1专题一 全等三角形的基本模型
第一节 全等三角形的基本模型
全等三角形是初中数学中非常重要的几何部分，它在几何证明、平面直角坐标系中的计算和函数动点探究题中都是常客。既然全等三角形在初中几何中有如此重要的地位，那么我们就必须熟悉全等三角形的常见模型，掌握一些构造全等三角形的辅助线方法。这一专题，我们将抓住全等三角形的几何证明部分，逐步认识“一线三等角”模型、“手拉手”模型、对角互补模型和半角模型，熟能生巧 ．
【例1】已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =． （1）求证：E F ∠=∠；
（2）若40A ∠=?，80D ∠=?，求E ∠的度数．
【例2】如图，AB AD =，25BAC DAC ∠=∠=?，80D ∠=?．求BCA ∠的度数．
【例3】如图，在ABC ?中，点D 是边BC 的中点，连结AD 并延长到点E ，使DE AD =，连结CE ．
（1）求证：ABD ECD ???；
（2）若ABD ?的面积为5，求ACE ?的面积．
【例4】如图，ABC
?，使?中，D为BC边上的一点，AD AC
=，以线段AD为边作ADE
得AE AB
=，BAE CAD
=．
∠=∠．求证：DE CB
【例5】如图，AB AE
=，//
∠=?．
∠=?，40
E
AB DE，70
DAB
（1）求DAE
∠的度数；
（2）若30
=．
B
∠=?，求证：AD BC
【同步训练】
1．如图，点O是线段AB的中点，//
OD BC且OD BC
=．
（1）求证：AOD OBC
???；
（2）若35
∠的度数．
∠=?，求DOC
ADO
2．如图，AC平分BAD
∠，AB AD
=．求证：BC DC
=．
3．如图，已知AD BC =，BD AC =．求证：ADB BCA ∠=∠．
4．如图，AB AC =，AB AC ⊥，AD AE ⊥，且ABD ACE ∠=∠． 求证：BD CE =．
5．如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，
A D ∠=∠．
（1）求证：AB CD =；
（2）若AB CF =，40B ∠=?，求D ∠的度数．
6．如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =． 求证：（1）ABF DCE ???； （2）//AF DE ．
7．如图，在ABC ?中，点D 是BC 中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，且DE DF =．求证：ABC ?是等腰三角形．
8．已知，如图：AC 与BD 相交于点O ，OBC OCB ∠=∠，A D ∠=∠，求证：AO DO =．
9．如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB CD =，A FBD ∠=∠，//CE DF ，求证：CE DF =．
10．如图，AC 是BAE ∠的平分线，点D 是线段AC 上的一点，C E ∠=∠，AB AD =．求证：BC DE =．
第二节一线三等角构造全等三角形
上一讲我们介绍了全等三角形的几个常见模型，但是我们在平常的练习和模拟中遇到的题有的并非如此简单，那么我们就需要去总结其中的题型和对应的解题策略，找出一套做辅助线的法则去解题。这讲我们将介绍“一线三等角”模型来构造全等三角形，我们将重点介绍特殊的等腰直角三角形和等边三角形．
【例1】【感知】如图①，ABC
?是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作60
⊥，
=．若DE BC EDF
∠=?，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD CF 则DFC
∠的大小是度；
【探究】如图②，ABC
?是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作
=；
60
=．求证：BE CD ∠=?，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD CF
EDF
【应用】在图③中，若D是边BC的中点，且2
AB=，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为．
【例2】如图1，ABC
=，BC DC
=．
∠=∠，点D在AC上，点E在BC上，AD CE
?中，A C
（1）求证：DB DE
=；
（2）如图2，若90
∠的度数．
ABC
∠=?，求BED
【例3】如图①，在ABC
=，直线l经过点A，且BD l
⊥于的D，
BAC
∠=?，AB AC
?中，90
⊥于的E．
CE l
（1）求证：BD CE DE
+=；
（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．
【例4】综合与实践
（1）观察理解：如图1，ABC
=，直线l过点C，点A，B在
∠=?，AC BC
?中，90
ACB
直线l同侧，BD l
⊥，AE l
AEC CDB
∠=∠=?，所
⊥，垂足分别为D，E，由此可得：90
以90
BCD ACE
∠+∠=?，所以
∠=?，所以90∠+∠=?，又因为90
ACB
CAE ACE
=，所以AEC CDB
???；（请填写全等判定的方法）∠=∠，又因为AC BC
CAE BCD
（2）理解应用：如图2，AE AB
⊥，且AE AB
=，BC CD
=，利用（1）中
⊥，且BC CD
的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=；
（3）类比探究：如图3，Rt ABC
AC=，将斜边AB绕点A逆时针旋
∠=?，4
?中，90
ACB
转90?至AB'，连接B C'，求△AB C'的面积．
（4）拓展提升：如图4，点B，C在MAN
∠内部
∠的边AM、AN上，点E，F在MAN
的射线AD上，1
∠、2
?、CAF
∠分别是ABE
∠=∠=∠．求
?的外角．已知AB AC
=，12BAC
证：CF EF BE
+=；
（5）拓展应用：如图5，在ABC
CD BD
>．点D在边BC上，2
=，
?中，AB AC
=，AB BC
点E、F在线段AD上，12BAC
?的面
?与BDE
?的面积为15，则ACF
∠=∠=∠．若ABC
积之和为．
同步训练
1．如图，在ABC
∠=?，点D在BC边上（不与点B，C重合），
B
==，50
?中，3
AB AC
连接AD，作50
∠=?，DE交边AC于点E．
ADE
（1）当20
∠=?时，求CDE
∠的度数；
BAD
（2）当CD等于多少时，ABD DCE
???？为什么？
2．已知：三角形ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，D 为BC 的中点，如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE AF =，求证：DEF ?为等腰直角三角形．
3．如图，已知ABC △是等边三角形，点D 、E 和F 分别是AB 、BC 和AC 上的点，若?=∠60DEF ，CE BD =，求证：CF BE =．
4．如图，已知90ABC ∠=?，D 是直线AB 上的点，AD BC =．
（1）如图1，过点A 作AF AB ⊥，并截取AF BD =，连接DC 、DF 、CF ，判断CDF ?的形状并证明；
（2）如图2，E 是直线BC 上一点，且CE BD =，直线AE 、CD 相交于点P ，APD ∠的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
