初中数学几何部分圆的证明与计算题

初中数学-圆的证明与计算题-解析版

1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD 与AE交于点F.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD 的长．

第1题图

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

∴∠ABD＝∠DBE，

如解图，连接DO，

第1题解图∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠EBD＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，

∴OD∥BE，

∴PD

PE

＝PO

PB

，

∵P A＝AO，

∴P A＝AO＝OB，

∴PO

PB

＝2

3

，

∴PD

PE

＝2

3

，

∴

PD

PD＋DE

＝2

3

，

∴PD＝4.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，cos A

＝2

5

，求DF的长．

第2题图

（1）证明：如解图，连接OD，

第2题解图∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠B，

又∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠ODB＝∠C，

G

∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°，

∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；

(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1

2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2

5， ∴OA ＝5，

∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.

3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN ；

(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．

第3题图

(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ， ∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°， ∵∠ANE ＝∠CNM ， ∴∠BAM ＝∠BCD ， ∴∠BAM ＝∠BAD ， 在△ANE 与△ADE 中， ????

?∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE

∠AEN ＝∠AED

， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)， ∴AN ＝AD ；

(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD , ∴AE ＝1

2AB ＝22，

∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，

如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，

第3题解图

∵△AOE是直角三角形，AE＝22，OE＝x－1，AO＝2x－1，

∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，

解得x1＝2，x2＝－4

3(舍)，

∴AO＝2x－1＝3，

即⊙O的半径为3.

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

(1)求证：∠1＝∠F；

(2)若sin B＝

5

5

，EF＝25，求CD的长．

第4题图（1）证明：如解图，连接DE.

第4题解图

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°.

∵E是AB的中点，

∴DA＝DB，

∴∠1＝∠B.

∵∠B＝∠F，

∴∠1＝∠F；

(2)解：∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝25，

∴AB＝2AE＝4 5.

在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，

∴BC＝AB2－AC2＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，

解得x＝3，

∴CD＝3.

5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C 作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.

(1)求证：DA=DC；

(2)求∠P及∠AEB的度数.

第5题图

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵CB⊥AE，

∴AD⊥AE，

∴∠DAO＝90°，

又∵直线DP和⊙O相切于点C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO＝90°，

??

?DO ＝DO

AO ＝CO

， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)， ∴DA ＝DC ；

(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径， ∴CF ＝FB ＝1

2BC ，

又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ， ∴CF ＝1

2AD ， 又∵CF ∥DA ， ∴△PCF ∽△PDA ，

∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由(1)知DA ＝DC ， ∴DA ＝1

2PD ，

∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°. ∵DP ∥AB ，

∴∠F AB ＝∠P ＝30°， 又∵∠ABE ＝90°，

∴∠AEB ＝90°－30°＝60°.

6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E . (1)求证：∠ABD ＝∠ADE ；

(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝20

3，求CE 的长．

第6题图

（1）证明：如解图，连接OD .

第6题解图 ∵DE 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE ，

∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ODB ，

∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ABD ＝∠ADE ;

(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝25

3，∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD . ∵O 为AB 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ， ∵OD ⊥DE ， ∴AC ⊥DE ， 在Rt △ACD 中， CD ＝

AC 2－AD 2＝

（253）2－（20

3）2＝5，

∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°， ∴△DEC ∽△ADC ， ∴CE DC ＝DC AC ，即CE 5＝5253，

∴CE ＝3.

7.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 上的一点，且∠A ＝2∠DCB ，点E 是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D . (1)求证：AB 是⊙O 的切线；

(2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．

第7题图

(1)证明：如解图①，连接OD，

第7题解图①

则∠DOB＝2∠DCB，

又∵∠A＝2∠DCB，

∴∠A＝∠DOB，

又∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠DOB＋∠B＝90°，

∴∠BDO＝90°，

即OD⊥AB，

又∵OD是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：如解图②，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，

第7题解图②

∵OD ＝OE ＝BE ＝1

2BO ，∠BDO ＝90°， ∴∠B ＝30°， ∴∠DOB ＝60°， ∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2， ∴OD ＝2，

∴BD ＝OD tan60°＝2 3.

8.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D .

(1)求证：P A 是⊙O 的切线；

(2)若cos ∠CAO ＝4

5，且OC ＝6，求PB 的长．

（1）证明：如解图，连接OB，

第8题解图

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴P A＝PB，

∴∠P AB＝∠PBA，

∴∠P AO＝∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，

∴∠OBP＝90°，

∴∠P AO＝90°，

∵OA为⊙O的半径，

∴P A是⊙O的切线；

(2)解：∵cos∠CAO＝4

5，

∴设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ∴sin ∠CAO ＝35，tan ∠COA ＝4

3， ∴CO OA ＝35，即6OA ＝3

5，解得OA ＝10， ∵tan ∠POA ＝tan ∠COA ＝AP AO ＝4

3， ∴AP

10＝43，解得AP ＝403， ∵P A ＝PB ， ∴PB ＝P A ＝40

3.

9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，∠ACD ＝∠ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；

(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan ∠ABC ＝23，tan ∠AEC ＝5

3，求⊙O 的直径．

第9题图

(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°，

∴∠ABC ＋∠DCB ＝90°， ∵∠ACD ＝∠ABC ， ∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°， 即BC ⊥CA ，

又∵BC 是⊙O 的直径， ∴CA 是⊙O 的切线；

(2)解：在Rt △AEC 中，tan ∠AEC ＝53， ∴AC EC ＝53，EC ＝35AC .

在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝2

3， ∴AC BC ＝23，BC ＝32AC . ∵BC －EC ＝BE ＝6，

∴32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ∴BC ＝32×20

3＝10， 即⊙O 的直径为10.

10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F . (1)求证：DE ⊥AC ；

(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．

第10题图（1）证明：如解图,连接OD，AD，

第10题解图∵DE与⊙O相切于点D，

∴OD⊥DE.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴D为BC中点，

又∵O为AB中点，

∴OD∥AC，∴DE⊥AC；

(2)解：∵AB=10，

∴OB =OD =5. 由(1)知OD ∥AC ， ∴△ODF ∽△AEF ，

∴AB

BF OB BF

AF OF AE OD ++==， 设BF =x ,

则有10

5

85++=x x 解得x =

310， ∴BF =

3

10

. 11.如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分∠BAF 且交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，延长AB 、DC 交于点E ，连接BC 、CF . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AD ＝6，DE ＝8，求BE 的长； (3)求证：AF ＋2DF ＝AB .

第11题图

（1）证明：如解图，连接OC .

第11题解图

∵AC 平分∠BAD ,∴∠OAC =∠CAD ， 又∠OAC =∠OCA ,∴∠OCA =∠CAD ， ∴CO ∥AD . 又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥OC ，

又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；

（2）解：在Rt △ADE 中，∵AD =6，DE =8， 根据勾股定理得：AE =10， ∵CO ∥AD ， ∴△EOC ∽△EAD , ∴

AD

OC

EA EO =. 设⊙O 的半径为r ，∴OE =10-r .

∴

61010r

r -=， ∴r =4

15，

∴BE =10-2r =2

5

；

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD，

∴CG=CD，

在Rt△AGC和Rt△ADC中，

∵CG=CD，AC=AC，

∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），

∴AG=AD.

又∵∠BAC=∠CAD，

∴BC=CF，

在Rt△CGB和Rt△CDF中，

∵BC=FC，CG=CD，

∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），

∴GB=DF.

∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.

︵的长；

(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD

(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(3)求证：2CE2＝AB·EF.