湖南省师大附中高考数学数列的概念专题复习(专题训练)
一、数列的概念选择题
1．若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --
B ．(1)n n -
C ．1
(1)1
n n +-+
D ．(1)1
n n -+
2．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若11
02
a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+
D ．71089a a a a +>+
3．已知数列{}n a 满足11a =
),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
4．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2 C ．
11
1989
2 D ．
11
2019
2 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=，若
23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
6．
已知数列,21,
n -21是这个数列的（ ）
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第21项
7．数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是（ ） A ．
21n
n + B ．
23
n
n + C ．
23
n
n - D ．
21
n
n - 8
．
的一个通项公式是（ ）
A
．n a =
B
．n a =
C ．n a =D
．n a =9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．3-
10．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）
A ．()2
1n a n n =-- B ．2
1n a n =-
C ．()12
n n n a +=
D ．()
12
n n n a -=
11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3
D ．3
12．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
13．已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--，则6a =（ ）
A ．35
B ．11-
C ．35-
D ．11
14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174
B ．184
C ．188
D ．160
15．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，
12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24
B ．26
C ．28
D ．30
16．已知数列2
65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
18．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-??=-- ???
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．
10
1,3
B ．110,23??- ???
C ．(-1，1)
D ．1,12??
-
???
19．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，
21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，
n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除
后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ）
A ．1348
B ．1358
C ．1347
D ．1357
20．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()
*
21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）
A ．4-
B ．5-
C ．4
D ．5
二、多选题
21．已知数列{}n a 满足0n a >，
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A ．11a =
B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
22．若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
23．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
24．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4
n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n
= B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1
{
}n
S 为递增数列 25．(多选)在数列{}n a 中，若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．
(){}1n
- 是等方差数列
C ．{}2
n
是等方差数列.
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 26．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a >
B ．6S 最大
C ．130S >
D ．110S >
27．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
28．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）
A ．1d =-
B ．413a a =
C ．n S 的最大值为8S
D ．使得0n S >的最大整数15n =
29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
30．在数列{}n a 中，若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
31．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59S S =，则必有14S =0
B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项
C ．若67S S >，则必有78S S >
D ．若67S S >，则必有56S S >
32．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则280S S +=；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大
D ．若78S S <，则89S S <
33．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =
D ．15S 是最大值
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ，可得出()111111a +-=+，()212121a +-=+，()313131a +-=+，()41
4141a +-=+， 因此，该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=+. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
2．C
解析：C 【分析】
由递推公式1221n n n a a a ++=
+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ??
∈ ???
，利用递推公式推导得
出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.
【详解】
()()
113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ??∈ ???，25,24a ??∴∈ ???， ()()
12
1259245221545944221454544452121
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++?++，
且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()
2
1212
2121
n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=
++. 110,2a ??∈ ???
，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-
∈+， 如此继续可得知()(
)210,1n a n N *
-∈∈，则(
)2
21
21212141=
045
n n n n a a
a a -+---->+，
所以，数列{}()21n a n N *
-∈单调递增；
同理可知，()21n
a n N *
>∈，数列{}()2n
a n N *
∈单调递减.
对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.
3．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --??
= ???
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N
*
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
)
1
,2
n
a n N n
*
-
-=∈≥，将此等式变形得
2
1
1
n
n
a n
a n
-
-
??
= ?
??
，
由累乘法得
222
3
2
12
121
1211
1
23
n
n
n
a a
a n
a a
a a a n n
-
-
??????
=??=????=
? ? ?
??????
，
()
2
cos
3
n n
n
a b n N
π
*
=∈，2
2
cos
3
n
n
b n
π
∴=，
()()
222 32313
42
32cos231cos29cos2
33 k k k
b b b k k k k k k
π
ππππ--
????
∴++=--+--+
? ?
????5
9
2
k
=-，
因此，数列{}n b的前18项和为()
5
9123456692115174
2
?+++++-?=?-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313
k k k
b b b
--
++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．C
解析：C
【分析】
由观察可得()223333
1131357135
1,,,,,,,...,,,,...
