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书山有路
2020 年高考模拟试题
理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的
A． 8、已知数列
B．
C．
为等比数列， 是是它的前 n 项和,若
D． ，且 与 2 的等差中
1、若集合 A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数 为
A.5
B.4
C.3
D.2
2、复数
在复平面上对应的点位于
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点
项为 ，则
A.35
B.33
C.31
D.29
9、某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两
名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置）， 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同
一年级的乘坐方式共有
A.24 种
B.18 种
C.48 种
D.36 种
10 如图，在矩形 OABC 中，点 E、F 分别在线段 AB、BC
到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球； 否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为
A.
B.
C.
D.
上，且满足
，
（
），则
，若
4、函数
如图示，则将 图象解析式为
的部分图象 的图象向右平移 个单位后，得到的
A.
B.
5、已知
，
A.
B.
C.
，
，则
C.
D. D.
6、函数
的最小正周期是
A.π
B.
C.
D.2π
7、函数 y=
的图象大致是
A.
B.
C.
D.
11、如图，F1，F2 分别是双曲线 C：
(a，b＞0)的左右
焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交 于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF2| ＝|F1F2|，则 C 的离心率是
A.
B.
C.
D.
12、函数 f（x）＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上
13、设θ为第二象限角，若
，则 sin θ＋cos θ＝__________
14、(a+x）4 的展开式中 x3 的系数等于 8，则实数 a=_________
1

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15、已知曲线 y = x + ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y = ax2 + (a + 2) x +1 相切,则 a=
16、若 x ，则函数 y = tan 2x tan3 x 的最大值为
4
2
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.
20、设点
O
为坐标原点，椭圆
E：
x2 a2
+
y2 b2
= 1（a≥b＞0）的右顶点为
A，上顶点为
B，
过点 O 且斜率为 1 的直线与直线 AB 相交 M，且 MA = 1 BM ．
6
3
（1）求椭圆 E 的离心率 e；
17、已知数列 的前 项和为 ，且 （1）求数列 的通项公式；
，对任意 N ，都有
. （2）PQ 是圆 C：（x－2）2＋（y－1）2＝5 的一条直径，若椭圆 E 经过 P，Q 两点， 求椭圆 E 的方程．
（2）若数列 满足
，求数列 的前 项和 .
18、如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，BC＝CD＝2，
21、设函数 f (x) = x2 + ax ? lnx(aR) ． （1 ）若 a =1，求函数 f (x) 的单调区间． （ 2 ）若函数 f (x) 在区间 (0,1] 上是减函数，求实数 a 的取值范围．
AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝ ，F 为 PC 的中点，AF⊥PB。
（1）求 PA 的长； （2）求二面角 B－AF－D 的正弦值。
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
19、销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未 售出的产品，每 1 t 亏损 300 元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率 分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品，以 X（单 位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一 个销售季度内经销该农产品的利润。
22、在直接坐标系 中，直线 的方程为
，曲线 的参数方程为
（ 为参数）。
（1）已知在极坐标（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴
正半轴为极轴）中，点 的极坐标为（4， ），判断点 与直线 的位置关系； （2）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值。
23、已知关于 x 的不等式
（1）当 a=4 时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数 a 的取值范围。
（其中
）。
（1）将 T 表示为 X 的函数； （2）根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； （3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求 量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量 X∈ [100,110），则取 X＝105，且 X＝105 的概率等于需求量落入[100,110）的频率）， 求 T 的数学期望。
2

