最新必修四三角函数总复习

三角函数知识点总结

1、任意角：

正角： ；负角： ；零角： ；

2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的

标号即为

n

α

终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．

7、弧度制与角度制的换算公式：

8、若扇形的圆心角为()α

α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则

l= ．S=

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是

()

220r r x y =+>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ;

(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点 得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

15.函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?． 函数()sin y x B ω?=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T =-<． 16、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

三角函数题型分类总结

题型一：求值

（1）直接求值：一般角→0至360度之间的角→第一象限的角 （2）已知sin A ，求cos A 或tan A ：1sin

22

=+ααcon α

α

αcon sin tan =

记住两类特殊的勾股数：3、4、5；5、12、13 （3）运用公式化简求值 （4）齐次式问题 （5）终边问题

（6）三角函数在各象限的正负性

1、sin330?= tan690° = o

585sin =

2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12

cos 13

α=

，则sin α= （2）（09北京文）若4

sin ,tan 05

θθ=->，则cos θ= .

（3） (07陕西) 已知5

sin ,5

α=

则44sin cos αα-= . （4）（07浙江）已知3cos(

)2

2π

?+=

，且||2

π

?<，则tan ?＝ 3、α是第三象限角，2

1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ

+=

4、 若2tan =α ,则α

αα

αcos sin cos sin -+=

5、

2sin cos sin 2cos =-+α

αα

α,则α在第_____象限；

6、 （08北京）若角α的终边经过点(1

2)P -，，则αcos = 7.已知 3)tan(=+απ,则）（απα-3sin

)cos(?-=________ 7、3

1tan -=α,则αααα2

2cos 3cos sin 2sin -+=_________. 8、若2

cos 3

α=

，α是第四象限角,则sin(2)sin(3)cos(3)απαπαπ-+---＝___ 9、已知3sin 42πα??+= ???，则3sin 4πα??

-

???

值为________；

10、αααsin 3cos sin 2=-，则αcos =________；

1、设)34sin(π-=a ，)35cos(π-=b ，)4

11

tan(π-=c ，则 （ ） A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

2、已知tan160o

＝a ，则sin2000o

的值是 ( ) A.

a

1＋a

2

B.－a

1＋a

2

C.11＋a

2

D.－11＋a

2

3、已知tan100k =，则sin80的值等于 （ ）

A

21k

k + B 2

1k

k

-+ C 21k k + D 21k k +- 4、已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30

（ ）

A ．1

B ．

2

3

C ．0

D ．－1 5、若)cos()2

sin(

απαπ

-=+，则α的取值集合为

（ ）

A ．}4

2|{Z k k ∈+=π

παα B ．}4

2|{Z k k ∈-=π

παα C ．}|{Z k k ∈=παα

D ．}2

|{Z k k ∈+

=π

παα

6、已知1sin(

)63

π

α+=，则cos()3π

α-的值为（ ）

A 12

B 12

- C 13 D 13-

7、如果1cos()2

A π+=-，那么sin()2A π

+=（ ）

A 12

- B 1

2 C 32- D 32 8、已知5

3)2

cos(=

-π

α，则αα2

2cos sin -的值为 （ ） A ．

257 B ．2516- C ．259 D ．25

7- 9.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =

（A ）21 （B ）2 （C ）2

1

- （D ）2-

10、若角α的终边经过点???

?

??-

21,23P ，则αtan 的值为 （ ） A ．1

2

-

B ．32-

C ． 3

D ．3

3

- 11、下列各三角函数值中，取负值的是（ ）;

A.sin(-6600

) B.tan(-1600

) C.cos(-7400

) D.sin(-4200

)cos570

12、α角是第二象限的角，│2

cos

α│=2

cos

α

-,则角

2

α

属于： （ ） A ． 第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限.

