(完整版)侯风波版《高等数学》练习答案
第一章 函数
习题 函数
一、填空题：略.
二、略.
三、图略.
四、图略；0，2，6-.
五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同一个函数.
六、3)2(log t y a +=.
七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -===
=x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；
4. 12,ln ,cos ,2
2+-====x x w w v v u u y .
第二章 极限与连续
习题一 极限的概念
一、判断题：略.
二、图略；)(lim 0
x f x →=0. 三、(1))(x f 无定义,2)1(=g ,3)1(=h ；
(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1
=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0
=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1
x f x →不存在； （2）=-
→)(lim 23x f x 49)(lim 23
=
+→x f x ；49)(lim 2
3=→x f x ； （3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2
=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.
习题二 极限的四则运算
一、求下列极限
1. 30；
2. 17；
3. 40；
4.
4
1． 二、x x ++210；1．
三、求下列极限
1. 12-；
2. 0；
3. 4；
4.
6
1． 四、求下列极限 1.
32； 2. 3
2． 五、1．
六、1-．
习题三 两个重要极限
一、求下列极限
1. 1；
2. 16；
3.
241；4. 1；5. 1；6. 8． 二、求下列极限
1. 3e ；
2. 2e -；
3. 9e ；
4.
2e
1．
习题四 无穷小与无穷大
一、1. ∞→x ； 2. -→0x ．
二、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．
三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．
四、求下列极限
1. 0；
2. 0．
五、2
34sin x x 是比高阶的无穷小．
六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．
习题五 函数的连续与间断
一、选择题：略.
二、2=a .
三、1. 可去间断点是1=x ；
2. 7-=x 为函数的第二类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.
四、求下列极限
1. 0；
2. 21；
3. 2
1； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.
第三章 导数与微分
习题一 导数的定义
一、1. 2)1(='f ；2. 4
3)2(-
='f . 二、a y ='.
三、0)0(='f .
四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.
五、在（1，1）点处切线平行于直线.
习题二 导数的四则运算
一、填空题：略．
二、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +
='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223
351--+-='x x
y ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x x
y ++++='； 5. 2211
sec 3x x y --='；6. 22
1arctan 2x x x x y ++='． 三、① 定义域R 即为函数的连续区间；
② x x x x x y cos sin 5
2d d 52
53+=-； ③ 由定义，0)0(='f ； ④ x x x x x f cos sin 5
2)(52
53+='-．
习题三 复合函数求导
一、填空题：略.
二、求下列函数的导数
1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +?='；
2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin x
x x x y x ?+-='； 3. 101
99
)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e
1cos x x x y x x +='； 5. x x x y 3cos 3sin 31-+=
'； 6. )ln(ln ln 21
x x x y ='.
三、)(2sin )(?+=wt w t v ；)(2cos 2)(2?+=wt w t a .
四、)]()e (e )e ([e
)(x f f f y x x x x f '+'='.
习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数
一、是非题：略．
二、求下列方程所确定的隐函数)(x f y =的导数
1. ()x x y y x x -+-='e sin e 1；
2. x
y y y x y
x --='++e e ． 三、用对数求导法求下列函数的导数 1.4
1='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x
y x ． 四、切线方程为0=y ．
五、求下列函数的二阶导数
1. )49(105
3+=''x x y ；
2. x x y x cos 2e 122
2--=''； 3. 8)21(360x y -=''；
4. =''y x 2sin 4006-．
习题五 微分
一、填空题：略.
二、求下列函数的微分
1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；
2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；
3. x x
x y d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e
1e 3d 261
3+++=. 三、求方程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y x d cos 2e d 2--=； 2. x y
a x
b y d d 22-=. 四、利用微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.
五、球的体积扩大约为3πcm 1800.
第四章 微分学的应用
习题一 洛必达法则
一、是非题：略.
二、求下列各式的极限
1. 0；
2. 1；
3. 1；
4. 0.
三、求下列各式的极限
1. 0；
2. 0.
四、求下列极限
1. 0；
2. 1；
3. 1；
4.21
e -；5. 3；6. 0.
