《高等数学》第七版课后练习题.doc
精品文档第一章、函数、极限与连续
1、已知函数f ( x) 2,0 x 2
f ( x 5)
2,2 x
，试求函数 g( x) f (2 x) 的定义域。
4
2、设函数y f ( x) 的定义域是0,8 ，试求 f ( x3)的定义域。
3、已知函数 f ( x)的定义域 1，2 ，试求下列函数的定义域。
(1) f ( x 1) (2) f (ax )(a 0) (3) f (sin x) (4) f (sin x 1) 4、要使下列式子有意义，函数 f ( x) 应满足什么条件？
(1)y
1 (2) y f (x) (3) y log
a f ( x)( a 0且 a 1)(4) y arccos f ( x) f (x)
5、求下列函数的定义域。
(1)y 2x
x2 ln x (2) y arcsin
x 2
(3) y x 3 arccos x 4
16 3 x2 9 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。
(1) f1 (x)
2
2gln x (2) f2 ( x) 1; g2 ( x)
2
x
2 ln x ; g1( x) sin cos x
(3) f3 (x) x 3;g3 (x) (x 2)( x 3) (4) f 4 ( x) ( x 1)2 ; g4 (x) x 1
x 2
1
7、设函数f (x) 2x, g( x) 5x 5 ，求f ( x 1), g( ), f ( g(x)), g ( f (x) x) 的表达式。
x
8、设f ( x) 2x 3, g (x) 4 5x2，求 f ( g( x)), g( f ( x)), f ( f (x)) 的表达式。
9、设f ( x 1
) x2
1
,求f ( x) 。x x2
10、设f ( x 1) x( x 1), 求 f ( x) 。
11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。
(1) f ( x) xgsin x (2) f ( x) sin x tgx (3) f (x) 3 (1 x)2 3 (1 x) 2
(4) f (x) ln( x 1 x2 ) (5) f ( x) x x2
12、判断下列函数的奇偶性。
(1) f ( x) x3 x (2) f (x) x cos x (3) f ( x) tgx ( x 0)
x
(4) f (x) x ln( x x x2 )
13、求下列函数的周期。
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1
(1)y sin 3x
(2) y tg ( x
) 2
4
14、下列函数能够复合成一个函数。
(1)y f (u) u 2 ,u g( x) sin x
(2) y
f (u) a u (a 0, a 1),u
g (x) ln x
(3) y f (u)
u , u g( x) log 1 x(x 1)
2
(4) y
f (u) ln u, u g( x)
x 2
15、函数 y
3arcsin 1 x 2 , y
ln sin 1
，由哪些较简单的函数复合而成。
x
16、设 f ( x)
e
x
1 ，函数 ( x) 2( x 2)
，求 f ( 1( x)) 。
x 1 17、下列函数的极限。
(1)
( n 4 n
1 n
2 )(n 3)
(2) lim( n 1
n )
lim
n
n
(3) lim( 1 2 ... n n
1
2 ... n n 2 )
(4) lim(
2
n 2
n 2 )
n
2
n
n
18、求下列函数的极限。
8n 4 n 100
(2) lim 3n 2 10n
(1)lim 5n 4 3n 3 1
5n 3
2n
n
n
(3) lim
n 4 4
n 1
(4) lim
4
n
4n 2
3
3
4
8
n
n 3 3n 1
n
2n
2
16n
19、求下列函数的极限。
(1)lim( x
2
x 1)
(2)lim ln x
(3)lim x
2
4
lim
x
1 n 0
n 1
x
n 2
x 2
n 1
x 2
1
20、求下列极限。
(1)lim x
(2) lim sin x (
(3)lim
tgx
(4)lim sin x
n 0
sin x
n 0 sin x
n 0
x
n 0
x
tg
2
21、求下列函数的极限。
1 ) x
2) x
1
(4) lim(
2
x )3 x
(1) lim(1
(2) lim(1
(3)lim(1 2x)
3 x
n
2x
n
x
n
n
1 x
22、求下列函数的极限
(1)lim(
1
3
1
4
)
)
(2)lim(
n 1
x 1x 3
1
n 2
x 2x 2
4
23、求下列函数的极限。
设 x 1,x 0
，求 (1) f ( x)
2
lim f ( x),lim f ( x)
x
1,x 0 x 1 x 0
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x 2, x 2
(2) 设f (x)
2, x 2
，求 lim f ( x),lim
f ( x)
2 x, x 2
x 2
x 0
2 x, x 0
(3)设 f (x)
2x 2 1,0 x 1 ，求 lim f (x),lim f (x),lim f (x)
1)3 , x x
x 1
x 2
3 (x 1
1
1
24、当 x
0 时，证明： (1)x 3 sin x
x 3
(2) 1 x
1 x x
25、下列函数在指定点是否连续？为什么？
(1) f ( x) x 2 1,在 x 0
0 点。
x 2
sin 1
, x 0
(2) f (x)
