高中数学圆的方程专题复习
高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一:巧用圆系求圆的过程
在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种:
⑴以为圆心的同心圆系方程
⑵过直线与圆的交点的圆系方程
⑶过两圆和圆的交点的圆系方程
此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。
当时,得到两圆公共弦所在直线方程
例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。
分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。
解:过直线与圆的交点的圆系方程为:
,即
………………….①
依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则
,解之可得
又满足方程①,则 故
例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解:圆和的公共弦方程为
,即
过直线与圆的交点的圆系方程为
,即
依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心
必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。 分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得
m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,①
即
??
?-==???=-+=-+4y 9
x 05y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4)
注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2
=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.
剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1, 即l 恒过定点A (3,1).
∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =-
2
1
, ∴l 的方程为2x -y -5=0.
评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?
思考讨论
类型二:直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围.
解:∵曲线24x y -=
表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范围是
22<≤-m 或22=m .
变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x=
2
1y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________.
解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2
例6 圆9)3()3(2
2
=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个?
分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(2
2
=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324
311
34332
2
<=+-?+?=
d .
如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意.
∵m ∈R ,∴ 得
又123=-=-d r .
∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个.
解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求
直线为043=++m y x ,则14
3112
2
=++=
m d ,
∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即
06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :.
设圆9)3()3(2
2
1=-+-y x O :
的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34
36
34332
2
1=+-?+?=
d ,14
316
34332
2
2=+-?+?=
d .
∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个.
说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324
311
34332
2
<=+-?+?=d .
∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个.
显然,上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离,r d <,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1. 类型三:圆中的最值问题
例7:圆010442
2
=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
解:∵圆18)2()2(2
2=-+-y x 的圆心为(2,2),半径23=r ,∴圆心到直线的距离
r d >==
252
10,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
262)()(==--+r r d r d .
例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O :
,),(y x P 为圆O 上的动点,求2
2y x d +=的最大、最小值. (2)已知圆1)2(2
2
2=++y x O :
,),(y x P 为圆上任一点.求1
2
--x y 的最大、最小值,求y x 2-的最大、最小值.
分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.
解:(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(2
2
=-+-y x .
可设圆的参数方程为??
?+=+=,
sin 4,
cos 3θθy x (θ是参数).
则θθθθ2
2
2
2
sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d
)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=(其中3
4
tan =
φ). 所以361026max =+=d ,161026min =-=d .
(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'
1d 加上半径1,圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'
1d 减去半径1.
所以6143221=++=d .
4143222=-+=d .
所以36max =d .16min =d .
(2) (法1)由1)2(2
2
=++y x 得圆的参数方程:?
??=+-=,sin ,
cos 2θθy x θ是参数.
则
3cos 2sin 12--=--θθx y .令t =--3
cos 2
sin θθ, 得t t 32cos sin -=-θθ,t t 32)sin(12-=-+φθ
1)sin(1322
≤-=+-?
φθt t 4
3
3433+≤≤-?
t . 所以4
33max +=
t ,43
3min -=t .
即
1
2
--x y 的最大值为433+,最小值为433-.
此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x .
所以y x 2-的最大值为52
+-,最小值为52--. (法2)设k x y =--1
2
,则02=+--k y kx .由于),(y x P 是圆上点,当直线与圆有交点时,如图所示,
两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由11222
=++--=
k k k d ,得4
3
3±=
k . 所以
1
2
--x y 的最大值为433+,最小值为433-.
令t y x =-2,同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值.
由15
2=--=
m d ,得52±-=m .
所以y x 2-的最大值为52+-,最小值为52--.
例9、已知对于圆1)1(2
2
=-+y x 上任一点),(y x P ,不等式0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围.
设圆1)1(22
=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ,θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立.
∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值. 设1)4
sin(21)cos (sin -+-=-+-=π
θθθu
∴12max -=u 即12-≥
m .
说明:在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法.一般地,把圆2
22)()(r b y a x =-+-上的点设为
)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈).采用这种设法一方面可减少参数的个数,另一方面可以灵活地
运用三角公式.从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换.
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?