习题二 函数的单调性
一、单项选择题：略．
二、求下列函数的单调区间
1. 单增区间),2()0,(+∞-∞Y ，单减区间)2,0(；
2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；
3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；
4. 单增区间),0()1,(+∞--∞Y ，单减区间)0,1(-．
三、提示：利用函数单调性证明． 四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)2
1,(-∞.
习题三 函数的极值
一、单项选择题：略．
二、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极小值； 4. 3)1(=f ．
三、最大值为10)1(=-f ，最小值为22)3(-=f ．
四、极大值为0)0(=f ，极小值为41)2
2()22
(-==-f f ． 五、当直径r 2与高h 之比为11∶时，所用的材料最少．
习题四 曲线的凹凸性与拐点
一、填空题：略． 二、曲线在)332,(--∞及),332(+∞内上凹,在)332,332(-内下凹，拐点为)910,332(--和)9
10,332(-．
三、函数在)2,0(上的极大值为
27
23
)
3
1
(-
=
f，极小值为1
)1(-
=
f；最大值为1
)2(=
f，最小值为1
)1(-
=
f；拐点为)
27
25
3
2
(-，.
四、示意图:
第五章不定积分
习题一不定积分的概念与基本公式
一、填空题：略.
二、选择题：略.
三、计算下列不定积分
1. C
x+
3
13
13
3
；
2. C
x
x
x
+
-
5
3
ln
5
3
3；
3. C
x
x
x
+
+
-
-ln
2
sin
3
1
；
4. C
x
x
x+
+
+
-π
arcsin
2
cos.
四、求解下列各题
1. C
x
x
f x+
=
'
?2e2
d)
(；
2. x
x
f x2
sec
e
)
(+
=；
3.所求函数为2
3
3+
-
=x
x
y.
习题二不定积分的换元积分法
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、多步填空题：略．
四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2.
C x +2arcsin 21； 3.
C x x +++24arctan )1ln(41； 4.
C x x ++3tan 31tan ； 5.
()()C x x ++-+1213223； 6.
C x
x +--3arccos 392．
习题三 分部积分法 简单有理函数的积分
一、填空题：略.
二、多步填空题：略.
三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4
ln )2(2
2； 3. C x x x ++-e )22(2； 4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3
)2(ln 2
. 四、?''x f x x d )e (e 2C f f x
x x +-'=)e ()e (e ．
第六章 定积分
习题一 定积分的概念 微积分基本公式
一、选择题：略.
二、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 6
1. 三、解答下列各题
1. x x x f 2sin )(4
?='； 2. 2
3d )(lim 200=?→x t t f x x ； 3.
6
7d )(21=?-x x f .
习题二 定积分的换元积分法与分部积分法
一、 填空题：略.
二、 求下列定积分 1. )e 2(2-； 2. 32π2； 3. )1e (4
12+； 4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π
； 8. 3
212ln -+.
习题三 定积分的应用 一、3
2=
S . 二、h r V 23π=. 三、（1）2=S ；（2）2
π2
=V . 四、两部分面积比为 )34π2(+:)3
4π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4
π4
r W ?=ρ.
六、g P ρ18=.
习题四 反常积分
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、计算下列广义积分 1.
21； 2. 2
π． 四、?∞+∞-+x x x d 12发散．
第七章 常微分方程
习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、判断正误：略.
二、填空题：略.
三、多步填空题：略.
四、求解下列各题 1.C x
y +=-3112（其中1C C -=为任意常数）； 2. 冷却规律为kt t T -+=e
3020)(.