5．（1）如图（1），已知：在ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE =+．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC ?中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线l 上，且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是直线l 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合），点F
为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ?和ACF ?均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DF EF =．
第三节 等腰三角形旋转构造全等
上一讲我们通过“一线三等角”模型介绍了构造全等三角形的方法，并且着重介绍了特殊的等腰直角三角形和等边三角形中的“一线三等角”。那么，如果是两个等腰三角形一起出现又会有怎样的模型和性质呢？除了这些特殊的三角形，在角度方面是不是又隐藏着一些重要的模型呢？这一讲我们将揭开“手拉手”模型、对角互补模型和半角模型的面纱。
【例1】已知ABC ?和ADE ?均为等腰三角形，且BAC DAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =． （1）如图1，点E 在BC 上，求证：BC BD BE =+； （2）如图2，点E 在CB 的延长线上，求证：BC BD BE =-．
【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，在ACM ?，CBN ?中，AC CM =，BC CN =，60ACM BCN ∠=∠=?，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．
求证：（1）AN BM =． （2）CEF ?是等边三角形．
【例3】如图，四边形ABCD中AD AB
=，180
∠．
∠+∠=?，求证：CA平分DCB
DAB BCD
【例4】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作MDN
∠，交边AC、BC于M、N．
（1）若30
∠绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线
∠=?，当MDN
ACD
∠=?，60
MDN
段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当90
∠+∠=?时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的
ACD MDN
结论；
（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【例5】如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且CE CF =． （1）求证：BE DF =；
（2）若点G 在AD 上，且45GCE ∠=?，则GE BE GD =+成立吗？为什么？
【同步训练】
1．如图，点C 在线段AB 上，DAC ?和DBE ?都是等边三角形，试说明：DAB DCE ???．
2．以点A 为顶点作两个等腰直角三角形(,)ABC ADE ??，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE ．
（1）说明BD CE =；
（2）延长BD ，交CE 于点F ，求BFC ∠的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
3．如图，四边形ABCD 中，CA 平分BAD ∠，CB CD =，CF AD ⊥于F ． （1）求证：180ABC ADC ∠+∠=?；
（2）若:3:4AF CF =，8CF =，求四边形ABCD 的面积．
4．【问题背景】
在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=?，90B ADC ∠=∠=?，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=?，试探究图1中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系． 【初步探索】
小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ???，再证明AEF AGF ???，则可得到BE 、EF 、FD 之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD 中如图2，AB AD =，180B D ∠+∠=?，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，1
2
EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处）北偏西30?的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70?的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50?的方向以80海里/小时的速度前进1．5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角()
EOF ∠
为70?，试求此时两舰艇之间的距离．
5．如图正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若45EAF ∠=?，求证：EF BE DF =+；
（2）若该正方形ABCD 的边长为1，如果CEF ?的周长为2．求EAF ∠的度数．
达标训练
1．已知BE CF =，AB DE =，B DEF ∠=∠． 求证：//AC DF ．
2．如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD CF =，AB DE =，BC EF =． （1）求证：ABC DEF ???；
（2）若55A ∠=?，88B ∠=?，求F ∠的度数．
3．如图，在ABC
=．?中，AB AC
=，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BD CE
4．如图，在ABC
=，D是BA延长线上一点，E是AC的中点，连接DE并延?中，AB AC
长，交BC于点M，DAC
∠的平分线交DM于点F．
求证：AF CM
=．
5．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，90
∠=∠，
BCE ACD
∠=∠=?，BAC D =．
BC CE
（1）求证：AC CD
=；
（2）若AC AE
=，求DEC
∠的度数．
6．已知：如图，BAC DAM ∠=∠，AB AN =，AD AM =，求证：B ANM ∠=∠．
7．如图，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在AC 边上，12∠=∠，AE 和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ???； （2）若142∠=?，求BDE ∠的度数．