g x ，在 x 0 0 点。
，x=0 0
x,0 x 1
(3) f (x)
4x 2,1 x 3 ，在 x 0
1,3 两点。
13 x,3
x
26、求下列函数的不连续点。
1
(1)y
x
(2) y sin x
(3) y x 1
1 e x
(1 x)
2
x
x 2 1
(4) y
1
1
e x
27、证明方程 x 3
x 1 0, 在开区间（ 0，1）内有实根
第 2 章和第 3 章 一元函数微分学
1、用导数定义求函数
y 1 x 2 在点 x 0 处的导数。
2、求曲线 y
x 3 x 上过点（ 1， 2）的切线方程和法线方程。
3、求曲线 y ln x 的一点（ x,y ），使过该点的直线与直线
y=3x 平行。
4、设函数 y
(1)lim x 0
(3)lim
x 0
f ( x) 在点
f ( x 0 ) f (x 0 Vx
f ( x 0 2Vx) Vx
x 0 处可导，导数的 f '(x 0 ) ，试求下列极限。
Vx)
f ( x 0 Vx) f ( x 0 Vx)
(2)lim
V x
x
2
f ( x 0 )
f (x 0 aVx) f ( x 0 bVx)
(4)lim
Vx
x
5、讨论下列函数在指定点处的可到性。
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(1) f ( x) x 1 , x 1
(2) f (x)
1
x 3 , x 0 0
3
, x
x, x 0
1
6、讨论函数 f ( x)
xgsin x , x
在 x=0 处的连续性，可导性。
0, x 0
7、求下列函数的导数。
(1)y x a a x ln x sin x
(2) y x 1
x 1
(3) y 1 ln x
(4) y
( x
1)(
1
1)
1 ln x
x
8、求下列函数的导数。
(1)y
x 2 2x
5
(2) y 2gsin 2 1
(3) y ln( x x 2
a 2 )
x 2
(4) y arctg
1
(5) y
3x
2
x 1
(6) y ln
a
bx
x
x
a bx
(7) y
x 2
(2 x)
(1 x) 2
9、试求下列函数的导数
(1) y f (sin x)
(x 1)(2x 1)2 (8) y
1)(x 2)
( x dy
，其中 f 都可导。
dx
(2) y f (a x )
(3) y arccos f (x 2 )
1
10、求下列函数的导数。 (1) y x sin x
(2) y (1 x) x
11、求下列函数的导数 dy 。
dx
(1)x
2
y
2
xy
1
(2) arctg
y
ln x 2
y 2
(3) x y y x
x
12、求下列函数的高阶导数
y(n) 。
(1) y xge x
(2) y ln 1 x (3) y sin x
1 x (4) y x n e x
(5) y
1 1 x 2
a
1
13、已知下列参数方程。
x
t 4 x
2 (t t ) (1) y
4t
(2)
b 1
y
(t
2 t )
14、求函数 y
x 2 在 x 2,Vx 0.02 ,时的增量与微分。
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15、求下列函数的微分
(1) y 3
sin 2 x
(2) y
ln( x
2
tgx)(3) y
f (arcct
g 1
)
(4) y x 3gcos x
x
16、利用微分，计算下列各数的近似值。
(1)sin1o
(2)e 0.05
(3)ln(1
0.01)
(4) 1 0.02
(5) tg 20
17、求下列近似值
(1)cos61 o
(2) 3 8.02
(3) arctg1.02
18、一个正方形的棱长 x=10m, 如果棱长增加 0.1m ，求正方形体积增量的精确值和近似值。
19、下列函数在所给区间上是否满足罗尔定理的条件？为什么？
(1) f ( x)
ln x,e x e 2 (2) f ( x) x , 1,1
(3) f ( x) x 2 , 0,2
1, x e 2
20、验证下列函数在所给区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的
。
5 7 (1)y ln cos x,
,
(2) y x 3 x,(0,3)
3
3
21、验证下列函数在所给区间上满足拉格朗日中值定理，并求出定理结论的
。
(1) f ( x) 2 x 3 , 0,2
(2) f ( x) ln x, 1, e
22、试对函数
f ( x) x 2 ,
g ( x)
x 在 1，4 上写出柯西公式，并求出
。
23、求下列函数的极限。
a x
b x
1
x 3
3x 2 (1)lim (a, b 0)
(2) lim
x
(3)lim
x
3
x 2
x 1
x 0
x
arctan x
x 1
x
2
(4)lim 3
x
cosx (5) lim
ln x
(a
0)
(6) lim ln(1 e x )
x 0
xgsin x
x
x a
x
x 24、讨论函数在所给区间上的单调性。
(1) y 1 (e x e x ),( 1,1)
(2) y x 3
x 2
2,( 3,2) (3) y
3
x 2 ,( , )
2
25、证明下列不等式
(1)当 x>0时， e x 1 x;
（2）当 x 0时，
x
x 2 ln(1 x)
x;
2
26、求下列函数在所给区间上的极值。
(1) f ( x) 2x 3
6x 2 18x,(
,
)
(2) f (x)
2 x
4
, 3,4
( x 2) 2
(3) f (x)
x 2 ge x
2
,( , )
精品文档27、求下列函数在所给区间上的最大值和最小值。
(1) f ( x) x55x45x31,1,2