习题二 一阶线性微分方程
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、通解为2
e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．
习题三 二阶常系数齐次线性微分方程
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、求下列微分方程的通解
1. =y x x C C -+e e 261；
2. =y x x C C 521e )(+；
3. =y )2
3sin 23cos (e 2121x C x C x +； 4. =y x C 25e -．
四、1e 2)(-==x y x f ．
习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程
一、填空题：略．
二、多步填空题：略． 三、x x x y e )9
834(e 3613454+-++-=． 四、求下列微分方程满足初始条件的特解 （1）x x x y 22e
)(-+=；
（2）x y sin =．
第八章 空间解析几何
习题一 空间直角坐标系与向量的概念
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、求解下列问题 1. k j i 3223-+-=-；
2. ()14=AB d ；
3. ??????939393,, 和
??????---93939
3,,； 4. ),,(002-C ．
习题二 向量的点积与叉积
一、是非题：略．
二、填空题：略．
三、选择题：略．
三、求解下列各题 1. ??????-±837833835
,
,； 2. {
}4,6,12-±=b ； 3. 213S ABC =?．
习题三 平面和直线
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、求解下列问题
1. 534=++z y x ；
2. 2=-y z ；
3. 2
11211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．
习题四 曲面与空间曲线
一、填空题：略．
二、选择题：略．
三、求解下列问题
1. 方程为x z y 42
2=+，是旋转抛物面； 2. 投影方程为?
??==+;0,52x z y 3. 投影方程为?
??==++．0,0422y z x
第九章 多元函数微分学
习题一 多元函数及其极限
一、填空题：略． 二、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图 三、4
14
2lim 00-=+-→→xy xy y x ． 四、表面积rh π2r πS 2?+?=，体积h r πV 2?=．
五、)0,0(),(f y x f -??=22)()()
)((y x y x ?+???．
习题二 偏导数及高阶偏导数
一、是非题：略．
二、填空题：略．
三、解下列各题 1. x x z 4=??，29y y z
=??； 2. 34xy x z =??，226y x y z
=??； 3. y x x z ln 2+=??，y x
y x y z
=+=??10，
222=??x z ，222y x y z -=??，y x y z 1
2=???； 4. z y x f arctan =??，z x y f arctan =??，21z xy
z f +=??
．
四、略．
习题三 全微分
一、填空题：略．
二、解答下列各题
1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；
2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；
3. 119.0-=?z ；
4. 12
5.0d -=z ．
三、01.003.0cos 01.0sin ≈．
四、对角线变化约为m 045.0．
五、所需水泥的近似值为3
m 4.9．
习题四 复合函数的偏导数
一、填空题：略．
二、多步填空题：略．
三、解下列各题 1.
1d d -=t z ； 2. y z x z =??，2
)(y y x z y z +-=??； 3.
)cos sin 2(cos 2x x x y xy x
z +=??，)2sin (cos sin 22y y y x x y z -=??．
习题五 偏导数的几何应用
一、填空题：略．
二、求解下列各题
1. 切线方程为 312111-=-=-z y x 和27
272913-=-=-z y x ； 2. 切平面方程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；
3. 切线方程为 1
191161--=-=-z y x ， 法平面方程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．
习题六 多元函数的极值
一、判断题：略．
二、选择题：略．
三、计算下列各题
1. 函数在)1,2(点取得极小值24-；
2. 当端面半径与半圆柱高满足2:1:=h r 时，所用材料最省．
第十章 多元函数积分学
习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算
一、判断题：略．
二、填空题：略．
三、计算下列各题
1. 0=I ；
2. ①?
?==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==??y x y y I ； 3. 2
1d e d 1
002==
??y y x x y I ．
习题二 极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用
一、填空题：略．
二、多步填空题
提示：y x D y x d d e )(22??+-θr D r d rd e 2??-=??π-=2010
d e d 2r r θr ?
