《等差数列求和公式》详细教案

等差数列求和公式

深圳市电子技术学校：黄静

课前系统部分：

大纲分析：

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

教材分析：

数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。

学生分析：

数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要

教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。过程与方法目标：

培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。情感、态度与价值观目标：

体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

教学重点与难点：

等差数列前n项和公式是重点。

获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学策略：

用游戏的方法调动学生的积极性

教学用具：

flash，ppt

课堂系统部分：

整节课分为三个阶段：

问题呈现阶段

探究发现阶段

公式应用阶段

问题呈现1：

有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已

知，真金币的重量是2两/个,而假币的重量是1两/

个。

问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一

袋金币是假的？

动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出

的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么

电子秤显示的数据应该是： 而实际显示的的数字是：102（两）

可见比全是真币时少了8两

又因为，每个假币比真币轻1两

所以，可知在电子秤上有8个假币

那么，第8袋全是假币。

设计说明：

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。

动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式

承上启下，探讨高斯算法.

问题呈现2：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国

皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大

理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七

大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝

石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，

128910?

+++++=L 问题1：S 12910=++++L S 10921=++++L 2S 11111111

=++++L 2S 1110110=?=110S 552

==552110()

?=两

可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,

,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让

,将两个三角形拼成平行四边形.

设计说明：

? 源于历史，富有人文气息.

? 图中算数，激发学习兴趣.

这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础.

探究发现：

问题3： 由前面的例子，不难用逆序相加法推出

设计说明：

在前面两个问题的基础上，问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导，鼓励学生利用“逆序相加”的数学方法推导公式。

探究发现：

)(1m a ，下底长为)(m a n ，高为

)(m n ，求这个梯形的面积为多少平方米？

面积公式：

设计说明：

利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。 21(121)212s +?={}?

n n a n 如何求等差数列的前项和S 1231211()2n n n n n n n n s a a a a s a a a a n a a s --=++++=+++++∴=Q L L ()

12n n a a S +=

探究发现：

问题4

根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式,推出等差数列公式2

公式应用

? 根据题目选用公式

? 利用通项求中间量

? 依据条件变用公式

例题1：

2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？

本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

例题2：

2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？

本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。

事实上，根据提供的条件再与公式对比，

便不难知道应选公式。

例题3：

甲从A 地出发骑车去B 地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前{},,?n n a a n 1已知首相相数n 公差d

如何求等差数列的前项和S ()11a a n d

=+-n 复习回顾:等差数列通项公式:1()2n n n a a S +=公式1()()()11111[1]()22

212122n n n a a n d n a a S n a n d na n n d ++-+==??+-+-??==1(1)22n n n S na d -=+公式

一分钟多骑5米，当他到达B 地时的那一分钟内骑了500米，问A 地和B 地之间的距离？

本例题欲求AB 间的距离，实质求甲共骑了多少米。已知首项400，公差为5和末项为500，可求出项数为21，然后引导学生使用公式1。

本题需要用到通项公式求项数，作为中间的桥梁。

例题4：

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54 ？

本例题已知公差为4，首相为－10，前n 项和为54，欲求项数n ，于是变用公式2。

又因为项数不能为负数，所以－3舍去，一共有9项

练习：

游戏规则：将全班同学分为4组，显示出飞行

棋的棋盘画面，每一组用一种颜色的飞机代表，

四驾飞机停在起点，右下角有一个点击的标志，

持续点击控制骰子的点数。

让学生根据练习题抢答，抢到的同学回答，如

果答案正确，那么丢骰子的点数便是飞机前行

的方格数，相反，答案错误者，丢骰子的点数

便是飞机后退的方格数。

练习1：

一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，放了120层，这个V 形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，自下而上各层的铅笔成等差数列，且首相为1，项数为120，公差为1，选用公式1可得结果。

答：V 形架上共放着7260支铅笔

练习2：

工地上放了一堆钢管，已知最下一层为20个，最上面一层为2个，且放了5层 ，问这一堆钢管的个数？

解：钢管由上至下为等差数列，已知首相为2，末项为20，项数为5，选

用公式1可得结果

答：工地上的钢管一共有55个

练习3：

舞蹈队对舞蹈员进行排队，已知第一个身高为 1.58m,后面每个舞蹈员比前面一个舞蹈员高0.2m ，且最后一个舞蹈员为1.72m ，问这些舞蹈员的总身高为多少？

解：舞蹈员由前至后成等差数列，已知首相为1.58，末项为1.72，公差为

0.2，可利用通项公式求出项数为8，选用公式1可得结果

(1)45410392

n n n n n -+=-＝－解得：或＝

答：这些舞蹈员的总身高为13.2m

练习4：

等差数列{an }的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为n a ，前n 项和为n S ，请填写下表：

课堂小结：

回顾从特殊到一般的研究方法；

体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想； 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

课后系统部分：

作业布置：

必做题：课本142页，练习A １、２；

选做题：课本142页，练习B,1

必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根据我校的特点，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的。