高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业

点评1

第1章函数

第2章极限与连续（一）单项选

择

题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．

A.

2

f(x)(x)，g(x)xB.

2

f(x)x，g(x)x

2

x1

C.

3

f(x)lnx，g(x)3lnxD.f(x)x1，g( x) x1

⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称．

A.坐标原点

B.x轴

C.y轴

D.yx

⒊下列函数中为奇函数是（B）．

2

A.yln(1x)

B.yxcosx

C.

xa x

a

yD.yln(1x) 2

⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．

A.yx1

B.yx

C.

2

yxD. y 1

1

,

,x

x

⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

2

x A.lim1

2

xx

2 B.limln(1x)0

x0

sinx C.lim0

x

x

1 D.limxsin0

x

x

⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．

A. s in

x

x

B.

1

x

C.

x 1

sinln(x2)D.

x

点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量

⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A.limf(x)f(x0)

xx

B.f(x)在点x0的某个邻域内有定义

C.limf(x)f(x0)

xx

0 D.limf(x)limf(x)

xxxx

00

二、填空题

2

x9

⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是．{xx3或x3}

x3

⒉已知函数f(x1)xx，则f(x)．xx

⒊

1

1

x

lim．2

(1)e

x2x

x

(1x),x0

⒋若函数f(x)

，在x0处连续，则k．e

xk,x0

⒌函数

x1,x0

y的间断点是．x0 sinx,x0

⒍若limf(x)A

，则当xx

0 x x时，f(x)A称为

．无穷小量0

三计算

题

⒈设函数

f(x)

x

e

x ,

, x

x

求：f(2),f(0),f(1)．解：f(2)2

f(0)0

f(1)

1

e e

点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。

⒉求函数y

2x1

lglg的定义域．

x

2x1

解：欲使函数有意义，必使lg0

x

，

2x1

即：1

x

亦即：2x1x

解得函数的定义域是：x1

点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化

范围

。

⒊在半径为

R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两

个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解：设梯形的高CM=x，则

DM

2x2 R

梯形的上底

22 DC2Rx，下底AB2R

则梯形的面积

s

(2 2x2Rx

R2)

2 ( 2x2RxxR R)(0)

⒋求

sin3x lim

x0sin2

x

．

解：原式= 3

2

lim

x0

lim

x0

s in3x

3x

sin2x

2x

3

2

1

1

3

2

点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。

⒌求

2 x lim

xsin(

1x

1 1) ．

lim(x1)

x12

x1

解：原式=lim2

sin(x1)sin(x1)x1

1

lim

x11

x

x1

点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。

⒍求 lim

x0

t an x

3x ． sin3x

sin3x1sin3x11

cos3x

解：lim3lim3limlim313

xcos3 0xx

xx3xx0

0xcos31

3x0

点评：同上。

⒎求

2 1x lim xsin 0x

1 ． 22

(1x1)(1x1)x1

解：原式=limlimlim010

sinxx02x02x0

(1x1)sinx1x1 x 点评：同上。

⒏求

x1 x

lim()． xx3

解：原式= lim

x

x

x 1 3 x3

x x 1 3 3 = lim

x

x33

x34x34 x3x3

=

lim x

1 x

4 3

x3

lim x

1 x

4

3

3 = lim1

xx 4 3

x 3 44 x3x3

=

4

4

lim =

1

xx3

4

4

lim =e 4

1 xx3

⒐求

2 x6x lim

2 x 4x5x

8 4

．

解：原式=

(x4)(x2)x

limlim

x4(x4)(x1)x

x4

2

1

2

3

⒑设函数

(x

2

2) , x 1

f(x)x,1x1

x1,x1

讨论f(x)的连续性，并写出其连续区

间

．

点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数f(x)在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。

解：先看函数在分段点x1处的情况，

∵lim()lim(1)110

fxxx1x1

lim f x1

(lim x)x

x1

1 ∴lim ()

lim()

fxfx x1x1

，故

lim f() x

x1

不存在。 ∴x1为函数f(x)的间断点。 再看函数在分段点x1处的情况，

∵lim ()

lim1

fxxx1x1

lim f xx

1)lim (

(

xx1 2

2)1

∴lim ()lim()

fxfx x1x1

，故

lim f(x)1。 x1

又因为

f(1)x1

x1

所以

lim ()