2222222222
n n n
????????
? ??? ?
????????
项数为
2
1,1,2,4,8,...,2,...
k-，注意到1011
10242201922048
=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项.
【详解】
由数列()223333
1131357135
1,,,,,,,...,,,,...
2222222222
n n n
????????
? ??? ?
????????
，可发现其项数为
2
1,1,2,4,8,...,2,...
k-，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为
11
21
2
m-
，
所以第12个括号里的第995项是
11
1989
2
.
故选：C.
【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
5．A
【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n
S =，发现不存在这样的偶数能满
足此式，当n 为奇数时，可得21+34
2
n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++???++
(213)(233)[2(1)3]n =?++?++???+-+ 2[13(1)]32n n =?++???+-+?2+32
n n
=，
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ?+?====，
所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++???++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+?++?++???+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722S a a +?-=+=+，
25111513514
13752
S a a +?-=+=+，
又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.
6．B
解析：B 【分析】
根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】
令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.
7．D
【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21
n n
a n =-. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】
因为数列3，7，11，15?的一个通项公式为41n -，
，?的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=?+ 所以201932a a ==
【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】
首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
由题知：410a =，
对选项A ，()2
444113a =--=，故A 错误；
对选项B ，2
44115a =-=，故B 错误；
对选项C ，()
4441102a ?+==，C 正确； 对选项D ，()
444162
a ?-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.
11．C
解析：C 【分析】
根据题设条件，得到数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中
1234560a a a a a a +++++=，再由2020336644a a a ?+==，即可求解.
【详解】
由题意，数列{}n a 中，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-， 可得
3214325436547653,3,6,3,3,
a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，
可得数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=， 所以20203366443a a a ?+===-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
13．A
解析：A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--，所以626(1)(61)35a =--=.
故选：A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.
14．A
解析：A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查累加法，属于中档题.
15．B
解析：B 【分析】
先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=?++=， 故选：B.
16．A
解析：A 【分析】
首先将n a 化简为()2
34n a n =--，即可得到答案。 【详解】
因为()
()2
2
69434n a n n n =-+-=--
当3n =时，n a 取得最小值。 故选：A
17．C
解析：C 【分析】
利用443a S S =-计算． 【详解】
由已知22
443(44)(33)8a S S =-=+-+=．
故选：C ．
18．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n
n λ??-<+ ???
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出.
【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-????-->-- ? ?
????
恒成立，
即16212n
n λ??-<+ ???
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+?恒成立，
()212n n -+?单调递减，1n ∴=时，()212n n -+?取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+?恒成立，
()212n n +?单调递增，2n ∴=时，()212n n +?取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ??
-<+ ???
恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 19．C
解析：C 【分析】
由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又
202067331=?+，由此可得答案 【详解】
解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,???，
所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=?+，
所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347?+= 故选：C
20．B
解析：B 【分析】
根据已知递推条件(
)*
21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5
a
【详解】
由(
)*
21n n n a a a n N
++=-∈知：
3214a a a 4321a a a 5
43
5a a a
故选：B 【点睛】
本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题
二、多选题 21．BC 【分析】
根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，
当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则
解析：BC 【分析】
根据递推公式，得到11n n n
n n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；
根据求和公式，得到1
n n n
S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n
a n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则12
1
a a =
，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ? ???????，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：
由递推公式求通项公式的常用方法：
（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；
（2）累乘法，形如()1
n n
a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1
n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通
项时，常需要构造成等比数列求解；
（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?
=?求解.
22．ABC 【分析】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减
解析：ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+
a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+n 递减，且1
223n <+≤，
所以2a -≤，即2a ≥-，
当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n
≤-<， 所以3
2
a <
，
综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.
23．ABC 【分析】
利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环
解析：ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<
211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234
,,,5555
. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.
24．AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；
解析：AD
【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】
11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1
1104n n n S S S -≠∴
-= 因此数列1{
}n S 为以1
1
4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n
=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111
44(1)4(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=--- 所以1,141,24(1)
n n a n n n ?