13、已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是 （ ）

Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角

Ｄ．第一或第四象限角

14、已知()2,A a -是角α终边上的一点，且5

sin 5

α=-，求cos α的值．

15、已知：关于x 的方程2

2(31)0x x m -++=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈。

求：⑴

tan sin cos tan 11tan θθθ

θθ+

--的值； ⑵m 的值；

⑶方程的两根及此时θ的值。

16、已知关于x 的方程(

)

2

2310x x m -

++=的两根为sin θ和cos θ：

（1）求

1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθ

θθ

+++++的值；

（2）求m 的值．

题型二：定义域

1、函数y=224log sin x x -+的定义域是________（区间表示）

2、函数y=x sin log 2

1的定义域是________.

3、函数tan()3

y x π

=+的定义域为___________。

题型三：周期性

（1）函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+，x R ∈的最小正周期2||

T πω=

； （2）函数的最小正周期为两者周期的最小公倍数；

（3）函数y=｜sin wx ｜的最小正周期为正常周期的一半 1、函数2

cos(

)35

y x π

=-的最小正周期是 （ ） A 5π B 5

2

π C 2π D 5π

2、（07江苏卷）下列函数中，周期为2

π

的是 （ ）

A ．sin 2x y =

B ．sin 2y x =

C ．cos 4

x

y = D ．cos 4y x =

3、函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ）

A. )(2,Z k k x ∈=

ππ B. )(,2

Z k k x ∈=ππ

C. )(,Z k k x ∈=ππ

D.

)(2

,2

Z k k x ∈=

π

π

4、已知函数()2

cos

x

x f =,则下列等式中成立的是： （ ） A ．()()x f x f =-π2 B ．()()x f x f =+π2 C ．()()x f x f =- D ．()()x f x f -=- 5、下列四个函数中，既是(0,

)2

π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）

A sin y x =

B |sin |y x =

C cos y x =

D |cos |y x =

6、（08江苏）()cos 6f x x πω?

?

=-

??

?

的最小正周期为

5

π

，其中0ω>，则ω= 7、（04全国）函数|2

sin |x

y =的最小正周期是 .

8、（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . 9、函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是

题型三：单调性 求单调区间：

（1）sin()y A x ω?=+中，A,w 为正，且x 的定义域为R ； （2）sin()y A x ω?=+中，A 或w 为负，且x 的定义域为R ； （3）sin()y A x ω?=+中，A,w 为正，且x 的定义域为限定的区间；

1、函数y= sin(x-3

π

)的一个增区间是 （ ） 4.[-65,6ππ] B. [-6,65ππ] C. [-2,2ππ] D. [-3

2,

3π

π] 2、函数y= sin(2x+4

π

)的一个增区间是( )

A. [-4,4ππ]

B. [-8,83ππ]

C. [-0,2π]

D. [-8

3,

8ππ] 3、 函数)6

2sin(π

+-=x y 的单调递减区间是（ ）

A ．)](23

,26[Z k k k ∈++-ππππ

B ．)](26

5,26[Z k k k ∈++ππππ

C ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ

D ．)](65,6[Z k k k ∈++ππππ

4、（04天津）函数]),0[()26

sin(2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.

A. ]3,

0[π

B. ]127,12[ππ

C. ]6

5,3[π

π D. ],65[ππ 5、函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）

A ．ππ??- ?44??，

B ．3ππ?? ?44??

，

C ．3π??π ?2??

，

D ．32π??

π

?2??

， 6、若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4

π)=

f (x -4

π)，则f (x)的解析式可以是

（ ）

A ．f (x)=cosx

B ．f (x)=cos(2x 2

π

+) C ．f (x)=sin(4x 2

π

+

) D ．f (x) =cos6x

7、函数1

2

3cos()([0,2])23

y x x ππ=+∈的递增区间__________

比较大小： 根据图象描点分析

1、（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）

A ．0

sin11cos10sin168<< B ．0

sin168sin11cos10<< C ．0

sin11sin168cos10<< D ．0

sin168cos10sin11<< 2、下列不等式中，正确的是（ ）

A ．tan

513tan

413ππ< B ．sin )7

cos(5π

π-> C ．sin(π－1)

D ．cos )5

2cos(57ππ-<

3、已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则 （ ）

A a b c <<

B c b a <<

C b c a <<

D b a c <<

4、已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ） A.βα<; B.βαsin sin >； C.βαtan tan >；D.以上都不对.

