概率论与数理统计第六章习题解

第六章.抽样与抽样分布习题解

(习题六)

1.从总体X 中抽取容量为5的样本，得数据如下：－1.5，

2.8，1.4，0，1.4，据此写出X 的样本分布函数.

解：把样本数据顺序排列为：－1.5，0，1.4，1.4，2.8，则由样本分布函数的定义，题设样本的分布函数为：

?????????≥<≤<≤<≤??<=)

8.2()8.24.1()4.10()05.1()5.1(,,,,,15/45

/25/10)(5x x x x x x F 2.从总体X 中抽取样本1x ,2x ,…,n x ，用x 表示样本均值，试证：(1).∑=?0(x x i ；(2).∑?2)(C x i 在x C =时达最小.

证明：(1).∑∑=?=?=?0)(x n x n x n x x x i i ；

(2).设)(C f ＝∑?2)(C x i ＝∑+?)

2(22C Cx x i i ＝∑+?222nC x nC x i ，

求解对C 的导数方程：022)(=?=′x n nC C f ，得唯一驻点C ＝x ，而且，当x C <时，0)(<′C f ；当x C >时，0)(>′C f ，∴C ＝x 是使)(C f 取极小值的点，故∑?2)(C x i 在x C =时达最小.

3.考察幼林胸径，任意抽取10株作为样本，得数据如下(单位：厘米)：

3.0，2.0，5.5，5.0，3.0，6.5，7.0，

4.0，4.0，6.0，

试计算样本均值、方差、修正方差.

解：样本均值：

x ＝6.4)0.620.40.75.60.55.50.220.3(10

1=+×++++++×；样本方差：2221x n x n S i ?=

∑＝2222222226.410)62475.655.5223(10

1×?+×++++++×＝2.49；

样本修正方差：

77.249.29

10122≈×=?=?S n n S .4.设总体X ～N (0,23.0)，从中抽取容量为15的样本1x ,2x ,…,15x ，求概率∑>)25.2(2i x P .

解：∵1x ,2x ,…,15x 是来自总体X 的样本，∴i x ～N (0,23.0)，从而有标准化随机变量：3

.0i i x y =～N (0，1)，(i ＝1,2,…,15),于是由2χ-分布定义有：∑∑====151215

12209.01i i i i x y χ～)15(2χ，∴∑>)5.2(2

i x P ＝05.0)25()25.209.0(15

1

21512≈>=>∑∑==i i I i y P y P .(注：求)25)15((22=>αχχP ,在2χ-分布上侧临界值表中，由自由度n ＝15，及2χ-分布上侧临界值25)15(2=αχ，反找概率α值，即为所求概率).

5.对10<<α，试证)

,(1),(1m n F n m F αα=?，并利用此式求)2,28(90.0F 的值.证明：设{}αα?=>?1),(),(1n m F n m F P ------------------①

及{}αα=>),(),(m n F m n F P ，则应用F -分布性质(1)有：

{}?

?????>=>),(),(1),(),(m n F n m F P m n F m n F P αα＝?=??????<1),(1),(m n F n m F P ααα=?????>),(1),(m n F n m F P ，从而得：αα?=?????>1),(1),(m n F n m F P -------------------②于是比较①、②便得：),(/1),(1m n F n m F αα=?.求)2,28(90.0F 的值：

)2,28(90.0F ＝4.050

.21)28,2(11.0==F .