8．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB CE =，//AB ED ，//AC FD ，AD 交BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分．
9．如图，点E ，F 在AB 上，DF CE =，AD BC =，AE BF =．求证：D C ∠=∠．
10．如图，DE CA =，//AB DE ，75DAB ∠=?，40E ∠=?． （Ⅰ）求DAE ∠的度数；
（Ⅱ）若35
B
∠=?，求证：AD BC
=．
11．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作ABC
?，使AB AC
=，连接BD，CE．
（1）如图①，若90
BAC
∠=?，BD m
⊥，CE m
⊥，求证：ABD ACE
???；
（2）如图②，若BDA AEC BAC
∠=∠=∠，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，在等腰三角形ABC
?中，AC BC
=，D、E分别为AB、BC上一点，CDE A
∠=∠．（1）如图①，若BC BD
=，求证：CD DE
=；
（2）如图②，过点C作CH DE
⊥，垂足为H，若CD BD
=，
7
4
EH=，直接写出CE BE
-
的值为．
13．CD是经过BCA
∠的顶点C的一条直线，CA CB
=，E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα
∠=∠=∠，
（1）若直线CD经过BCA
∠的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的两个问题：
①如图1，若90BCA ∠=?，90α∠=?，则BE CF ，EF ||BE AF -（填“>”、“ <”、“ =” )；
②如图2，若0180BCA ?<∠
14．在ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．
（1）当直线MN 绕着点C 旋转到如图1所示的位置时， 求证：①ADC CEB ???； ②DE AD BE =+；
（2）当直线MN 绕着点C 旋转到如图2所示的位置时， ①找出图中一对全等三角形；
②DE 、AD 、BE 之间有怎样的数量关系，并加以证明．
15．已知，在ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，点D 为BC 的中点．
（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE DF ⊥，则BE 与AF 的数量关系是 ．
（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE DF ⊥，那么上述结论还成立吗？请利用图②说明理由．
16．在ABC
∠的两边与AB，AC分别交于∠=∠，点D为BC边上的动点，EDF
?中，B C
点E，F，且BD CF
=．
=，BE CD
（1）求证：BDE CFD
???；
（2）若90
∠的度数．
A
∠=?，求DEF
17．如图，已知ABC
∠=?，M、N分别在ABC
?的BC、AC边
CAB
=，60
?中，BC AC
上，且60
∠=?，AM、BN交于点Q．求证：BM CN
BQM
=．
18．如图，在ABC
∠=?，过点A作AD BC
⊥于点D，点E为AD上一点，且
ACB
?中，45
=．
ED BD
（1）求证：ABD CED
???；
（2）若CE为ACD
∠的度数．
∠的角平分线，求BAC
19．如图，等腰Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，点D 、E 分别在边AB 、CB 上，
CD DE =，CDB DEC ∠=∠，过点C 作CF DE ⊥于点F ，交AB 于点G ，
（1）求证：ACD BDE ???； （2）求证：CDG ?为等腰三角形．
20．已知四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD =，22ABC C α∠=∠=，点E 在AD 上， 点F 在DC 上 ．
（1） 如图 1 ，若45α=?，BDC ∠的度数为 ；
（2） 如图 2 ，当45α=?，90BEF ∠=?时， 求证：EB EF =；
（3） 如图 3 ，若30α=?，则当BEF ∠= 时， 使得EB EF =成立？ （请 直接写出结果）
21．已知ABC ?为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，点C 重合）．以
AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
???；
①求证：ABD ACE
=+是否成立（不需证明）；
②直接判断结论BC DC CE
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
22．如图，ABC
?都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD与BE相交于点O，?和ECD
AD与CE交与点F，AC与BE交于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
（2）求BOD
∠的度数．
（3）连接GF，判断CGF
?的形状，并说明理由．
23．如图，分别以Rt ABC
?外作两个等边三角形ACE
?和?的直角边AC，BC为边，在ABC
?，连结BE，AF．
BCF
①求证：BE AF
=；
②BOF
∠=?，说明理由．
专题训练(三) 全等三角形的基本模型
专题训练(三)全等三角形的基本模型 ?模型一平移模型 常见的平移模型： 图3－ZT－1 1．如图3－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E. 图3－ZT－2 2．如图3－ZT－3，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF. 图3－ZT－3 ?模型二轴对称模型 常见的轴对称模型： 图3－ZT－4 3．如图3－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由． 图3－ZT－5 4．如图3－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD. 图3－ZT－6 5．如图3－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF. 图3－ZT－7 6．如图3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图3－ZT－8 ?模型三旋转模型 常见的旋转模型： 图3－ZT－9
7．如图3－ZT－10，已知AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图3－ZT－10 ?模型四一线三等角模型 图3－ZT－11 8．如图3－ZT－12，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数． 图3－ZT－12 ?模型五综合模型 平移＋对称模型：平移＋旋转模型： 图3－ZT－13 图3－ZT－14 9．如图3－ZT－15，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF. 3－ZT－15 10．如图3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE. 图3－ZT－16 详解详析
