关于容斥原理A+2B+3T公式的理解与运用

【天字专题】关于容斥原理Ａ+2B+3T公式的理解与运用

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容斥原理类型的题目的难点就在于在运算的时候，计数的重复，遗漏问题。容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结既无重复也无遗漏。

这种类型是目前国家、各地区公务员考试的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。因此大家需要认真去对待掌握。特别是对于基础的图形模型要了然于胸。

容斥原理类型我们一般通过两种方法去解决，公式法和韦恩图解法。图解法是通过画图来求解，相信大家都能做到，这里介绍的一下公式法。

核心公式：

（1）两个集合的容斥关系公式：

A＋B=A∪B＋A∩B

（2）三个集合的容斥关系公式：

A＋B＋C=A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

另外还将下面另外一种方程式的公式，首先请参考下图，通过一个例题来理解。

【例题】假设有100人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人？

（1） A+B+T=总人数（无重叠）

（2） A＋2B＋3T＝至少参加其中一个兴趣小组的人数（含重叠部分）

（3） B＋3T＝至少参加两个兴趣小组的人数（含重叠）

这里介绍一下A、B、T分别是什么

A＝x＋y＋z；表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。

B＝a＋b＋c；表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和（不含中间的T区域）

T＝全部都参加的人数。也就是图形当中最中间的部分T。

例题通过公式有如下解法：

（1） A＋B＋T＝100；

（2） A＋2B＋3T＝55＋65＋70＝190

（3） B＋3T＝31＋40＋25＝96

实际上我们要求的是T，（1）＋（3）－（2）＝T。即得到答案T＝100＋96－190＝6

【09国家】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、3 6，那么阴影部分的面积是：

A．15 B．16 C．14 D．18

【解答】答案为B。这就是典型的容斥原理图形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域。根据公式

（1） A＋B＋T＝290

（2） A＋2B＋3T＝64＋180＋160＝404

（3） B＋3T＝24＋70＋36＝130

（1）＋（3）－（2）＝T＝290＋130－404＝16 故答案是16

【09江苏】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是

A．69人B．65人C．57人D．46人

【解答】答案为D。根据公式，此题要求的实际上是B，剔除没有看电影的人数，也就是说没有参与这个集合的人数20人，实际参与这个集合的人数是125－20＝105人

（1） A＋B＋T＝105

（2） A＋2B＋3T＝89＋47＋63＝199

（3） T＝24

B＝（2）－（1）－2T＝199－105－48＝46

【例题】甲、乙、丙三个人共解出20道数学题，每人都解出了其中的12道题，每道题都有人解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题，三人解出的题叫做容易题，则难题比容易题多（）题?

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】答案为C。稍微整理一下题目，难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分，也就是公式当中的A所表示的；中等题目是只重叠过1次，也就是公式当中的B，简单题则是公式当中的T。

（1） A＋B＋T＝20

（2） A＋2B＋3T＝12×3＝36

要求解的是A－T＝？；通过上述两个表达式变型可得到：

（1）×2－（2）＝A－T＝20×2－36＝4 故此题选C。