解就是( )。
A.C y x =+
B.C y x =+22
C.0=+y Cx
D. 02=+y Cx
19.微分方程02=-dx ydy 的通解为( )。
A.C x y =-2
B.C x y =-
C.C x y +=
D.C x y +-=
20.微分方程xdx ydy sin cos =的通解就是( )。
A.C y x =+cos sin
B.C x y =-sin cos
C.C y x =-sin cos
D. C y x =+sin cos
21.x e y -=''的通解为=y ( )。
A.x e --
B.x e -
C.21C x C e x ++-
D.21C x C e x ++--
22.按照微分方程通解定义,x y sin =''的通解就是( )。
A.21sin C x C x ++-
B.21sin C C x ++-
C.21sin C x C x ++
D. 21sin C C x ++
四、解答题
1.验证函数x x e e C y 23--+?=(C 为任意常数)就是方程
y e dx
dy x 32-=-的通解,并求出满足初始条件0|0==x y 的特解。 2.求微分方程()()???==-++=1
|011022x y dy x y dx y x 的通解与特解。
3.求微分方程x
y x y dx dy tan +=的通解。 4.求微分方程?????=+='=2|1
x y x y y x y 的特解。 5.求微分方程x e x y y sin cos -=?+'的通解。
6.求微分方程
x x
y dx dy sin =+的通解。 7.求微分方程()()?????==+--'+=1
|0121027x y x y y x 的特解。
8.求微分方程122+'=''x x y y 满足初始条件0=x ,1=y ,3='y 的特解。 9.求微分方程y y y '=''2满足初始条件0=x ,1=y ,2='y 的特解。
10.验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程
()y x y y x -='-22的解。
11.求微分方程()()0=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的通解。
12.求x x y dx
dy sec tan =?-,0|0==x y 的特解。 13.验证x y ωcos 1=,x y ωsin 2=都就是02=+''y y ω的解,并写出该方程的通解。
14.求微分方程x
x y y 2
2-='的通解。 15.求微分方程01=++
'x e y x
y 满足初始条件()01=y 的特解。 16.求微分方程()3112+=+-x y x dx dy 的通解。 17.求微分方程011=+-+dy x
y dx y x 满足条件()10=y 的特解。 18.求微分方程02=-'+''y y y 的通解。
19.求微分方程052=+'+''y y y 的通解。
20.求微分方程044=+'+''y y y 的通解。
21.试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12
+=
x y 相切的积分曲线。 (B)
一、就是非题
1.可分离变量微分方程不都就是全微分方程。( )
2.若()x y 1,()x y 2都就是()()x Q y x P y =+'的特解,且()x y 1与()x y 2线性无关,则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( )
3.函数x x e e y 21λλ+=就是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( )
4.曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微分方程就是C x y +='2(C 就是任意常数)。( )
5.微分方程y x e y -='2,满足初始条件0|0==x y 的特解为1212+=
x y e e 。( ) 二、填空题
1.x y cos 1=与x y sin 2=就是方程0=+''y y 的两个解,则该方程的通解为 。
2.微分方程032=-'-''y y y 的通解为 。
3.微分方程02=+'-''y y y 的通解为 。
4.微分方程x e y 2='''的通解就是 。
5.微分方程'y y =''的通解就是 。
6.微分方程
xy dx
dy 2=的通解就是 。 三、选择题
1.微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解就是( )。
A.x e 2与x e 22?
B.x e 2-与x e x 2-?
C.x e 2与x e x 2?