高二数学圆的一般方程 人教版
高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、 教学重点和难点 重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数, D、E、F、 难点:圆系的理解和应用、 教学过程设计 (一)教师讲授: 请同学们看出圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r、 把圆的标准方程展开,并整理:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0、 我们把它看成下面的形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 这个方程是圆的方程、
反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆? (1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示 (2)当D2+E2-4F=0时,方程②表示 (3)当D2+E2-4F<0时,方程②不表示任何图形 ∴当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0、 做圆的一般方程、 现在我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同,不等于0、 ②没有xy这样的二次项、 同学们不难发现,x2和y2的系数相同,不等于0、且没有xy 这样的二次项,是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了、 (二)研究问题1,求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0、 把已知三点的坐标代入,得三个方程,解这三个方程组成的方程组
人教版高中数学必修二圆与方程题库完整
(数学2必修)第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A .22(2)5x y -+= B .22(2)5x y +-= C .22(2)(2)5x y +++= D .22(2)5x y ++= 2.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ 4.将直线20x y λ-+=,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( ) A .37-或 B .2-或8 C .0或10 D .1或11 5.在坐标平面,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A .023=-+y x B .043=-+y x C .043=+-y x D .023=+-y x 二、填空题 1.若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,切点分别为0 ,,60A B APB ∠=,则动点P 的轨迹方程为 。 3.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 4.已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。
高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)
高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时) 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-.∵圆心在0=y 上,故0=b .∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点.∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r .所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x .又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22.∴点P 在圆外. 例2 求半径为4,与圆04242 2 =---+y x y x 相切,且和直线0=y 相切的圆的方程. 分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解. 解:则题意,设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-: . 圆C 与直线0=y 相切,且半径为4,则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C . 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(,半径为3. 若两圆相切,则734=+=CA 或134=-=CA . (1)当)4,(1a C 时,2227)14()2(=-+-a ,或2 221)14()2(=-+-a (无解),故可得1022±=a . ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ,或2 224)4()1022(=-++-y x . (2)当)4,(2-a C 时,2227)14()2(=--+-a ,或2 221)14()2(=--+-a (无解),故622±=a . ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ,或2 224)4()622(=+++-y x . 例3 求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.
高二数学圆的方程练习
高二数学圆的方程练习 【同步达纲练习】 A 级 一、选择题 1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2 -12=0总有两个不同交点,则a 的取值范围是( ) A.-3<a <7 B.-6<a <4 C.-7<a <3 D.-21<a <19 2.圆(x-3)2+(y-3)2 =9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.使圆(x-2)2+(y+3)2 =2上点与点(0,-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5,1) B.(3,-2) C.(4,1) D.(2 +2,2-3) 4.若直线x+y=r 与圆x 2 +y 2 =r(r >0)相切,则实数r 的值等于( ) A. 2 2 B.1 C.2 D.2 5.直线x-y+4=0被圆x 2 +y 2 +4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8 B.4 C.22 D.42 二、填空题 6.过点P(2,1)且与圆x 2+y 2 -2x+2y+1=0相切的直线的方程为 . 7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)|(x-a)2+y 2 ≤9},若M ∪N=M ,则实数a 的取值范围是 . 8.已知P(3,0)是圆x 2+y 2 -8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ,过点P 的最长弦所在直线方程是 . 三、解答题 9.已知圆x 2+y 2 +x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点,若OP ⊥OQ(O 是原点),求m 的值. 10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C :y=1+2 4x 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围. AA 级 一、选择题 1.圆(x-3)2+(y+4)2 =2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2 =2 C.(x+4)2+(y-3)=2 D.(x-3)2+(y-4)2 =2 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2 =1的内部,则实数a 的取值范围是( )
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解: 1、倾斜角:①找α:直线向上方向、x 轴正方向; ②平行:α=0°; ③范围:0°≤α<180° 。 2、斜率:①找k :k=tan α (α≠90°); ②垂直:斜率k 不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标:1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形(数形结合); ②斜率k 值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系:222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交:斜率21k k ≠(前提是斜率都存在) 特例----垂直时:<1> 0211=⊥k k x l 不存在,则轴,即; <2> 斜率都存在时:121-=?k k 。 ②平行:<1> 斜率都存在时:2121,b b k k ≠=; <2> 斜率都不存在时:两直线都与x 轴垂直。 ③重合: 斜率都存在时:2121,b b k k ==; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程: ①点斜式:)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可; ②斜截式:b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可; ③两点式:),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中, 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可; ④截距式: 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可; ⑤一般式:0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可
高中数学圆与方程知识点