(1) fxfx1

故x1是函数f(x)的连续点。

函数f(x)在连续区间是：(,1)(1,)。

高等数学基础第二次作业 第3章导数与微分

（一）单项选择题 ⒈设f (0)0且极限 lim

x0 f (x) x 存在，则 lim x0 f

(x) x

（B ）． A.f(0)B.f(0) C.f(x)D.0

⒉设f (x)在x 0可导，则

f(x 2h)

lim

h2h 0

f (x 0 ) （D ）．

A.2f(x 0)

B.f(x 0)

C.2f(x 0)

D.f(x 0) x

f(x)e ，则

⒊设

lim x0

f (1 x )f x

(1) （A ）．

A.e

B.2e

1 C.e

2 1 D.e

4 ⒋设f (x)x(x1)(x2)(x99)，则f(0)（D ）． A.99B.99 C.99!D.99!

⒌下列结论中正确的是（C ）．

A.若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导．

B.若f(x)在点x0连续，则在点x0可导．

C.若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限．

D.若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续．（二）填空题

⒈设函数

2

1 xsin,x0

f(x)x ，则f (0)0．

0,x0

⒉设

x2xx f(e)e5e

d ，则

f (lnx)2 dx

l n x 5 x

⒊曲线f(x)x1在(1,2)处的切线斜率是

1 2

． π

⒋曲线f(x)sinx 在(,1)处的切线方程是y1．

2

2x2xx ．⒌设yx ，则y x2ln2

⒍设yxlnx ，则y

1 x

． （三）计算题

⒈求下列函数的导数y ：

⑴

x y(xx3)e

解：

313 3

xxxxx

exexee 222

y(xe3)3

2

31 3

x

=3)

22 ( exx

2

⑵ycotxx 2

lnx

2

cosxsinxsinxcosxcosxx

2

解：2ln)

y(xlnx)(xx

2

sinxsinxx 1 =2xlnxx

2 sinx2 x

⑶y

lnx 解： y

2x ln ln

xx

x(2ln 2

2ln x x x

1) x

cosx2 ⑷ y 3

x

解：y

(sinx

x

2 l n

3(cos2x)3

2)xxx

6

x

2 =

xsinxln2

x

2

x

x3cosx

4

3

x

2

2

lnxx

⑸y

sinx

1

(2x)sinxcosx(lnx

x

解：y2

sinx

2

(12x)sinxxcos(lnx

=

2

xsinx

4

⑹yxsinxlnx x

x

2

2

)

)

WORD 格式可编辑

sinx3

解：)

y4x(cosxlnx

x

⑺

y

3 =

4xcosxlnx

2

sinxx

x 3 s in x

x 解： y

(cosx2 xxxx x)33ln3(sin

2x 3

2 )

cosx2xln3(sin =x

3

⑻ye x

tanxlnx

x 2 x )

解： y(

x xe1 etanx)

2 cosxx

= x1

e(sinxcosx1)

2 cos xx

⒉求下列函数的导数y ：

x ⑴ye

x

1exx

解：

ye

2x2x

⑵ylncosx

sinx

解：x

ytan

cosx ⑶yxxx

1117

解：因为8

248

yxxxx

1 7

所以8

yx 82

⑷yx

sin 解：因为y 2sinxcosxsin2x

12

11

yxx 2

)(1 所以()

3

3

2x

⑸ y 2 sinx

WORD格式可编辑解：y c osxxxx222cos

222cos

2

⑹x

ycose

解：y sin e x e x

x e x

= xe

x

esin

ncos⑺yxnx

sin

nn

解：y(sinx)cosnxsinx(cosnx)

ncoscossin(sin)

1n

=nxxnxxnxn

sin

=sin(coscossinsin)

n

n1xxnxxnx

⑻ y si n 5

x usin 解：设y ux

5

yy u u=5xx

u

ln5cosln55sin

cos

xx

⑼ y cos x e

ucos 解：设y eux

u(sin)cos

sin

x

yy u u=exex

x

⒊在下列方程中，yy(x)是由方程确定的函数，求y ： 解：将方程两边对x 求导：

2y

ycos x y s inx=2ey

2

y

)sin 移项y xeyx

(cos2

ysinx

所以：

y

2y

cosx2e ⑵ycosylnx 解：将方程两边对x 求导：

y(cosy)lnxcos y (lnx)

ysinyylnx

c os y x 移项y

(1sinylnx)

c os x

y 所以：

y

x(1

c osy lnxsin y)

