正余弦定理综合习题及答案
正余弦定理综合
1 1. （2014天津）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b- c= a ,
4
2sin B = 3sin C，贝U cos A 的值为 ______ .
2. （2014广东）.在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c ,已知
bcosC ccosB 2b，贝U a b
1 A，B,C
满足si n2A sin （A B C） sin（C A B）-
3. 已知ABC的内角2，面积
满足1 S
2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边，则下列不等式成立的是（）
A. bc（b c） 8
B. ac（a c）
C. 6 abc 12
D. 12 abc 24
4. （2014江苏）若厶ABC的内角满足si nA 2si nB 2si nC ,则cosC的最小值
5. （2014新课标二）钝角三角形ABC勺面积是2，AB=1, BC“，则AC=（）
A. 5
B. .5
C. 2
D. 1 & （2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面J ：的墙面前的点二处进行射击训练.已知点一-到墙面的距离为J ,某目标点二沿墙面的射击线饶I移动，此人为了准确瞄准目标点二，需计算由点二观察点二的仰角=的大小.若
I七仙曲「Lg 八飞―讥则"二：的最大值 _____________ 。（仰角：为直线AP
与平面ABC所成角）
7. （2011天津）如图，在△ ABC中，D是边AC上的点，且
2AB =，‘‘3BD，BC = 2BD，贝U sin C 的值为（）
人于诗席
8. （2014浙江）本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
已知 a b,c . 3，cos2A - cos2B 、3s in A cos A - 3 si nBcosB.
4
(I)求角C的大小；(II )若$鬥人，求ABC的面积.
5
⑴求角B 的大小；(2)若13, a + c = 4，求△ ABC 的面积.
10、(2011浙江)在厶ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.已知sin A + sin C =
1 5 psin B (p € R)，且ac =孝2(1)当p = 5，b = 1时，求a ， c 的值；⑵若角B 为锐角，求 取值范
围.
n —
11、在厶ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边长分别是
a ，
b ，c.(1)若
c = 2，C = 3，且△
的面积为.3,求a ，b 的值；(2)若sin C + sin(B — A) = sin 2A ，试判断△ ABC 的形状.
A B
12、在 ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且4sin 2
cos2C
2
(1)求角C 的大小；(n)求si nA si n B 的最大值.
9、在厶ABC 中,
b 、
c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
cos B cos C
b 2a + c
ABC
答案
1、解:
2、2
3、A
4、
5、 B
5「3
6、
-
9
7、D
即— si n 2 A 1 cos 2 A
2 2
正余弦定理综合
8、解：（I ）由题意得,
1 cos2A 1 cos2B
-^si n2A
2
sin(2A -) sin(2B
6
6）
，由 a b
得, B 0,，得
2A
6 2B
6
，即A
所以C
(II )由 c .3，
sin A -，
5 sin A 3 由a c ，得A C ，从而cos A -
5
sin C
sin B sin A C sin AcosC cos AsinC
3、3 10 ，
1 所以ABC 的面积为S - acsin B
2 8.
3 18 25
cos B = 2ac ，
_ a 2+ b 2— c 2
cos C =
2ab .
将上式代入 cos B b cos C —— 得: a 2+ c 2— b 2 2ab b
9、解 （1）由余弦定理知: a 2+ c 2— b 2 2ac
a 2 +
b 2—
c 2 2a + c'
^cos2B 2
3 1
即 p 2 = 3+ -cos B.
“ 3
因为 0 n 11、 解(1) ?/ c = 2, C = 3, ?由余弦定理 c 2= a 2 + b 2— 2abcos C 得 a 2 + b 2 — ab = 4. 又???△ ABC 的面积为 .3, 二 fabsin C = . 3, ab = 4. a 2 + b 2— ab = 4, 联立方程组 ab = 4, 解得 a = 2, b = 2. (2)由 sin C + sin(B — A) = sin 2A , 得 sin(A + B) + sin(B — A)= 2sin Acos A , 即 2sin Bcos A = 2sin Acos A , ? cos A (sin A — sin B) = 0, ? cos A = 0 或 sin A — sin B = 0, 当 cos A = 0 时，?/ 0 整理得： a 2 + c 2— b 2=— ac. a 2 + c 2— b 2 — ac 1 --cos B = = = 一 二 2ac 2ac 2' 2 ??? B 为三角形的内角，??? B = §n. _ 2 ⑵将 b = 13, a + c = 4, B =§n 代入 得 b 2= (a + c)2— 2ac — 2accos B , 1 ? ?13 = 16— 2ac 1 — ? ac = 3. 1 . 口 3」3 …ABC = ^acsin B = 4 . 2ac b 2= a 2+ c 2— 2accos B , 丄 5 a + c = 4, 10、解（1）由题设并由正弦定理，得 1 ac = 4， a = 1, 解得 1 c =4 c = 1. ⑵ 由余弦定理，b 2 = a 2 + c 2— 2accos B =(a + c)2 — 2ac — 2accos B *b 2 — *b 2cos B n 二A = 2, △ ABC 为直角三角形； 当sin A — sin B = 0时，得sin B = sin A ，由正弦定理得 a = b ，即△ ABC 为等腰三角形. ???△ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解: (l)v A 、B 、C 为三角形的内角， ? ABC 4 1 cosC (2COS 2 C 1) 7 .即 2COS 2 C 1 2cosC 0. 2 2 2 cosC 1 又??? 0 C , ? C ...7 分 2 3 2 sin A sin B sin A sin(—— A)角度变换 3 ? “ . 2 2 sin A sin cos A cos sin A 3 3 c A 2 5 0 A ' — A - 3 6 6 6 (n)由(I )得 sin A 2 当A 6 ^cosA 2 3sin (A 6) …10分 2，即 A 3时， sinA sinB 取得最大值为3 . 13分 2 A B 4sin - cos2C 三角形中角的大小关系