解三角函数不等式： 1、若02,sin 3cos απαα≤≤>

，则α的取值范围是： ( )

（Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ??

??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32

ππ

??

???

2、已知-

≤6

π

x<

3π ,cosx=1

1+-m m ,则m 的取值范围是( ) A ．m<-1 B. 33 D. 3

π)≥2

1的x 的集合是____________________;

4、若集合1sin ,02M θθθπ??=≥≤≤????，1cos ,02N θθθπ??

=≤≤≤????

，求M N .

求最大（小）值：（大题考）

题型四：奇偶性

1、已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,

]2x π

∈时，()1sin f x x =-，则当5

[,3]2

x ππ∈时， ()f x 等于 （ ）

A 1sin x +

B 1sin x -

C 1sin x --

D 1sin x -+

题型五：对称性（对称轴与对称中心）

从最原始的y=sin x 、y=cos x 、y= tan x 出发；

选择题的简便方法：对称轴对应着最大最小值，对称中心对应着0； 1、（08安徽）函数sin(2)3

y x π

=+图像的对称轴方程可能是 （ ）

A ．6

x π

=-

B ．12

x π

=-

C ．6

x π

=

D ．12

x π

=

2、下列函数中，图象关于直线3

π

=x 对称的是 （ ）

A ．)32sin(π-

=x y B ．)62sin(π

-=x y

C ．)62sin(π+=x y

D ．)6

2sin(π

+=x y

3、（07福建）函数πsin 23y x ?

?

=+

??

?

的图象

（ ） Ａ．关于点π03

?? ???

，对称

Ｂ．关于直线π

4x =

对称 Ｃ．关于点π04

?? ???

，

对称 Ｄ．关于直线π

3

x =

对称 4、函数sin(3)4

y x π

=-

的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( )

A ．,012π??-

??? B ． 7,012π??- ??? C ． 7,012π?? ??? D ． 11,012π?? ???

5、（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3

π

中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)

6π (B) 4π (C) 3π (D) 2

π 6、已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为3

2π

，则w 的值为（ ） A ．3

B ．

23 C ．3

2

D ．

3

1

7、设函数y ＝cos 1

2πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，….

则A 50的坐标是________．

8、关于函数()(),32sin 4R x x x f ∈??? ?

?+=π有下列命题： ① 由()()021==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；

② ()x f y =的表达式可改写为()??

? ?

?-=62cos 4πx x f ；

③ ()x f y =的图象关于点??

? ??-0,6π 对称； ④ ()x f y =的图象关于直线6

π-=x 对称.

以上命题成立的序号是__________________.

9、关于3sin(2)4

y x π

=+

有如下命题，1）若12()()0f x f x ==，则12x x -是π的整数倍，

②函数解析式可改为cos3(2)4

y x π

=-，③函数图象关于8

x π

=-

对称，④函数图象关于

点(,0)8

π

对称。其中正确的命题是___________

题型五：图象平移与变换 左加右减，上加下减。 注意陷阱，两个特例：

1、（08福建）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移

2

π

个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为

2、（08天津）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3

π

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是

3、(09山东)将函数sin 2y x =的图象向左平移4

π

个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是

4、(09湖南)将函数y=sinx 的图象向左平移?(0 ≤?＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6

x π

-

的图象，则?等于

5、要得到函数)4

2sin(π

-

=x y 的图象，需将函数x y 2sin =的图象向 平移 个单位

6 、（1）（全国一8）为得到函数πcos 23y x ??

=+ ??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 向 平移 个单位 （2）为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移

个单位长度

7、函数y=f(x) 的图象上每个点的纵坐标保持不变, 将横坐标伸长到原来的两倍, 然后再将整个图象沿x 轴向左平移

2π个单位, 得到的曲线与y=2

1

sinx 的图象相同, 则y=f(x) 的函数表达式是_________________;

8、要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)

4

2cos(π-

=x y （ ） A. 向左平移

8π个长度单位 B. 向右平移8π

个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4

π

个长度单位

9、（2009天津卷文）已知函数)0,)(4

sin()(>∈+

=w R x wx x f π

的最小正周期为π，将

)(x f y =的图像向左平移||?个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则?的一个值是

A

2π B 83π C 4π D 8

π

10、为了得到函数2sin(),3

6

x y x R π

=+

∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上

所

有的点 （ ）

A ．向左平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变）

B ．向右平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1

倍（纵坐标不变）

C ．向左平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移

6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

11、将函数1

cos()32

y x π

=+的图象作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图象？

题型六：图象问题

1、在区间???

