2018--2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲附答案详解

2018-2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲

1、（2018年高考全国卷1文理科第23题）

（10分）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，

由f（x）＞1，

∴或，

解得x＞，

故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，

∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即|ax﹣1|＜1，

∴﹣1＜ax﹣1＜1，

∴0＜ax＜2，

∵x∈（0，1），

∴a＞0，

∴0＜x＜，

∴a＜

∵＞2，

∴0＜a≤2，

故a的取值范围为（0，2]．

2、（2018年高考全国卷II文理科第23题）

[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．

当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，

当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，

当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，

综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，

（2）∵f（x）≤1，

∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，

∴|x+a|+|x﹣2|≤4，

∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，

∴|a+2|≤4，

即﹣4≤a+2≤4，

解得﹣6≤a≤2，

故a的取值范围[﹣6，2]．

3、（2018年高考全国卷III文理科第23题）

[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．

（1）画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，

当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，

则f（x）=对应的图象为：

画出y=f（x）的图象；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，

当x=0时，f（0）=2≤0?a+b，∴b≥2，

当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，

则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，

∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，

且各部分直线的斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．

4、（2018年高考江苏卷第24题）

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z=6，求x 2+y 2+z 2的最小值．

【解答】解：由柯西不等式得（x 2+y 2+z 2）（12+22+22）≥（x +2y +2z ）2， ∵x +2y +2z=6，∴x 2+y 2+z 2≥4 是当且仅当

时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，

∴x 2+y 2+z 2的最小值为4

5、（2019全国III 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.

（1）求222

(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；

（2）若222

1

(2)(1)()3

x y z a -+-+-≥

成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 解：（1）由于2

[(1)(1)(1)]x y z -++++

222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-

222

3(1)(1)(1)x y z ??≤-++++??，

故由已知得222

4

(1)(1)(1)3

x y z -++++≥， 当且仅当x =

53，y =–13，1

3

z =-时等号成立．

所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43

. （2）由于

2[(2)(1)()]x y z a -+-+-

222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--

222

3(2)(1)()x y z a ??≤-+-+-??，

故由已知22

2

2

(2)(2)(1)()3

a x y z a +-+-+-≥，

当且仅当43a x -=

，13a y -=，22

3

a z -=时等号成立． 因此2

2

2

(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2

(2)3a +．

由题设知2(2)1

33

a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．

6、（2019全国II 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.

当1x <时，2

()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.

当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.

7、（2019全国I 卷文理科）[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：

（1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）3

3

3

()()()24a b b c c a +++≥++．

解：（1）因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有

222111

ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++.

所以

222111

a b c a b c

++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有

333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥???

=24.

所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 8、（2019江苏卷21C ）

C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.

解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-

1

3

； 当0≤x ≤

1

2

时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >

1

2

时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1

{|1}3

x x x <->或. 9、（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；

（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 答案：（1）详解解析；（2）7,6?

?-∞-

???

. 解析：（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．

解：（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ?

?+≥?

?

=--<

?

--≤-??

，作出图象，如图所示：

（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得7

6

x =-

． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6??-∞-

??

?

． 10、（2020?全国2卷）已知函数2

()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 答案：（1）32x x ?

≤

??或112x ?

≥??

；（2）(][),13,-∞-+∞.

解析：（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()2

1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.

当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32

x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112

x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ?≤

??或112x ?≥??

. （2）()()()()2

2

2

2

2121211f x x a x a x a

x a a

a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当

221a x a -≤≤时取等号），()2

14a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),1

3,-∞-+∞.

11、（2020?全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；

（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.

解析：（1）由2

2

2

2

()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()2

22322b c b c bc a a a bc

bc

+++=?=

=

，结

合基本不等式，即可得出证明. 解：（1）

2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，

()222

12

ab bc ca a b c ∴++=-

++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222

12

0ab bc ca a b c ∴++=-

++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，

由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，

1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc

++++∴=?==≥=.

当且仅当b c =时，取等号，

a ∴≥，即3

max{,,}

4a b c .

12、（2020?江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 答案：22,3

??-???

?

解析：根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

解：因为1224x x x <-??---≤?或10224x x x -≤≤??+-≤?或0224x x x >?

?++≤?

21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203

x <≤

所以解集为22,3

??-???

?