?π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=?π)e 11(π-=． 三、求解下列各题 1. π2
2d d )cos(22=+??y x y x D ；（提示：化为极坐标下的二重积分）； 2. π32=V ；
3. 薄片的质量为
12
1． 第十一章 级数
习题一 数项级数
一、判断题：略．
二、选择题：略．
三、判断下列级数的敛散性
1. ∑∞=-1)
1(n n 发散； 2. ΛΛ+++++n
21614121发散； 3. ∑∞=+1
)1(1n n x 当0>x 或2- 21n n n 收敛； 5. ∑∞=--1 12) 1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+1 3)1(2n n n 收敛． 习题二 幂级数 一、填空题：略． 二、求解下列各题 1. 级数∑∞ =+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞ =++012122n n n x n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞ =-02)1(n n n n x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数 ∑∞=-011n n nx 的和函数为2) 1(1)(x x S +=； 5. 级数ΛΛ+-+++-1 23123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=． 习题三 函数的幂级数展开 一、填空题：略. 二、求解下列各题 1. 展开为 ΛΛ++-+-+-+=++)1()2()1(3 )2(2)2(22ln )2ln(13 2n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为ΛΛ+-++?-?=+)! 2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 214 22n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ； 3. x 2=ΛΛ++++++n x n x x x x n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ； 4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++00 2)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-. 高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 第一章 函数 习题 函数 一、填空题：略. 二、略. 三、图略. 四、图略；0，2，6-. 五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同一个函数. 六、3)2(log t y a +=. 七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -=== =x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ； 4. 12,ln ,cos ,2 2+-====x x w w v v u u y . 第二章 极限与连续 习题一 极限的概念 一、判断题：略. 二、图略；)(lim 0 x f x →=0. 三、(1))(x f 无定义,2)1(=g ,3)1(=h ； (2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1 =→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0 =+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1 x f x →不存在； （2）=- →)(lim 23x f x 49)(lim 23 = +→x f x ；49)(lim 2 3=→x f x ； （3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2 =+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在. 习题二 极限的四则运算 一、求下列极限 1. 30； 2. 17； 3. 40； 4. 41 ． 二、x x ++210；1． 三、求下列极限 1. 12-； 2. 0； 3. 4； 4. 61 ． 四、求下列极限 1. 32 ； 2. 32 ． 五、1． 六、1-． 习题三 两个重要极限 一、求下列极限 1. 1； 2. 16； 3. 241 ；4. 1；5. 1；6. 8． 二、求下列极限 1. 3e ； 2. 2e -； 3. 9e ； 4. 2e 1 ． 习题四 无穷小与无穷大 一、1. ∞→x ； 2. -→0x ． 二、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ． 三、1. 1-→x ； 2. 1→x ． 四、求下列极限 1. 0； 2. 0． 五、234sin x x 是比高阶的无穷小． 六、提示：由极限运算及等价无穷小定义． 习题五 函数的连续与间断 一、选择题：略. 二、2=a . 大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++Q 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学教案 教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C ); 第一章函数 习题函数 一、 填空题：略? 二、 略? 三、 图略? 四、 图略；0 , 2, 6. 五、 1.函数f(x)与g(x)不相同;2?函数f(x)与g(x)是同一个函数 六、 y iog a (2 t)3. 七、1. y log a u, u sin v,v 2w ,w x 1 ； 2. y arcsinu,u 一 v,v lgw,w x 1 ； 2 x . 3. y cos u, u v ,v e 1 ； 4. y 2 . 2 u ,u cosv, v ln w,w x 2x 1. 第二■ 章 极限与连续 习题一 极限的概念 、判断题：略. 、图略；lim f (x) =0. x 0 (1) f(x)无定义,g(1) 2,h(1) 3 ； 习题二极限的四则运算 、求下列极限 1 1.30； 2.17 ； 3.40 ； 4.— ? 4 、?10 x 2 x ； 1. 四、 五、 ⑵ lim f(x) 2 ； lim g(x) 2 ； lim h(x) 2 . x 1 左极限lim f(x) 0 ;右极限lim 0 f (x) 1 ;函数在x 0处的极限不存在. (1) lim x 1 f(x) 2 ； lim f(x) x 1 1 ； limf(x) 不存在; x 1 (2) lim 3 x - 2 f(x) 9 lim f (x) 3 x - 2 9 ；li 叫 f (x)-； x 3 4 2 (3) lim x 2 f(x) 4 ； lim x f(x) 8 ； lim f (x)不存在. x 2 四、求下列极限 2 1. - 3 五、1. 