初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)
初二数学三角形全等 常用几何模型及构造方法大全 掌握它轻松搞定全等题！ 全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型： （一）平移全等：平行等线段（平行四边形） （二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型； （三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转
如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！
1：角平分线模型： 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折） 翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
全等三角形常见的几何模型
全等三角形常见的几何 模型 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等 遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角 旋遇，造等边三角形 旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)?如图1，当点D在边BC上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ? (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2， 求PCQ 的度数。
全等三角形的经典模型(一)
作弊？ 漫画释义 三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型（一）
D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型
A B C O M N A B C O M N 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形． 【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如 图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由． 【解析】EMC △是等腰直角三角形． 典题精练 A B C O M N M E D C B A
全等三角形常见的几何模型
1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:
3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P
专项练习(二) 全等三角形的基本模型
专项练习(二)全等三角形的基本模型?基本模型一平移模型 常见的平移模型： 图2－ZT－1 1．如图2－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝D B. 求证：∠A＝∠E. 图2－ZT－2 2．如图2－ZT－3，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF. 求证：AE＝BF. 图2－ZT－3 ?基本模型二轴对称模型 常见的轴对称模型： 图2－ZT－4 3．如图2－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由． 图2－ZT－5 4．如图2－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE. 求证：BE＝CD. 图2－ZT－6 5．如图2－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF. 求证：DE＝CF. 图2－ZT－7 6．如图2－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图2－ZT－8
?基本模型三旋转模型 常见的旋转模型： 图2－ZT－9 7．如图2－ZT－10，O是线段AB和线段CD的中点．求证：(1)△A OD≌△BOC； (2)AD∥BC. 图2－ZT－10 8．：如图2－ZT－11，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图2－ZT－11 ?基本模型四一线三等角模型 图2－ZT－12 9．如图2－ZT－13，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC ＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)假设∠A＝40°，求∠BCD的度数． 图2－ZT－13 ?基本模型五综合模型 平移＋对称模型： 图2－ZT －14 10．如图2－ZT－15，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB ∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF. 图2－ZT－15 平移＋旋转模型： 图2－ZT－16 11．：如图2－ZT－17，AB＝BC，BD＝EC，AB⊥BC，EC⊥BC.求证：AD⊥BE. 图2－ZT－17 详解详析
全等三角形证明中的基本模型
把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A
【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升
【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A
全等三角形常见的几何模型
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段 AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。
人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选.)
人教版八年级数学全等三角形常见模型总结 要点梳理 全等三角形的判定与性质 类型一：角平分线 模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC 例题解析 例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. （2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠ BAC. 图1 图2 【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. 类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)
