高二数列和基本不等式常见题型

一、最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ◆1、直接法又称观察法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：

2121

2,1,,,,3253

………

◆2、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

???≥???????-=????????????????=

-2111n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) ◆3、累加或累乘法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）

即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =

-+1，所以 11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ， (112)

-a a ，将以上各式相加得：1)2()1(1

+???+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =

)

1(+-n n ◆4、待定系数法：

一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数

a 1+n +k=p （ a n +k ）

二、一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、

等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(1

1-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na S n n

例1、已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由21

2log log 3log 1log 3

3=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n

x x x x S +???+++=32（利用常用公式）＝x

x x n

--1)1(＝2

11)

1(2

1--n ＝1－n 21 练习：求22222222

123456...99100-+-+-+--+的和。解：2222222212345699100

-+-+-+--+ ()()()()

22222222

21436510099=-+-+-++- ()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+ 3711199

=+++＋由等差数列的求和公式得()50

503199S 50502＋＝＝

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.

例2求和：132)12(7531--+???++++=n n

x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n

x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位）

①－②得n

n n

x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n

n n

x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?+=--

∴2

1()

1()12()12(x x x n x n S n

n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

}的通项之积

设n

n n

S 2226242232+???+++=…………………………………① 2341

124622

2222

n n n

S +=+++???+………………………………② ①－②得

4322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减） 1

122212+--

=n n n

∴1

4-+-

=n n n S 三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例3求 89

sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值解：设 89

sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S ………….① 将①式右边倒序得

sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②（倒序）又因为1

cos sin ),90cos(sin 2

2=+-=x x x x ①+②得（倒序相加）

)

89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222

++???++++=S ＝89 ∴S ＝44.5 四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4、求和:???

? ??+++???? ??++???? ??+n n y x y x y x 11

122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()

n x x x x ++++ 32???? ?

?++++n y y y 1112

()

y y x

x x n n

1111111-

???? ??-+

--=n n n n y y y x x x --+--++111

1 练习：求数列的前n 项和：231

,,71,41,111

2-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(1

2-++???++++++=-n a

a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(1

2-+???+++++???+++=-n a a a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n

-+=＝2

)13(n

n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+

=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列111

11,2,3,,(),248

n n ???+???的前n 项和。解：

231111

123()2482

1111

(123)()2222

11(1)122

n n

S n n n n =+++???++=+++???+++++???+=++-

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）

例5求数列

??++???++,1

,,321,211

n n 的前n 项和.

解：设n

n n n a n -+=++=

（裂项）则11

321211+++???++++=n n S n

（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n

练习:11113153563

求、、、的和解：11111111

31535631335577911111111111(1)()()()2323525727911111111(1)()()()23355779114(1)299

+++=++

????=-+-+-+-??=-+-+-+-??

??=-=

在各项均为正数的等比数列中，若1

3231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1

32313log log log a a a S n +???++= 由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =?+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质N M N M a

a a ?=+log log log 得 )log (log )log (log )log (log 6

353932310313a a a a a a S n ++???++++=（合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

例6、求5，55，555，…，的前n 项和。

解：∵a n =59(10n -1)

∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1) =59[（10+102+103+……+10n ）-n]

=（10n ＋1

-9n-10）

练习：求数列：1，，，

的前n 项和。

解： =

（1）)()1(n f n f a n -+=（2）111)1(1+-=+=n n n n a n

n n n n -+=++11

)3( 四、利用基本不等式求最值的技巧

在运用基本不等式ab

b a 22

2≥+与2

a a

b +≤或其变式解题时,要注意如下技巧 ◆1：配系数凑常数【例1】已知23

x 时，8

9max =y . ◆2:添加项凑常数

【例2】已知23>

x ，求322-+=x x y 的最小值. 答案：当且仅当322)32(21-=-x x 即2

min =y . ◆3:拆项配凑法

【例3】已知2>x ，求26

32-+-=x x x y 的最小值.

【解】由于2>x ,所以,

4)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-?-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2

2-=

-x x 即4=x 时，3min =y . ◆4:常数代换法（如用”1”代换） ◆5:由等式转化为不等式

【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围. 【分析】由于条件式3++=b a ab 含有b a ab +,,它们都在2

a a

b +≤式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.

【解】利用基本不等式b a ab +≤2得323+≥++=ab b a ab ,令ab t =,则得

0322

≥--t t ,所以0

)1)(3(≥+-t t ,由于0>t ,所以3≥t 即9≥ab ,故ab 的取值范围是),9[+∞.

高考数列与不等式压轴题(难题)

高考数列与不等式压轴题 1. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证： 12321 1111 ...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当01λ<<时，设1 ()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ?????? 的前n 项和为n T ，求证： 91 43 n n T n -> +。 2. （2013?蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311 23()2 n n n a a a na a n N +++++???+= ∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2 {}n n a 的前n 项和n T ； 3) 若存在* n N ∈，使得(1)n a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围． 3. （2010?无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列． 1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =； 2) 设*5(1)()n n n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围． 4. 已知数列{}n a 中，2 2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项． 1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2 3 - 的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ?<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 5. 已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1 n n n n a a m a n N a +++=∈+。 1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围． 2) 在31m -≤<时，证明： 121111 11112 n n a a a ++???+≥-+++ 3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*() 10()n n n a na n N +-=∈，求证：1 02 n a ≤≤ 。

基本不等式常见题型训练

必修5 基本不等式基本题型训练一、选择题 1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( ) A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为－4 D. 最小值为－4 答案：C 解析：∵x <0，∴－x >0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4，当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 2. [2013·长沙质检]若0－1)的图象最低点的坐标为( ) A. (1,2) B. (1，－2) C. (1,1) D. (0,2) 答案：D 解析：y ＝(x ＋1)2 ＋1x ＋1＝x ＋1＋1 x ＋1≥2，当x ＋1＝1 x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．

4. 已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n B. m 2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋1a －2 ＋2 ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A. 5. [2013·商丘模拟]若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A. 12 B. 2 3 C. 32 D. 6 答案：D 解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D. 6. 已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. [4，＋∞) B. (－∞，1] C. (－∞，4] D. (－∞，4) 答案：D 解析：因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y 时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D. 二、填空题 7. [2013·金版原创]规定记号“?”表示一种运算，即a ?b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若 1?k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ?x x 的最小值为________．答案：1 3 解析：1?k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为．【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意,a b 范围为正数。二定：指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题：例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥，即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知：在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x