D. x e 2-与x e 24-?
2.下列方程中,不就是全微分方程的为( )。
A.()()046632222=+++dy y y x dx xy x
B.()02=-?+dy y e x dx e y y
C.()022=--dy x dx y x y
D. ()02=--xdy dx y x
3.下列函数中,哪个函数就是微分方程()g t s -=''的解( )。
A.gt s -=
B.2gt s -=
C.221gt s -=
D. 221gt s = 4.下列函数中,就是微分方程0127=+'-''y y y 的解( )。
A.3x y =
B.2x y =
C.x e y 3=
D. x e y 2=
5.方程()012='--y x y x 的通解就是( )。 A.21x C y -= B.21x C y -= C.Cx x y +-=321 D. 221
x Cxe y -= 6.微分方程ydy x xdx y ln ln ?=?满足1|1==x y 的特解就是( )。
A.y x 22ln ln =
B.1ln ln 22=+y x
C.0ln ln 22=+y x
D. 1ln ln 22+=y x
7.微分方程()()01122=+++dx y dy x 的通解就是( )。
A.C y x =+arctan arctan
B.C y x =+tan tan
C.C y x =+ln ln
D. C y x =+cot cot
8.微分方程()x y -=''sin 的通解就是( )。
A.()x y -=sin
B.()x y --=sin
C.()21sin C x C x y ++--=
D. ()21sin C x C x y ++-=
9.方程3=+'y y x 的通解就是( )。 A.3+=
x C y B.C x y +=3 C.3--=x C y D. 3-=x C y 四、解答题
1.求微分方程()x x x y y 3sin 23cos 6249--=+''的通解。
2.求微分方程x y y y sin 67=+'-''的通解。
3.求微分方程()()0223222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解。
(C)
一、就是非题
1.只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解,就能写出其通解。
2.已知二阶线性齐次方程()()0=?+'?+''y x Q y x P y 的一个非零解y ,即可求出它的通解。( )
二、填空题
1.微分方程054=++''y y y 的通解就是 。
2.已知1=y ,x y =,2x y =某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为 。
3.微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 。
三、选择题
1.微分方程()
112+=+'x x x y y 的通解为( )。 A.C x +arctan B.()C x x +arctan 1 C.C x x +arctan 1 D.x
C x +arctan 2.微分方程1=-'y y 的通解就是( )。
A.x e C y ?=
B.1+?=x e C y
C.1-?=x e C y
D.()x e C y ?+=1
3.???==+'=0|31
x y y y x 的解就是( )。 A.??? ?
?-=x y 113 B.()x y -=13 C.x y 11-= D. x y -=1 4.微分方程
x y x y dx dy tan +=的通解为( )。 A.Cx x y =sin B.Cx
x y 1sin = C.Cx y x =sin D. Cx y x 1sin = 5.已知微分方程()()25
1+=+'x y x p y 的一个特解为()27*
132+=x y ,则此微分方程的通解就是( )。
A.()()2721321+++x x C
B.()()27211121+++x x C
C.()()272
11121+++x x C D. ()()2721321+++x x 6.微分方程1+='-''x e y y 的一个特解应具有形式(式中a ,b 为常数)( )。
A.b ae x +
B.b axe x +
C.bx ae x +
D. bx axe x +
四、解答题
1.设x e y =就是微分方程()x y x p y x =+'的一个解,求此微分方程满足条件0|2ln ==x y 的特解。
2.已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23就是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
3.已知()210=f ,试确定()x f ,使()[]
()0=++dy x f ydx x f e x 为全微分方程,并求此全微分方程的通解。
第十二章 微分方程
(A)
一、就是非题
1.×;
2.×;
3. √;
4.×;
5.√;
6.×;
7.×;
8.√;
9.√。
二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程;②可分离变量微分方程;③齐次方程;
④一阶线性微分方程;⑤二阶常系数齐次线性微分方程。 2.3;3.21241C x C e x ++-; 4.21cos 2sin 4
1C x C x x +++- 5.3; 6.2;7.02=+'y y ;8.2Cx y =; 9.C y x =+22;
10.()21+=x C y ; 11.22x Cxe y =;12.3216120
1C x C x C x y +++=2。 三、选择题
1.D;
2.A;
3.B;
4.B;
5.C;
6.A;
7.B;
8.C;
9.A;10.A;11.C;12.C;13.B;14.C;15.A;16.B;17.B;1
8.B;19.A;20.D;21.C;
22.A.
四、解答题
1.验证函数x x e e C y 23--+?=(C 为任意常数)就是方程
y e dx
dy x 32-=-的通解,并求出满足初始条件0|=x y 的特解。 2.求微分方程()()???==-++=1
|011022x y dy x y dx y x 的通解与特解。
解:C x
y =-+22
11,1222=+y x 。 3.求微分方程
x y x y dx dy tan +=的通解。 解:Cx x
y =sin 。 4.求微分方程?????=+='=2|1
x y x y y x y 的特解。 解:()2ln 222+=x x y 。
5.求微分方程x e x y y sin cos -=?='的通解。
解:()C x e y x +=-sin 。
6.求微分方程
x x y dx dy sin =+的通解。 解:()C x x x x
y +-=cos sin 1。
7.求微分方程()()?????==+--'+=1
|0121027x y x y y x 的特解。
解:()()22313113
2+??????++=x x y 。 8.求微分方程1
22+'=''x x y y 满足初始条件0=x ,1=y ,3='y 的特解。 解:133++=x x y 。
9.求微分方程y y y '=''2满足初始条件0=x ,1=y ,2='y 的特解。 解:4arctan π+=x y 或??? ?