两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析 例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 证明：如图（1）， 过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO， 又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ， 又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB， 又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD， 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB， ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。
【2020中考数学专项复习】全等三角形的常见基本模型
【中考专项复习】全等三角形的常见模型 【回归概念】 概念：经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 [1] ，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。 [2] 根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。 规律： 全等三角形基本模型： 1.平移模型 2.对称模型 3.旋转模型 4.三垂直模型
5.一线三等角模型 【规律探寻】 构造全等三角形的一般方法 1.题目中出现角平分线 （1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形 （2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。 （3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形 2.题目中出现中点或者中线（中位线） （1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置 （2）过中点作某一条边的平行线 3.题目中出现等腰或者等边三角形 （1）找中点，倍长中线 （2）过顶点作底边的垂线 （3）过某已知点作一条边的平行线 （4）三线合一 4.题目中出现三条线段之间的关系 通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。这种方法，在证明多条线段的和、差、倍、分关系时，效果非常好。 5.题目中出现垂直平分线
全等中的基本模型.学生版
全等中的基本模型 知识互联网 模块一平移型全等 知识导航 把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型
【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 模块二 对称型全等 夯实基础 能力提升 F E D C B A
常见轴对称模型 【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 夯实基础 能力提升 知识导航 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A
全等三角形常见的几何模型
1、绕点型（手拉手模型） 遇 600旋 60 0，造等边三角形 遇 900旋 900，造等腰直角 （ 1）自旋转：自旋转构造方法 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋 1800，造中心对称 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。E （ 4）△ AGB≌△ DFB H F （ 5）△ EGB≌△ CFB G （6） BH平分∠ AHC （7）GF∥AC A B C 变式练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC C （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。 E （ 4）AE 与 DC的交点设为 H,BH平分∠ AHC A B
变式练习 2、如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： D (1) △ ABE≌△ DBC (2)AE=DC (3)AE 与 DC的夹角为 60。 （ 4） AE与 DC的交点设为 H,BH 平分∠ AHC B A H E C （1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC ，BC 为边在 AB 的同侧作等边△ ACM 和△ CBN ，连接 AN ，BM ．分别取BM ， AN 的中点 E， F，连接 CE， CF， EF．观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（ 1）中的“以 AC ，BC 为边作等边△ ACM 和△ CBN”改为“以 AC ，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰△ ACM 和△CBN ，”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例 4、例题讲解： 1.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆时针排列），使∠ DAF=60° ,连接 CF. (1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ?② AC=CF+CD. (2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。
05全等三角形中的常见模型
一、常见模型 1.K 字型 2.手拉手模型 3. 4.普通旋转型 二、常见辅助线 1.角平分线相关辅助线 2. 中点相关的辅助线 三、典型例题 1.【一线三等角】 例1 （1）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点在直线m 上，过点B 作BE ⊥m 于点E ，过点C 作CD ⊥m 于点D ，说明线段BE ，CD ，DE 的数量关系，并证明. （2）将（1）中等腰Rt △ABC 绕直角顶点A 旋转，使B ，C 分别位于直线m 的两侧，过点B 作BE ⊥m 于点E ，过点C 作CD ⊥m 于点D ，说明线段BE ，CD ，DE 的数量关系，并证明. E C A B D B C D B E A A E B D C A E B D C
2.【普通旋转型】 例2. 如图，正三角形ABC内有一点D，BD延长线上取一点E，使∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：△ADE是正三角形. 【练习】1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∠EDF＝90°. 求证：①△BDE≌△ADF； ②AE＝CF； ③△DEF是等腰直角三角形.3.【手拉手模型】 例3如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE 都是等边三角形，连接AD，BE，OC. （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：△CPQ是等边三角形； （3）求证：OC平分∠AOE.