=??
=??-≥-??，即B ，C 不正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
25．BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故
解析：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故
{}n
a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列(){
}
1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n
∴-是等方
差数列，故B 正确；
对于C ，数列{}2
n
中，()(
)
2
2
221
112
234n n n n n a
a ----=-=?不是常数，{}
2n
∴不是等方差
数列，故C 错误； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数
列，()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，
故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
26．ABD 【分析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误
解析：ABD 【分析】
转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，
因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137
131302
a a S a
+?==<，故C 错误； 所以()111116
111102
a a S a
+?=
=>，故D 正确.
故选：ABD.
27．ABD 【分析】
由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正
解析：ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.
28．BCD 【分析】
设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】
设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误； 所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当
解析：BCD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1
2
15d a =-??=?，再逐
项判断即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意，11
154111051122
15
a d a d a ???
+=+???=?，所以1215d a =-??=?，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2
211168642
n n n a n d n n n S -=+
=-+=--+，
所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()2
8640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.
29．ABD 【分析】
由，判断，再依次判断选项. 【详解】 因为，，
，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；
由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB
解析：ABD 【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】
因为5665600S S S S a ?>，677670S S S S a =?-==，
788780S S S S a >?-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；
()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.
30．BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，
则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数
解析：BCD 【分析】
上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连
【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)
第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .
(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，
最新高考数学数列题型专题汇总
1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题． 专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)， 2018届高三第二轮复习——数列 第1讲等差、等比考点 【高 考 感 悟】 从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 1．必记公式 (1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2. (3)等比数列通项公式：a n a 1q n － 1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝?????na 1 （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）. (5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝?????S 1（n ＝1） S n －S n －1 （n ≥2）. 2．重要性质 (1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n － m . (2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1 ＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒 (1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab . 【 真 题 体 验 】 1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19 2 C ．10 D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1 4 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1 8 3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________． 4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和. 【考 点 突 破 】 考点一、等差（比）的基本运算 1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9 2 . (1)求{a n }的通项公式； (2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 专题34 数列中的奇偶性问题 一、题型选讲 题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题 含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论。 例1、(2015扬州期末）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1 2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________． 答案：[2,3] 思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n －4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有??? ?－1 2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1 2n 1－??? ?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23????1－ ????