六、1. 习题三 两个重要极限 、求下列极限 1. 1 ; 2. 16 ； 3. 1 ；4. 1 ； 5. 1 ； 6. 8. 24 、求下列极限 3 2 c 9 1 1.e ； 2. e ; 3. e ； 4.—. e 习题四无穷小与无穷大 一、1. x ；2. x 0 . 二、1. x 1及x ；2. x . 三、1. x 1 ； 2. x 1 . 四、求下列极限 1.0 ; 2. 0 . 五、 sin 3 x 是比4x 2高阶的无穷小. 六、 提示：由极限运算及等价无穷小定义. 习题五函数的连续与间断 一、 选择题：略. 二、 a 2. 三、 1.可去间断点是x 1 ； 2. x 7为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断 点 四、 求下列极限 1 1 1. 0 ; 2. ； 3. ; 4. 4. 2 2 五、 1,4为函数的定义区间，即为函数的连续区间 . 、求下列极限 1. 12; 2. 0 ; 3. 4 ; 4.-. 6 2.2. 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>? 为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分 22 π π - ?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2 3x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2 ln(1).x x dx +? 4. （6分）求 3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=? ?所确定,求.dy 6. （6分）设 2 ()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π??=- ≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线32 32419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 31 22+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数( )2 1ln x y +=，则='y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1=在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 侯风波版《高等数学》练习答案 第一章函数 习题函数 一、填空题：略. 二、略. 三、图略. 四、图略；?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 五、1.函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?不相同；2.函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?是同一个函数. 六、?Skip Record If...?. 七、1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?. 第二章极限与连续 习题一极限的概念 一、判断题：略. 二、图略；?Skip Record If...?=0. 三、(1)?Skip Record If...?无定义,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?； (2)?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?. 四、左极限?Skip Record If...?；右极限?Skip Record If...?；函数在?Skip Record If...?处的极限不存在. 五、（1）?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?不存在； （2）?Skip Record If...??Skip Record If...?；?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?不存在. 习题二极限的四则运算 一、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?． 二、?Skip Record If...?；1． 三、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?． 四、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?． 五、?Skip Record If...?． 六、?Skip Record If...?． 习题三两个重要极限 一、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?； 5. ?Skip Record If...?； 6. ?Skip Record If...?． 二、求下列极限 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 《高等数学》课程说明 一、课程性质、任务 《高等数学》是高职院校相关专业的一门重要的基础课。通过教学，使学生掌握一元及多元微积分、常微分方程、级数等基础知识，学会用运动和变化的观点思考问题，拓展学生分析问题和处理问题的能力；初步学会应用数学思想和方法去分析、处理某些实际问题。 二、课程在专业中的地位和作用 《高等数学》是研究自然科学和工程技术的重要工具之一，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。本课程要使学生在学习初等数学的基础上进一步学习和掌握高等数学的基础知识和思维方式，为学生学习专业基础课和相关专业课程提供必需的数学基础知识和数学工具。 三、课程教学目标和基本教学要求 教学目标： 重视与高中（职高）知识的衔接及各专业知识的必需，以掌握概念，强化应用为重点，贯彻拓宽基础、强化能力、立足应用的原则。教学内容应由浅入深、由易到难，循序渐进，既兼顾数学本身的系统性，又要贯彻理论联系实际的原则，强调应用性和实用性。逐步培养学生具有初步抽象概括问题的能力、一定的逻辑推理能力、比较熟练的运算能力以及自学能力。 教学要求： 1、在重点讲清基本概念和基本方法的基础上，适度淡化基础理论的严密论证和推导，加强与实际联系较多的基础知识和基本方法教学。注重基本运算的训练，简化过分复杂的计算和变换； 2、结合数学建模突出“以应用为目的，以必需够用为度”的教学原则，加强对学生应用意识、兴趣、能力的培养；让学生学会利用常用的数学软件，完成必要的计算、分析或判断；教学过程中，逐步使用现代教学手段，尽量结合使用电子教案进行日常教学； 3、教学中以极限、导数、积分、微分方程及应用等知识为主线，着力培养学生利用数学原理和方法消化吸收概念和原理的能力。高等数学上册教案
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