?

?-

ππ23,23 范围内，函数x y tan = 与函数x y sin = 的图像交点的个数为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2、关于x 的方程x x lg sin =的实数解个数为_______

3、在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2

32cos(ππ

，∈+=x x

y 的图象和直线21=y 的交

点个数是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

1、（07宁夏、海南卷）函数πs i n 23y x ?

?=-

??

?在区间ππ2??

????

，的简图是 （ ）

2、（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）

（A ）sin 6y x π??=+

??? （B ）sin 26y x π?

?=- ???

（C ）cos 43y x π??=- ??? （D ）cos 26y x π?

?=- ??

?

3、(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ?

???2x ＋π

6的图象 A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π

4个长度单位

C ．向左平移π2个长度单位

D ．向右平移π

2个长度单位

y x 1 1- 2π-3π

-O 6

ππ y

x 1 1- 2π-3π-O 6ππ y x 1 1- 2π-3πO 6π-π y x π 2π-6π-1

O 1- 3πＡ． Ｂ． Ｃ．

Ｄ．

4、把函数y ＝cos ????x ＋π

3的图象向左平移m 个单位(m >0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．

题型七：综合问题

1、（04年天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2

,

0[π

∈x 时，x x f sin )(=，则)3

5(

π

f 的值为 2、（ 09四川）已知函数))(2

sin()(R x x x f ∈-

=π

，下面结论错误．．

的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，

2

π

］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 3、(07安徽卷) 函数)3

2sin(3)(π

-

=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是

①图象C 关于直线π12

11

=x 对称; ②图象C 关于点)0,3

2(

π

对称; ③函数12

5,12()(π

π-

在区间x f )内是增函数; ④由x y 2sin 3=的图象向右平移

3

π

个单位长度可以得到图象C. 4、若α是第三象限角，且cos

2

α<0，则

2

α

是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

5、已知函数()2sin()f x x ω?=+对任意x 都有()()66

f x f x π

π+=-，则()6f π

等于

A 、2或0

B 、2-或2

C 、0

D 、2-或0

题型八：解答题

1、求函数??

?

?

?

+-=33tan 2πx y 的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．

解析式代定：先A ，后周期得w ，再代入点求ψ

1、（2009陕西卷文） 已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02

A π

ω?>><<）

的周期为π，且图象上一个最低点为2(,2)3

M π

-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[0,]12

x π

∈，求()f x 的最值.

2、已知函数()()θω+=x M x f sin 的最大值是3，并且在区间,438,434

???

???++-

ππππk k ()Z k ∈上是增函数，在()Z k k k ∈??

?

?

??++

,432,438

ππππ

上是减函数，求()x f .

3、已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω???

=+>><

??

?

的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点()0,2x ，()003,202x x ??

+-> ???

上()f x 分别取得最大值和最小值． （1）求()f x 的解析式；

（2）若函数()()g x af x b =+的最大和最小值分别为6和2，求,a b 的值．

4、已知函数)2

||,0,0)(sin()(π

?ωω?ω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象 下图所

示。

（1）求函数的解析式；

（2）设π<

5、函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。 （其中 π?πω<<->>,0,0A ）

O

1211π

x

y

2 1

与函数综合：

1、设)(x f 满足(sin )3(sin )4sin cos (||)2

f x f x x x x π

-+=?≤ ，,求)(x f 的表达式；

（2）求)(x f 的最大值．

2、设0>a ，π20<≤x ，若函数b x a x y +-=sin cos 2

的最大值为0， 最小值为4-，试求a 与b 的值，并求y 使取最大值和最小值时x 的值。