⑶

2xsiny 2 x y

解：

2'2

'2xyxy2xx

'

2simy2xcosyyy

22 yyy

y

' 2x

2si my

y 2xcosy 2 x 2 y

2xy 2 2xy

2y cos

2

simy

y 2 x ⑷yxlny 解：因为：

y1

y y

1

解得y

y

1

⑸

y

lnxey

2

解：将方程两边对x求导：

1 x

y2

ey

yy

整理得：y

x(2 1

y

y

e )

2x sin⑹yy

1e

解：将方程两边对x 求导：

2yy

x

sincos x

eye y y 整理得： y 2 x e y

siny x

e

cos y

⑺ yx3 eey

解：将方程两边对x 求导：

yx32 eyey

y 整理得： y e

y x

e 2 3y

⑻ x y52 y 解：将方程两边对x 求导：

y 5x ln52y

ln2 x ln52y

ln2 y 整理得：

x 5ln5

y

y

12ln2⒋求下列函数的微分d y ： ⑴ycotxcscx 解：因为

y

111cos ()

22sin 2

sinxsinxsinx x x

= 1 cos

2 x

sin x 1cosx

所以dx

dy

2 sinx

⑵ y

ln sin

x x

解：因为 y 1 x sin x cosxln 2

sinx

x

= s inx x x cosx 2

sinx

l n x 所以dy= s inx xcosx 2

xsinx

l n

x dx 2

⑶sinx

y

解：设y u 2

,usinx

则yy u u x

=2ucosx2sinxcosx =sin2x

所以dy=sin2xdx

⑷

x

ytane 解：设: y tanu,u x

e

则y

y u u x

= 1 2

cos u

x e

=

x e 2

cos

x

e

x

e

所以dy=x

2

cose

d x

⒌求下列函数的二阶导数：⑴yx

1

解：y

2

x

y

11

()x

4

2x

3

2

⑵

x

y3

x

解：3ln3

y y

x

(3 ln 3) 3

x

ln 3 ln 3

=⑶ylnx 解：y

1

x

1

y()

x ⑷yxsinx 1 2 x

解：ysinxxcosx

y(sin x cos x)cos x c os x s in x

2c os x sin x

（四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数．

证明：因为f(x)是奇函数，所以

又因为f(x)可导，函数f(x)为复合函数。

对f(x)f(x)两端对

x求导，得：

f(x)(x)f(x)

即f(x)f(x)

所以：f(x)f(x)

根据偶函数的定义，f(x)是偶函数。

高等数学基础第三次作业

第4章导数的应

用（一）单项选

择

题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在

(a,b)，使得f

f(b)f(a) ()．

ba

A.在(a,b)内连续

B.在(a,b)内可导

C.在(a,b)内连续且可导’

D.在[a,b]内连续，在(a,b)内可导

2x

⒉函数f(x)x41的单调增加区间是（D）．

A.(,2)

B.(1,1)

C.(2,)

D.(2,)

2x

⒊函数yx45在区间(6,6)内满足（A）．

A.先单调下降再单调上升

B.单调下降

C.先单调上升再单调下降

D.单调上升

⒋函数f(x)满足f(x)0的点，一定是f(x)的（C）．

A.间断点

B.极值点

C.驻点

D.拐点

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，(,)

x0ab，若f(x)满足（C），则

f(x)

在x取到极小值．

A.f(x0)0,f(x0)0

B.f(x0)0,f(x0)0

C.f(x0)0,f(x0)0

D.f(x0)0,f(x0)0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f(x)0,f(x)0，则f(x)在此区间内是（A）．

A.单调减少且是凸的

B.单调减少且是凹

的

C.单调增加且是凸的

D.单调增加且是凹

的

3()2

⒎设函数f(x)axaxaxa在点x1处取得极大值2，则a（1）．

A.1

B. 1 3

C.0D. 1 3

（二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0(a,b)，且当xx0时

f(x)0，当xx0时f(x)0，则x0是f(x)的极小值点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f(x0)0．

2

⒊函数yln(1x)的单调减少区间是,0．

⒋函数

2

x

f(x)e的单调增加区间是0,．

⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f(x)0，则

f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)．

⒍函数

3

f(x)25x3x的拐点是(0,2)．

3bx2

⒎若点(1,0)是函数f(x)ax2的拐点，则a1，b3 （三）计算题

3 ⒈求函数2

2

极值．y(x1)(x5)的单调区间和