?+=4tan πx y 。 10.验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程()y x y y x -='-22的解。
解:略。
11.求微分方程()()0=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的通解。 解:()()C e e y x =-+11。
12.求
x x y dx
dy sec tan =?-,0|0==x y 的特解。 解:x x y cos =。 13.验证x y cos 1=,x y ωsin 2=都就是02=+''y y ω的解,并写出该方程的通解。
解:略。
14.求微分方程x
x y y 2
2-='的通解。 解:x x Cx y ln 22-=。
15.求微分方程01=++
'x e y x
y 满足初始条件()01=y 的特解。 解:ex x e y x
-=。 16.求微分方程()311
2+=+-x y x dx dy 的通解。
解:()()??????+++=C x x y 21122
。 17.求微分方程011=+-+dy x
y dx y x 满足条件()10=y 的特解。 解:()()5322233=-+-x y x y 。
18.求微分方程02=-'+''y y y 的通解。
解:x x e C e C y 221-+=。
19.求微分方程052=+'+''y y y 的通解。
解:()x C x C e y x 2sin 2cos 21+=-。
20.求微分方程044=+'+''y y y 的通解。
解:()x e x C C y 221-+=。
21.试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12
+=x y 相切的积分曲线。 解:121613++=x x y 。 (B)
一、就是非题
1.×;
2.√;
3.√;
4.×;
5.×。
二、填空题
1.x C x C y sin cos 21+=;
2.x x e C e C y 321+=- ;
3.()x e x C C y 21+=;
4.322128
1C x C x C e y x +++=;5.21C e C y x += 6.2x e C y ?= 三、选择题
1.C;
2.C;
3.C;
4.C;
5.D;
6.A;
7.A;
8.C;
9.A.
四、解答题
1.求微分方程()x x x y y 3sin 23cos 6249--=+''的通解。 解:()()x x x x C x x C y 3sin 23cos 221-+++=。
2.求微分方程x y y y sin 67=+'-''的通解。
解:()x x e C e C y x x sin 5cos 7741261+++=。
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
常微分方程试题(卷)
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程试题
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
2012常微分方程试题B及答案
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012 =++λλ， 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分） 凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
常微分方程试题库.
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为 常微分方程试题库试 卷库 常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 3 ()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt ４、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=- 常微分方程练习题及答案(复习题) 常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解. 常微分方程试题模拟试题（一） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是 ． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是 ． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是 ． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（ ） ． （A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的 （C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（ ）零点． （A ）无 （B ）只有一个 （C ）至多只有有限个 （D ）有无限个 三、计算题（每小题8分，共40分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分） 常微分方程试题库 （一）、填空题（每空3分） 1、 当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。 2、形如________________的方程，称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。 8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如 的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是 ． 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的 一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。 如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微 分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。 4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。 5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。这里f dx (x), § (x)分别是x, y的连续函数。 2. 解法：分离变量法』芸七=J f (x)dx+c. (*) 说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。 需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于 一式中) b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。 例 1. ydx (x2-4x)dy =0 解：由题意分离变量得：2dx dy=0 x -4 y 即：1(工-1)dx 业=。 4 x —4 x y 积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c 故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0 包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？ 解：对给定的积分方程两边关于x求导，得： f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导) 分离变量，解之得：f(x)=Ce2x 由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得： C=ln2 , 常微分方程模拟试题 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程 21d d y x y -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程 1d d +=y x y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程 )(d d y f x y =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间 10．方程32 3d d y x y =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x y += 14．0)d (d 22 2=-+y y x x xy 15．3 )(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．求方程2 55x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解． ?????? ?-=+=x t y t y t x d d sin 1d d常微分方程应用题和答案
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