【练习】1. 如图，P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，线段AC，BD交于点O. 求证：（1）求证：△ACP≌△BPD； （2）求证：∠APB＝∠AOB； （3）求证：OP平分∠AO D. 4.【截长补短】 例4已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BA C.求证：AB＝AC＋C D. 【练习】1.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD。求∠ABC的度数.2. 在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足∠MAN＝45° ， 求证：MN＝BM＋DN 3. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O． （1）求∠AOC； （2）求证：AC＝AE＋CD； （3）求证：OD＝OE． A A B C D
(完整word版)全等三角形之手拉手模型专题
全等三角形之手拉手模型专题 基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（2） C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在 AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？ 说明理由． 分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由 已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等， 即可得到线段相等． 解：（1）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM． （2）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC 又∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． （3）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围 绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三 角形全等是正确解答本题的关键．
变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接 CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变， 那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理 由． 点评：（1 ）先求证△ACN≌△MCB ，得出AN=BM ，∠ANC=∠MBA ，再证△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，利用等边三角形的角度60， 得出∠ECF=60°，证得结论成立； （2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF，而∠ECF 只等于等腰三角 形的顶角≠60°，得出结论不成立． 解：（1）如图1，△CEF 是等边三角形， 理由：∵等边△ACM 和△CBN， ∴AC=MC，BC=NC，∠ACN=∠MCB， 在△ACN 和△MCB 中 NC＝BC ∠ACN＝∠MCB AC＝MC ∴△ACN≌△MCB（SAS）， ∴AN=MB，∠ANC=∠MBA， 在△NFC 和△BEC 中， NC＝BC ∠FNC＝∠EBC NF＝BE ∴△NFC≌△BEC（SAS）， ∴EC=CF， ∵∠BCE+∠ECN=60°，∠BCE=∠NCF， ∴∠ECF=60°， ∴△CEF 是等边三角形； （2）如图2，不成立，首先∠ACN≠∠MCB， ∴△ACN 与△MCB 不全等． 如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立， 证明方法与上面类似，只能得到CE=CF，而∠ECF 只等于等腰三角形的顶角≠60°．点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性 质，等腰三角形的性质等知识点．
全等三角形之手拉手模型
全等三角形之手拉手模 型 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
全等三角形之手拉手模型专题手拉手模型： 定义：所谓手拉手模型，是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。 基本模型： 例题：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。 三个结论 结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS) BC=B'C' 结论2：∠BOB'=∠BAB' 结论3: AO平分∠BOC' 共顶点的等腰直角三角形中的手拉手 变式精练1、下图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,求证：⑴ BD=CE ⑵ BD⊥CE 共顶点的等边三角形中的手拉手 变式精练2：如图，点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边三角形，求：（1）CD=BE (2)∠DAE＋∠BFD=180° (3)∠BFA=∠DFA=60°
模型应用1：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为 CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。 （选讲）模型应用2：如图，在五边形ABCDE中，∠ABC =∠AED =90°，∠BAC =∠ EAD=α，F 为CD的中点。求证：（1）BF=EF 课堂小测： 练习1：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。 求：（1）AG=CE （2）AG与CE之间的夹角为多少度？（3）HD平分∠AHE
全等三角形常见的几何模型
(手 拉 手 模 型) 遇600旋600，造等边三角形 遇900旋900，造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中 点旋1800，造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD 和厶BCE 连接AE 与CD 证明: (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。 (4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分/ AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD 和厶BCE 连接AE 与CD,证明: (1) △ ABE^A DBC (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。 (4) AE 与DC 的交点设为 H,BH 平分/ AHC 例1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ ABD 和厶BCE 连接 (1) △ ABE^ A DBC AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60 AE 与CD,证明: (4) △ AGB^A DFB (5) △ EGB^A CFB (6) BH 平分/ AHC (7) GF // AC (1)自旋转：自旋转构造方法
