专题02+大题好拿分【基础版】(20题)备考高二数学(理)黄金30题

1．（1）求函数()3

2

31f x x x =-+的极小值；

（2）求函数()2

2ln g x x x =-的单调减区间．

答案（1）3-；（2）()0,1

（2）函数()g x 的定义域为()0,+∞，

()2'2g x x x

=-

， 令()'0g x <，即： 2

20x x

-

<，解得： 01x << 所以函数()g x 的单调递减区间为()0,1．

点睛：求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增那么()f x 在0x 处取极小值． （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值．

2．复数()()

22563m m m m i -++-， m R ∈， i 为虚数单位． (I)实数m 为何值时该复数是实数； (Ⅱ)实数m 为何值时该复数是纯虚数．

答案（Ⅰ）0m =或3m =时为实数；（Ⅱ） 2m =时为纯虚数．

解析试题分析：（Ⅰ）当2

30m m -=，为实数；

(Ⅱ)当22

560

{ 30

m m m m -+=-≠，可得复数为纯虚数． 试题解析：

（Ⅰ）当230m m -=，即0m =或3m =时为实数．

（Ⅱ）当22

560

{ 30

m m m m -+=-≠，即2,3{ 0,3m m m m ==≠≠，则2m =时为纯虚数． 3．已知复数121i,46i z z =-=+． ⑴求

2

1

z z ；

⑵若复数1i z b =+ ()R b ∈满足1z z +为实数，求z ． 答案⑴15i -+⑵2z =

解析试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到1z z +，再利用复数的概念确定b 值，再利用模长公式进行求解．

4．已知函数()3

2

392f x x x x =-++-，求：

（1）函数()y f x =的图象在点()()

0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间．

答案（1）920x y --=；（2）()(),1,3,-∞-+∞

解析试题分析：（1）求导得()2

369f x x x '=-++，故()09f '=，又()02f =-，根据点斜式方程可得

切线方程；（2）令()0f x '<，解不等式可得函数的单调递减区间。 试题解析：（1）∵()3

2

392f x x x x =-++-

∴()2

369f x x x '=-++，∴()09f '=，

又()02f =-，∴函数()y f x =的图象在点()()

0,0f 处的切线方程为()29y x --=， 即920x y --=。

（2）由（1）得()()

()()22369323331f x x x x x x x =-++=---=--+'， 令()0f x '<，解得1x <-或3x >。

∴函数()y f x =的单调递减区间为()(),1,3,-∞-+∞。 点睛：

（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．

（2）求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 5．若()3

2133

f x x x x =

+-，x R ∈，求： （1）()f x 的单调增区间；

（2）()f x 在[]

0,2上的最小值和最大值。 答案（1）()()3,1-∞-+∞，，；（2）()max 2,3f x = ()min 5

3

f x =- 解析试题分析：（1） 求导()/

223f

x x x =+-，令()0f x '>，即可得到()f x 的单调增区间；

（2）令()0f x '=，求得3x =-（舍）或1x =，比较()1f ， ()()2?0f f ，，的大小，即可得到()f x 在[]

0,2上的最小值和最大值． 试题解析： （1()/

223f

x x x =+- ()0f x '>解得31x x -或， ()f x 的增区间为

()()3,1-∞-+∞，

，；

（2()2

230f x x x =+-=' 3x =-（舍）或1x =， ()15

113-33

f

=

+-=， ()00f =， ()32122223233f =?+-?=， ()max 2,3f x = ()min 5

3

f x =-

6．证明不等式： 32a a +-+＜1a a +-，其中a≥0． 答案用分析法证明。

7．()()

1234111

1

,,,,

,

,,,,,1447710

3231n S S S S S n n ???-+已知数列

计算根据计算结果，猜想的

表达式，并用数学归纳法进行证明。 答案见解析

解析试题分析：由题意得S 1=a 1，由S 2=a 1a 2求得S 2，同理求得 S 3，S 4．猜想31

n n

S n =+，，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设31

k k

S k =+， 则当n=k1时，由条件可得当n=k1时，也成立，从而猜想仍然成立． 试题解析：

123411112;1444477

213314;

771010

10101313

S S S S =

==

+=??=+==+=

??