(2) f (x) x 1 , 0,4
x 1
(3) f (x) sin 2x x, ,
2 2
28、讨论下列函数在所给区间的凸性，并求其拐点。
(1)y 3x x3 ,(,)(2) y ( x 1)3 x2 ( , )
第 4 章不定积分
1、设f (x)的一个原函数是sinx，求 f '(x) dx
2、求函数f (x) ，使 f ( x)dx x2 sin x e x arccosx c
g
3、已知某曲线y f ( x) ，在任一点 ( x, f ( x)) 处的切线斜率为 1 x 1 ，且曲线通过点(1,2) ，求此曲线方
2
程。
4、求下列不定积分。
4
1 ( 3 x 1)( x
2 1)( x2 1 )dx
(1) x 3dx (2) dx (3)
x3 x
(4) g 3
x
1
dx (5) (e x 2 )dx (6) (sin
x
cos
x
)2 dx 2 cos
cos2 x 1 x2 2 2
5、求下列不定积分
ax dx dx
(1) sin 2xdx (2) e dx( a 0) (3) 3 2 5x (4) 4 9 x2 (5) x 3 2 x2 dx (6) dx (7) sin x e cos x dx (8) arctan x dx
xgln x g 1 x2
(9) arccos x dx (10) e x 1 e x dx (11) tan x dx
1 x
2 ln cos x
6、求下列不定积分。
(1) dx (2) 4 x2 dx (3) 3 x2 dx (4) dx dx
1 x 5 x2
(5) dx (6) dx dx(a 0) (7) dx
x2 x2
4x 5 a2 2 2x x2
7、求下列不定积分
(1) x e 2x dx
(2) xgarctgxdx
(3) ln xdx
(4) x 2 cosxdx
g
g
(5) arccosxdx (6) e x gcos xdx
(7) csc 3 xdx
(8) ( x 2 2x)ge x dx
(9) cos xdx
(10) ctg 3 x csc xdx
(11) xge x dx
e x 1
8、设 G (x)
x
cos 2
tdt , 求 G '( )
3
9、求下列函数的导数。
x
dt
(1)G ( x)
,求 G '( x)
1 1 t 4
x
2
(2)G ( x)
dt
2 ,求 G ''(x)
(3)G( x)
1 1 x
2 1 x
2 t
2
e t gsin 2tdt , 求G'( x)
10、计算下列定积分
2
x 1
dx
ln2
x
1
1 x 5 (4) 4
x 2 (1)
1 x (2)
e 1dx
(3)
2
1
dx
dx
2 1 x 2
1 x
1
x
5
(5) 2
cos 3
xgsin xdx
e dx
(6)
(7)
e x e x
1
(8)
e 1 (9)
3
x dx
ln( x 1)dx
0 4 sin 2 x
11、求下列定积分
x 1 dx
x
2
x 2 , x 0 (2)
2
x dx
(1) f (x)dx, f (x)
3x, x
1 1
12、求下列函数的极限。
sin t
2
dt
x
(a t
b t )dt
(1)lim 2x (2) (2) lim 0 (a,b
0)
x 3
2x 2
x 0
x 0
13 求曲线 y
1
, y x, y 2 ，所围成图形的面积。
x
14、求曲线 y cos x 在 0,2 内与 x 轴， y 轴及直线 x
2 所围圆形面积。
15、求曲线 y x 2 , x y 2 ，所围图形面积及此图形绕 y 轴旋转所的立体的体积。
16、求曲线 y
e x 与 y
0 之间位于第一象限内的平面图形面积及绕
x 轴旋转所得立体体积。
第五章、定积分
1、利用定积分的几何意义，证明下列等式：
（ 1）、
高等数学试题
高等数学 院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______ 总分 题号选择题填空题计算题证明题其它题 型 题分20 20 20 20 20 核分人 得分复查人 一、选择题（共 20 小题，20 分） 1、设 Ω是由z≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是A. I1>I2>I3; B. I1>I3>I2; C. I2>I1>I3; D. I3>I2>I1. 答 ( ) 2、设f(x,y)为连续函数，则积分 可交换积分次序为 答 ( ) 3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 4、设u=f(t)是(－∞,+∞)上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1. I=a,b,c为常数，则 (A) I>0 (B) I<0 (C) I=0 (D) I的符号由a,b,c确定
答 ( ) 5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f(x,y,z)为Ω上有界函数。若 ，则 (A) f(x,y,z)在Ω上可积 (B) f(x,y,z)在Ω上不一定可积 (C) 因为f有界，所以I=0 (D) f(x,y,z)在Ω上必不可积 答 ( ) 6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是 (A) (B) (C) (D) 答 ( ) 7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I=x2yzf(x,y2,z3),则I= (A) 4x2yzf(x,y2z3)d v (B) 4x2yzf(x,y2,z3)d v (C) 2x2yzf(x,y2,z3)d v (D) 0 答 ( ) 8、函数f(x,y)在有界闭域D上有界是二重积分存在的 (A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件； (C)必要条件，但非充分条件； (D)既非分条件，也非必要条件。 答 ( ) 9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则 等于 (A) (B)