高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程:(1)标准方程:2 22()()x a y b r -+-=(圆心为A(a,b),半径为r ) (2)圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 圆心(-2D ,-2 E )半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法:根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切,d>r 为相交,d
高中数学圆的方程专题复习
1 / 4 高一数学辅导资料 内容:圆与方程 本章考试要求 一、圆的方程 【知识要点】 1.圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为:)0()()(222>=-+-r r b y a x 0==b a 时,圆心在原点的圆的方程为:222r y x =+. 2.圆的一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x ,圆心为点,2 2D E ?? -- ???,半径2 r = , 其中0422 >-+F E D . 3.圆系方程:过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ), 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一 求圆的方程 问题1. 求满足下列各条件圆的方程: ()1以两点(3,1)A --,(5,5)B 为直径端点的圆的方程是 ()2求经过)2,5(A ,)2,3(-B 两点,圆心在直线32=-y x 上的圆的方程; ()3过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ,则圆C 的方程是? 考点二 圆的标准方程与一般方程 问题2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则a 的取值范围是 考点三 轨迹问题
问题3.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4.设两点()3,0A -,()3,0B ,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2,求P 点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 1.直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为△,圆的半径为r ,圆心C 到直线l 的距离为d 则直线与 圆的位置关系满足以下关系: 2.直线截圆所得弦长的计算方法: 利用垂径定理和勾股定理:AB =r 为圆的半径,d 直线到圆心的距离). 0:111221=++++F y E x D y x C 0:222222=++++F y E x D y x C 则两圆的公共弦所在的直线方程是 4.相切问题的解法: ①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1-(或一条直线存在斜率,另一条不存在) ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即0=?来求解. 特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 . 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为 【互动探究】 考点一 直线与圆的位置关系 问题1:()1已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 .A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能 ()2直线l :1mx y m -+-与圆C :() 2 211x y +-=的位置关系是 .A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定,与m 的取值有关. ()3过点()1,3P 引圆2244100x y x y +---=的弦,则所作的弦中最短的弦长为
高中数学 圆的标准方程教案
第 四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标: 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方 程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程: 1、情境设置 : 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究: 2、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程,得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例(1):写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程,并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)
专题:直线与圆 1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .内切 D .相离 2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y -2)2=1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2+y 2+4y -6=0 B .x 2+y 2+4x -6=0 C .x 2+y 2-2y =0 D .x 2+y 2+4y +6=0 7.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2 D .(a +b )2=2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2+y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A . 4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213 11.若直线3x -4y +12=0与两坐标轴的交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________. 12.已知直线x =a 与圆(x -1)2+y 2=1相切,则a 的值是_________. 13.直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长为_________. 14.若A (4,-7,1),B (6,2,z ),|AB |=11,则z =_______________. 15.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆(x -1)2+(y -1)2=1的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形P ACB 面积的最小值为 . 三、解答题 16.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线y =0上,且圆过两点A (1,4),B (3,2);(2)圆心在直线2x +y =0上,且圆与直线x +y -1=0切于点M (2,-1).
高中数学必修2圆的方程练习题
第四章 圆与方程 一、选择题 1.圆C 1 : x 2 +y 2 +2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2 +y 2 -4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .切 D .相离 2.两圆x 2+y 2 -4x +2y +1=0与x 2 +y 2 +4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2 +(y -1)2 =1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2 +(y +1)2 =1 B .(x -2)2+(y -1)2 =1 C .(x -1)2 +(y +2)2 =1 D .(x +1)2 +(y -2)2 =1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2 +y 2 -2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2 +y 2 +4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2 +y 2 -2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2 +y 2 +4y -6=0 B .x 2+y 2 +4x -6=0 C .x 2 +y 2 -2y =0 D .x 2 +y 2 +4y +6=0 7.圆x 2 +y 2 -4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2 +(y -b )2 =r 2 和(x -b )2 +(y -a )2 =r 2 相切,则( ). A .(a -b )2 =r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2 =r 2 D .(a +b )2 =2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2 +y 2 =10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A .4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213 二、填空题
高中数学必修二:圆的方程
2019-2020学年高一数学必修二 第三节:圆的方程 1.圆的定义及方程 2.点与圆的位置关系 点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)方程(x -a )2+(y -b )2=t 2(t ∈R)表示圆心为(a ,b ),半径为t 的一个圆.( ) (3)方程x 2+y 2+4mx -2y =0不一定表示圆.( ) (4)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 2 0+Dx 0+Ey +F >0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a =( ) A .-4 3 B .-3 4 C. 3 D .2 解析:选A 因为圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax +y -1=0的距离d = |a +4-1|a 2+1 =1,解得a =-4 3.