(1) 如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以 AC , BC 为边在AB 的同侧作等边△ ACM 和厶CBN ，连 接AN ，BM ?分别取 BM , AN 的中点E , F ,连接CE , CF , EF .观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理 由. (2) 若将(1 )中的“以AC , BC 为边作等边△ ACM 和厶CBN 改为“以AC , BC 为腰在AB 的同侧作 等腰△ ACM 和厶CBN ，”如图2，其他条件不变，那么(1 )中的结论还成立吗？若成立，加以证明; 若不成立，请说明理由. 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线BC 上的一动点(点 D 不与B,C 重合)，以 AD 为边作菱形 ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60°，连接CF. ⑴?如图1,当点 D 在边BC 上时，求证：① ？BD=CF???②AC=CF+CD. (2) 如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请 写岀AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； ？ (3) 如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写岀 AC 、CF 、CD 之间存 在的数量关系。 2、 半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的 角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形 ABCD 的边长为1, AB,AD 上各存在一点 P 、Q 若厶APQ 的周长为2,求 PCQ 的度 数。 例2、在正方形 ABCD 中，若 M 、N 分别在边 BC 、CD 上移动，且满足 MN=BM +DN ，求证：①/ MAN=45 ° ;? △ CMN 的周长=2AB :③AM 、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM 。 例3、在正方形 ABCD 中，已知/ MAN=45，若 M N 分别在边CB DC 的延长线上移动：①试探究线段 MN BM 、DN 之间的数量关系；②求证： AB=AH. B+Z D=180°, AB=AD 若E 、F 分别在边 BC CD 且上，满足 EF=BE+DF 求 证:
全等三角形常见的几何模型
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1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
(1)△ABE≌△DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC （1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型
全等三角形之手拉手模型
全等三角形之手拉手模型 Prepared on 22 November 2020
全等三角形之手拉手模型专题 ?手拉手模型： 定义：所谓手拉手模型，是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。?基本模型： 例题：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。 ?共顶点的等腰直角三角形中的手拉手 变式精练1、下图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,求证： ⑴ BD=CE ⑵ BD⊥CE 三个结论 结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS) BC=B'C' 结论2：∠BOB'=∠BAB' 结论3: AO平分∠BOC'
?共顶点的等边三角形中的手拉手 变式精练2：如图，点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边三角形，求：（1）CD=BE (2)∠DAE＋∠BFD=180° (3)∠BFA=∠DFA=60° 模型应用1：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。
（选讲）模型应用2：如图，在五边形ABCDE中，∠ABC =∠AED =90°，∠BAC =∠EAD=α，F 为CD的中点。求证：（1）BF=EF 课堂小测： 练习1：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。求：（1）AG=CE （2）AG与CE之间的夹角为多少度（3）HD平分∠AHE
中考数学专题复习 全等三角形的相关模型总结
全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）.例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） (2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， 图4 练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ?的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ．
图7 练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。 练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD平分∠BAC。 2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现 辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB （1）.例题应用： ①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。 求证： 1 () 2 BE AC AB =- 证明：延长BE交AC于点F。 F E D C B A 图9 A D E C B P 2 1 4 3