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又 1S n －4n ≤p ≤3 S n －4n ,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的 是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23??? ?1＋ ????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2 3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∪????23，1＝???? 12，1内的所有值． 例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n } 的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *. (1) 求a 1,a 2的值； 第3讲 数列的综合问题 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式． 2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力． 热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 (2017·运城模拟)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2 n ＋3a n ＝6S n ＋4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n a n ，求数列{ b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 2 n ＋3a n ＝6S n ＋4，① 知a 2 n ＋1＋3a n ＋1＝6S n ＋1＋4，② 由②－①，得 a 2n ＋1－a 2 n ＋3a n ＋1－3a n ＝6S n ＋1－6S n ＝6a n ＋1， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0， ∴a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3. 又a 2 1＋3a 1＝6S 1＋4＝6a 1＋4， 即a 21－3a 1－4＝(a 1－4)(a 1＋1)＝0，∵a n >0，∴a 1＝4， ∴{a n }是以4为首项，以3为公差的等差数列， 高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型 一、选择题 1．如果等差数列{a n}中,a3＋a4＋a5＝12,那么a1＋a2＋…＋a7等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 答案 C 解析∵a3＋a4＋a5＝12,∴3a4＝12,a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a 5 )＋a4＝7a4＝28．故选C． 2．在等比数列{a n}中,a1＝1,公比|q|≠1．若a m＝a1a2a3a4a5,则m等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 答案 C 解析a m＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a23· a2 3 ·a3＝a53＝a51·q10．因为a1＝1,|q|≠1, 所以a m＝a51·q10＝a1q10,所以m＝11．故选C． 3．在递减等差数列{a n}中,若a1＋a5＝0,则S n取最大值时n等于( ) A．2 B．3 C．4 D．2或3 答案 D 解析∵a1＋a5＝2a3＝0,∴a3＝0． ∵d<0,∴{a n}的第一项和第二项为正值,从第四项开始为负值,故S n取最大值时n等于2或3．故选D． 4．在等差数列{a n}中,首项a1＝0,公差d≠0,若a k＝a10＋a11＋…＋a100,则k＝( ) A．496 B．469 C．4914 D．4915 答案 D 解析因为数列{a n}是等差数列,所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d,因为a k＝a10＋a11＋…＋ a 100,所以a k＝100a1＋ 100×99 2 d－9a 1 ＋ 9×8 2 d＝4914d,又a k ＝(k－1)d,所以(k－1)d＝4914d,所 以k＝4915．故选D． 5．已知数列{a n}的通项为a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”,则在(0,2018]内的所有“优数”的和为( ) A．1024 B．2012 C．2026 D．2036 答案 C 高考复习序列----- 高中数学数列 一、数列的通项公式与前n 项的和的关系 ①11 , 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥? （注：该公式对任意数列都适用） ②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1?s n ?1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列 ⑴ 通项公式与公差： 定义式：d a a n n =--1 一般式：()q pn a d n a a n n +=?-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-m a a d m n --= ?； ⑵ 前n 项和与通项n a 的关系： 前n 项和公式：1() n n n a a s += 1(1)n n na d -=+211 ()2 d n a d n =+-. 前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=2 2，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。 n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用） 例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质： ①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、 m 、p 成等差数列； ②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等差 数列； ③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，． ．．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2 d ，即m 2 d=(S 2m -S m )- S m ； B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ? ? ????n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。 2021年高考数学专题复习导练测 第六章 高考专题突破三 高考中的 数列问题 理 新人教A 版 1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．－20 B ．0 C ．7 D ．40 答案 A 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q ≠1， 依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2≠0. 即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0， 又q ≠1，因此有q ＝－3，S 4＝ 1×[1－－3 4 ] 1＋3 ＝－20，故选A. 2．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2 n 等 于( ) A ．(3n －1)2 B.1 2(9n －1) C ．9n －1 D.1 4 (3n －1) 答案 B 解析 a 1＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，① n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，② ①－②得a n ＝3n －1·2(n ≥2)， n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝ a 21 1－9n 1－9 ＝ 4 1－9n 1－9 ＝1 2 (9n －1)． 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 50＝0.