猜想31

n n

S n =

+ 下面用数学归纳法证明这个猜想 （1）11111,=4313114

n n S n ===

==+?+当时，左边右边

猜想成立

（2）假设当()*n k k N =∈时猜想成立，即

()1111++++,1447710

323131

k

k k k =???-++（） 那么

()()()111

11

++++1447710

3231312311k k k k +

???-+????+-++????

（） ()()()()()()()()

23111341

31313431343134k k k k k k k k k k k k ++++=+==

+++++++ ()1311k k +=++ 所以，当1.n k =+时猜想也成立

根据（1）与（2可知猜想对任何*n N ∈都成立． 8．已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）若

对

恒成立，求实数的取值范围． 答案（1）单调增区间 单调减区间 （2）

解析试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对

恒成立，即

对

恒成立，所以问题转化

为求

成立即可，即求函数在区间

上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在

上的最小值，于是可以求出的取值范围。 试题解析：（1）令，解得

或

，

令，解得：

． 故函数

的单调增区间为

，单调减区间为

．

（2）由（1）知在

上单调递增，在

上单调递减，在

上单调递增，

又，

，

，

∴， ∵对恒成立， ∴

，即

，∴

9．设32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ (Ⅰ)f x ()的图象关于原点对称，当1

2

x =

时，f x ()的极小值为1-，求()f x 的解析式。 (Ⅱ)若1===d b a ，()f x 是R 上的单调函数，求c 的取值范围 答案(Ⅰ) 3

()43f x x x =-；(Ⅱ) 13

c ≥． 解析

试题分析：(Ⅰ)由题意知，函数f x ()是奇函数，利用奇函数的定义可求出0,0b d ==，由函数()f x 在

12x =

处取得极小值为1-，可得1()02f '=，1

()12

f =-，进而求出在,a c ，一般地，多项式函数为奇函数，则偶次项系数为0，连续可导的函数在某点处取得极值，则该点处导数为0，但连续可导的函数在某点处导数为0，则该处不一定取得极值，所以用以上方法求出函数解析式后，还需进行验证；(Ⅱ)函数在某区间上是单调函数，则导函数在该区间上导数大于等于0恒成立，所以问题又转化为不等式恒成立问题，本题导函数是二次函数，其恒成立问题可用判别式判断，也可分离参数转化为最值问题．

(Ⅱ)当1===d b a 时，32()1f x x x cx =+++，2

()32f x x x c '=++， 因为()f x 是R 上的单调函数，所以2

()320f x x x c '=++≥恒成立，

即2

320x x c ++≥恒成立

即4120c ?=-≤成立，所以1

3

c ≥

10．预计某地区明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量)(x f （万件）近似满足：

∈-+=x x x x x f )(235)(1()(N *，且12≤x ）

（1）写出明年第x 个月的需求量()g x （万件）与月份x 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过

192万件；

（2）如果将该商品每月都投放到该地区p 万件（不包含积压商品要保证每月都满足供应，p 应至少为多少万件？（积压商品转入下月继续销售） 答案（I ）5,6,7（II ）171． 解析

试题分析：（I ）利用()f x 导出()g x 的解析式，再解不等式()192g x > ． （II ）关键列出关系式

()

f x p x

≥

对于*∈x N ，12≤x 恒成立，即1,2,3x =， ?，12，都成立． 试题解析：（I ）66)1()1(,1===f g x 时（万件） 当2,()()(1)时≥=--x g x f x f x

x x x x x x x x 726)237()1()235)(1(2+-=----+=

2()6(12)(∴=--g x x x *∈x N 且)12≤x ．

由()192g x >即2

6(12)192x x -->

化简得032122<+-x x ，解得84<

答：第5,6,7月份的需求量超过192 万件．

（II ）保证每月都满足供应，则()f x p x

≥

对于*

∈x N ，12≤x 恒成立 ()

()()2135223335f x x x x x x

=+-=-++