高等数学第七版下册复习纲要
第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(= . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； ②. 两端积分： ??=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(； ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式： ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量x y u = ，有ux y =及dx du x u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dx du x u ?=+； ③．分离变量后求解，即解方程x dx u u du =-)(?； ④．变量还原，即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式： )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy .
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《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 1、已知函数2,02 ()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3) (3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 2 11 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。 单项选择题 1、设则在处( ) A．不连续B．连续，但不可导 C．连续，且有一阶导数D．有任意阶导数 1 C 2A 3D 4B 2、已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则( ) A．在上单调增加，且 B．在上单调减少，且 C．在上单调增加，且 D．在上单调增加，但正负号无法确定 5 D. D 6C 7B 8A 3、已知，在处可导，则( ) A．，都必须可导B．必须可导 C．必须可导D．和都不一定可导 9B 10 A 11D 12C 4、函数在上有( ) A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点 13 C 14A 15B 16D 5、函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于0.8，则( ) A．4 B．0.16 C．4 D．1.6 17 C 18D 19A 20B 6、若为内的可导奇函数，则( ) A．必有内的奇函数B．必为内的偶函数 C．必为内的非奇非偶函数D．可能为奇函数，也可能为偶函数 21 B 22A 23C 24D 7、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ) A．() B．() C．() D．() 25D 26B 27 C 28A 8、设，若在上是连续函数，则( ) A．0 B．1 C．D．3 29D 30B 31 C 32A 9、设函数，则( ) A．当时，是无穷大B．当时，是无穷小 C．当时，是无穷大D．当时，是无穷小 33A 34D 35 B 36C 10、若，则方程( ) A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根 37A 38 B 39D 40C 11、下列各式中的极限存在的是( ) 高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 高等数学试题库 第一章 极限与连续 一．判断题 1-1-1 函数y=1/ln(x+1)的定义域是(-1, ∞)．( ) 1-1-2 函数y=lg((1-x)/(1+x))是奇函数．( ) 1-1-3 函数y=x 2+1的反函数是y=(x+1)1/2．( ) 1-1-4 y=arctgx+1010是有界函数．( ) 1-1-5 若()lim x f x →=2 3，则f(2)=3．( ) 1-1-6 若()lim x f x →=23，则f(x)在x=2处连续．( ) 1-1-7 若f(x)在x 0无定义，则lim x x →0 f(x)必不存在．( ) 1-1-8 lim sin lim limsin x x x x x x x →→→=?=0100 10．( ) 1-1-9 lim x →1 (1/(1-x)－1/(1-x 3))= lim x →11/(1-x)－lim x →11/(1-x 3)=∞- ∞=0．( ) 1-1-10 lim x →1x/(x-1)= lim x →1x/lim x →1(x-1)= ∞．( ) 1-1-11 lim n →∞(1/n 2+2/n 2+3/n 2+…+n/n 2)=0+0+0+…+0=0．