设b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值是( ) A ．23 B ．25 C ．23或24 D ．23或25 答案 D 解析 因为S 50＝50 2(a 1＋a 50) ＝25(a 25＋a 26)＝0， a 1>0，所以a 25>0，a 26<0， 所以b 1，b 2，…，b 23>0，b 24＝a 24a 25a 26<0， b 25＝a 25a 26a 27>0， b 26，b 27， 0 且b 24＋b 25＝0， 所以当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值为23或25. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －1 3 ，若1 （浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的 数列问题教师用书 1．(2016·金华十校高三上学期调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 2＝a 3，且 a 1，a 2，a k 成等比数列，则k 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D 解析 设公差为d ，则2＋d ＝1＋2d ， ∴d ＝1，∴a n ＝n ， 由a 2 2＝a 1·a k ，得4＝1×k ，∴k ＝4. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列?? ?? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101B.99101 C. 99100D.101100 答案 A 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴? ??? ? a 1＋4d ＝5，5a 1＋－ 2d ＝15， ∴? ?? ?? a 1＝1， d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1 ＝ 1 n n ＋＝1n －1n ＋1 ， ∴数列?? ? ? ??1a n a n ＋1的前100项和为? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1100－1101＝1－1101＝100101. 3．(2016·杭州学军中学模拟)已知等比数列{a n }的公比q >0，前n 项和为S n .若2a 3，a 5,3a 4成等差数列，a 2a 4a 6＝64，则q ＝________，S n ＝________. 答案 2 2n －1 2 解析 由a 2a 4a 6＝64，得a 3 4＝64，解得a 4＝4. 由2a 3，a 5,3a 4成等差数列，得2a 4q ＝3a 4＋2a 4 q ， 高考数学专题复习：数列 1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2040,0n S S a =≠，则下列结论中正确的是（ ） A. 30S 是n S 中的最大值 B. 30S 是n S 中的最小值 C. 300S = D. 600S = 2. 已知函数()21 ()log 3 x f x x =-，则正实数,,a b c 依次成公差的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ??<，若实数d 是方程()0f x =得一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b >；③d c <中有可能成立的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知等差数列{}n a 中，34568a a a a +-+=，则{}n a 的前7项和7S =（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 35 4. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112 y a x m =+与圆() 2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1{}n S 的前10项和为（ ） A. 910B. 1011C. 89D. 2 5. 设A 和B 是抛物线L 上的两个动点，在A 和B 处的抛物线切线相互垂直，已知由A 、B 及抛物线的顶点P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为1L ．对1L 重复以上过程，又得一抛物线2L ，以此类推，设如此得到抛物线的序列为12,,,n L L L ，若抛物线L 的方程为26y x =，经专家计算得， ()21:21L y x =-， 222124:(1)()3333 L y x x =--=-， 23211213:(1)()93999 L y x x =---=-， …… 22:()n n n n T L y x S S =-， 则23n n T S -=_________． 《 高三文科数学第二轮数列专题复习》 典型教学设计研究 课程分析： 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分内容容易命制多个知识点交融的题目，它能很好体现高中阶段要求学生掌握的函数思想、方程思想两种基本的数学思想，是高考的热点，其综合题型也常在高考压轴题中出现。所数列是高中阶段学生要掌握的一个重要知识模块。 本专题的高考考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题，中等题，也有难题。求数列的通项公式是最为常见的题目，特别是已知数列的递推公式，求数列的通项公式这一类型。关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查，高于考纲中的“了解”要求。此外数列中“已知n S 求n a ”，也一直是高考的常考题型，要切实。此外选择题、填空题多以考查等差、等比数列的基本知识为主，属于中等以下的难度；解答题则是数列与函数、方程、不等式、程序框图等知识相结合的综合题型，以及数列应用题等等，难度要求较大，所以在第二轮的复习中要重点突破。 本专题的复习重点、难点是：如何解数列的解答题；通过知识的归类总结，构建数学知识的体系。课时为2节课。 学情分析： 1、知识基础：数列是高中数学知识中规律性最强的部份，学生喜欢、也能够从特殊的数字中找到规律，并且归纳推理出一些结论。学生在高三前期复习中已经基本掌握等差、等比数列的基本知识点，能够应用这些知识解决一些中等难度以下的数列的基本题型，能应用方程的思想解决一些简单的数列问题。 2、能力基础：学生已经具备了一定的运用方程的思想解决数列的基本问题的能力，但是在运用通项公式、前n 项和公式求解时，“知三得四”的灵活运用能力还有待提高。运用函数的思想解决数列问题的意识不浓，能力也还有待提高。 3、心理基础：由于数列是一种较特殊的函数，大部分文科学生在函数部分的学习比较薄弱，有畏惧心理，存在学习本专题的心理障碍。所以在教学上宜遵循学生 高考大题突破练——数列 1.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3. (1)求{a n}的通项公式； (2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n. 2．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝a n＋1 S n S n＋1 ，求数列{b n}的前n项和 T n. 3．已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n ＝a2n＋2a n－3. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)已知b n＝2n，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的值． 4.在数列{a n}中，a1＝1 2，其前n项和为S n，且S n＝a n＋1－ 1 2 (n∈N*)． (1)求a n，S n； (2)设b n＝log2(2S n＋1)－2，数列{c n}满足c n·b n＋3·b n＋4＝1＋(n＋ 1)(n＋2)·2b n，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n>2n＋1－ 1 504 成立的 最小正整数n 的值． 5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式； (2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1) f (n ) ，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时， 求n 的值．q a （D ）7.08.0,01-<<-
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