复旦大学97,98,00,01年数学分析考研试题
复旦大学数学分析1997 一、计算 1.
)
2
sin (1
lim x x x →
2. .,sin 501.122y x x y 求=
3. ?+x dx tan 1
4.
,)],cos(),cos([?+c
ds y n y x n x 其中从为椭圆
12
2
22=+b y a x ,n 为它的外法线. 5.
??D
dxdy y
x
2ln
,D 是由y=x,y=1,x=2围成的三角形. 6. 计算由曲面a y x a y x a y x ±=-±=+=+,,2
2
2
围成的体积(0.70)
(本题共40分,其中第1,2,3小题每小题5分,第4,5小题每小题8分,第6小题9分)
二、讨论下列级数的收敛性。
dx x x n n
∑?∞
=+1
01sin π dx n
n n ∑
∞
=8
ln 12sin
π (本题共15分,其中第1小题7分, 第2小题8分,) 三、在平面直角坐标系oxy 中有一以y 轴为对称轴的抛物线，他与oxoy 两正半轴的交点分别为AB 。 当OB OA +为定值时，为使这段抛物线与两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转得到的立体体积最大，OB OA :应取何值。 （本题共15分）
四、设f 在[0，1]连续，
f （1）=0，,...3,2,1,)()(==n x x f x
g n
n 证明{ n g }在[0，1]上一致收敛 （本题15分）
五、设f 在（0，∞）连续，?=∞→x
x dt t f x 0.0)(1lim 证明：
0)(lim =∞
→x f x （本题15分）
复旦大学数学分析1998 1．（每小题8分，共48分） （1） 求极限x
x x
x 1
)1ln(lim
1
0-+→。
（2） 通过代换??
?
??-==)(212
2v u y uv x ，变换方程2
2
221)()(
y
x y
z
x z +=??+??
（3） 设,2
0π
<
≤x 证明不等式.3tan sin 2x x x ≥+ （4） 求不定积分
?
+x
e
dx 1
（5） 求定积分
)(,)1
(ln 自然数n dx x
n ?
（6） 求积分
dx y
x dy y y
?
?
-++2
042
2
2
11
2.在椭圆4422=+y x 上求一点,使到直线1243=+y x 的距离为最短.(10分)
3.对级数
∑∞
=-1
n nx
ne
指出他的收敛范围,讨论它的一致收敛
性,并求和.(10分)
4.设L 是单位圆周: 122=+y x ,方向为逆时针.求积分:
?+++-L
y
x dy
y x dx y x 224)4()( .(10分) 5. {{}
,2,1|),,(2
2
1V S z y x z y x V =<<+=
求积分
,)(22zdxdy y x yzdzdx S
??
++
积分延外法线方向.(10分) 6.计算).,0(,)cos ln(sin )(20
222∞∈+=
?
ααπ
dx x d x I
要求说明计算方法的合理性.(12分)
复旦大学数学分析2000
1. 求极限:
??
?
?
?+-+∞
→x x x x x 1ln lim 2
. 2. 计算积分:
?
1
2a r c t a n x d x
x .
3. 设()y x f ,具有连续偏导数,满足())0,1(1,0f f =,证
明:必存在一点()y x ,,0>x ,0>y ,12
2
=+y x ,满足
方程
()()y x xf y x yf y x ,,=.
4. 计算积分:
(
)
??+D
dxdy y x
其中区域(){
}
1,0,0:,<+>>=y x y x y x D .
5. 问交错级数
()
∑∞
=+-1
1
1n n n x 是否绝对收敛的话,请证明
之;不一定收敛的话,请举出反例. 6. 问
∑
∞
=1
cos sin n n
nx
x 关于x 在()+∞∞-,是否一致收敛?
证明你的论断.
7. 计算第二类曲线积分
()()
?
+++++L
dy
y x x xy y dx y x 2222ln ,
其中(){}π≤≤==x x y y x L 0,s i n :,.,方向为
()()0,0,0π→.
8. 利用Lagrange 乘数法,求平面0=++z y x 与椭球面
14222=++z y x 所截的椭圆的面积.
复旦大学数学分析2001
1. 求极限
)
12(ln lim
22
11---→x e x x x
（12分）
2．已知)(0)(,0)0(+∞<<-∞> ，证明 x x f )(分别在（),0()0,+∞∞-与上都是严格单调增加函数。 （12分） 3．设 ? +∞ a dx x f )(收敛，∞ →x l i m ,1)(=x g 问积分 ? +∞ a x f )(dx x g )(是否一定收敛？收敛的话，请证明之； 不一定收敛的话，请举出反例。 （12分） 4．设),(y x z z =是由隐函数0),(=++ x z y y z x F 确定，求表达式y z y x z x ??+??，并要求简化之。 （12’ 5．用L a g r a n g e 乘数法，解2 ),,(42 2 z y x z y x f ++=在 1=xyz 条件下的极值问题。 （13分） 6．求曲面xyz z y x 3)(3 22 2 =++所围区域的体积。 （13分） 7．证明：6 11 ln 21 0π= -?dx x x （推导过程要说明理由）。 （13分） 8．将),0(,sin π∈=x x y 展开成余弦级数，并求级数 ∑+∞ =+--12 1 1 4)1(n n n 的和。（13分）