( ) 1-1-12 若f(x 0-0)=f(x 0+0)，则f(x)在x 0连续．( ) 1-1-13 方程x ·2x =1至少有一个小于1的正数根．( ) 1-1-14 若f(x)在闭区间[a ，b]上不连续，则f(x)在闭区间[a ，b]上必无最大值和最小 值．( ) 二．填空题 1-2-1 lim x →4 (x 2-5x+4)/(x-4)=________． 1-2-2 lim x x x →+--42134 =________． 1-2-3 lim n →∞ (1+2+3+…+n)/n 2=________． 1-2-4 lim x →0x 2/(1-cosx)=________． 1-2-5 lim n →∞ n[ln(1+n)-ln(n)]=________． 1-2-6 设f(x)= sin ,, x x x 222+≠=???ππ ，则lim x →πf(x)=________． 1-2-7 当a=________时，函数f(x)= a x x x x x x ++≤>???21030,sin , ，在x=0处连续． 1-2-8 函数 f(x)= (x-1)/(x 2+x-2) 的间断点是＿＿＿＿． 1-2-9 已知极限lim x →3 (x 2-2x+k)/(x-3) 存在(k 为实数)，则此极限值是________． 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高等数学》试题 30 考试日期： 2004 年 7 月 14 日 星期三 考试时间： 120 分钟 一. 选择题 1. 当 x 0 时， y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的 （ ） A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的（ ） A 必要条件 B )、 充分条件 C )、 充要条件 D )、 无关条件 )、 3. 下列各组函数中， f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有（ ） . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、 x x dx 2x ln 2 C B ）、 sin tdt cost C C ）、 dx dx arctan x D ）、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是（ ） . A ）、 d b f x dx f x B ）、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D ）、 d x F x C ）、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x （ ） x 0 A ）、0 B ）、 1 C ）、 2 D ）、 4 7. 设 f (x) sin bx ，则 xf ( x)dx （ ） A ）、 x cosbx sin bx C B ）、 x cosbx cosbx C b b C ）、 bxcosbx sinbx C D ）、 bxsin bx b cosbx C 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 关于高等数学试题库 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 入学考试题库（共180题） 1．函数、极限和连续（53题） 函数（8题） 1．函数lg arcsin 23x x y x =+-的定义域是（ ）。A A. [3,0) (2,3]-； B. [3,3]-； C. [3,0)(1,3]-； D. [2,0)(1,2)-. 2．如果函数()f x 的定义域是1[2,]3-,则1 ()f x 的定义域是（ ）。D A. 1[,3]2- ； B. 1 [,0)[3,)2-?+∞； C. 1[,0)(0,3]2-?； D. 1 (,][3,)2 -∞-?+∞. 3. 如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则2(log )f x 的定义域是（ ）。B A. 1[,0) (0,4]4-； B. 1[,4]4； C. 1[,0)(0,2]2- ； D. 1 [,2]2 . 4．如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则3(log )f x 的定义域是（ ）．D A. 1 [,0)(0,3]3-?； B. 1[,3]3； C. 1[,0)(0,9]9-? ； D. 1[,9]9 . 5．如果)(x f 的定义域是[0，1]，则(arcsin )f x 的定义域是（ ）。C A. [0,1]； B. 1[0, ]2； C. [0,]2 π ； D. [0,]π. 6.设()()22 2 21,1x f x x x x ??+??==??-，则()f x =( )．A A ． 211x x +-； B. 211x x -+； C. 121x x -+； D. 1 21 x x +-. 7．函数331 x x y =+的反函数y =（ ）。B A ．3log ( )1x x +； B. 3log ()1x x -； C. 3log ()1x x -； D. 31log ()x x -. 8．如果2sin (cos )cos 2x f x x =，则()f x =( )．C高等数学试题及答案
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