2020 年高考模拟试题 理科数学参考答案
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10、B，以 为坐标原点，如图建立直角坐标系．
选择题： 1、C，由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 3. 2、A，本题考查复数的运算及几何意义
，所以点（
位于第一象限
设
，则
∵
，
，∴
．
3、B 方法一：不在家看书的概率=
∵
（
），∴
，
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—
4、D，由图像知 A=1,
,
,由
∴
即
两式相加，得
解得
．
得
11、B，如图：|OB|＝b，|O F1|＝c，∴kPQ＝ ，kMN＝﹣ 。
，则图像向右平移 个单位后得到的图像解析式为
5、D
，故选 D。 6、A,根据三角恒等变换化简可得
7、D，解：当 x＞0 时，y=xlnx，y′=1+lnx，即 0＜x＜ 时，函数 y 单调递减，当 x＞ ，函数 y 单调递增，因此
函数 y 为偶函数， 8、C,设{ }的公比为 ，则由等比数列的性质知，
，即
。
直线 PQ 为：y＝ (x＋c)，两条渐近线为：y＝ x，由
，得：Q( ， )；由
，得：
P( ， )，∴直线 MN 为：y－ ＝﹣ (x－ )，
令 y＝0 得：xM＝
，又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝
，解之得：
12、函数 f（x）＝2x|log0.5x|－1 的零点也就是方程 2x|log0.5x|－1＝0 的根，即 2x|log0.5x|
，即 e＝ 。 ＝1，整理得
由 与 2 的等差中项为 知，
∴
，即
。
9、A，分类讨论，有 2 种情形：
，
。
，
，
.
|log0.5x|＝
.令 g（x）＝|log0.5x|，h（x）＝
，作 g（x），h（x）的图象如
图所示，因为两个函数图象有两个交点，所以 f（x）有两个零点。 填空题
13、由
，得 tan θ＝ ，即 sin θ＝ cos θ.
孪生姐妹乘坐甲车：则有
孪生姐妹不乘坐甲车：则有
所以共有 24 种，
3

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将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 θ＋cos θ＝
.因为θ为第二象限角，所以 cos θ＝
，sin θ＝ ，sin
∴数列
的通项公式为
（2）解法 1：∵
∴
. ，∴
. ，①
14、(a+x）4 的展开式的通项公式为 Tr+1= a4﹣r xr，
，②
令 r=3 可得（a+x）4 的展开式中 x3 的系数等于 ×a=8，解得 a=2
( ) 15、曲线 y = x + ln x 在点 1,1 处的切线斜率为 2，故切线方程为 y = 2x ?1，与
y = ax2 + (a + 2) x +1 联立得 ax2 + ax + 2 = 0，显然 a 0 ，所以由 = a2 ?8a = 0 a = 8
16:
设
tan x = t,
x t 1
,
4
2
y = tan 2x tan3 x = 2 tan4 x = 2t4 = 2 =
2
2 = ?8
1? tan2 x 1? t2
1 t4
?
1 t2
(
1 t2
?
1)2 2
?
1 4
?1 4
解答题
① ②得
∴ 解法 2：∵ ∴
. ，∴
.
. .
17、1）解法 1：当
时，
，
由 ，
，两边对 取导数得，
两式相减得
即
当
时，
∴数列
是以
∴
解法 2：由
，得
.
，即
.
为首项，公差为 的等差数列。
. ，得
， ，
整理得，
，两边同除以
得，
.
.令
，得
.∴
.
18、（1）
如图，连接 BD 交 AC 于 O，因为 BC＝CD，即△BCD 为等腰三角形，又 AC 平分
∠
BCD，故 AC⊥BD。以 O 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴，y 轴，
z
轴的正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz，则 OC＝CD
＝1，而 AC＝4，
得 AO＝AC－OC＝3，又 OD＝CD
＝ ，故 A（0，－3,0），B（ ，0,0），
C（0,1,0），D（ ，0,0）。因 PA⊥底面 ABCD，可设 P（0，－3，z），由 F 为 PC 边中
∴数列
是以
当
时，
为首项，公差为 的等差数列。∴
.∴
.又
适合上式，
点，F
.又 ＝
， ＝（ ，3，－z），因 AF⊥PB，故 · ＝0，
.
即 6－ ＝0，
（舍去
），所以| |＝ .
4

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(2）由（1）知 ＝（ ，3,0）， ＝（ ，3,0）， ＝（0,2， ），设平面 FAD 的法向量为 n1＝（x1，
由
得
，解得
．从而 x1x2＝8－2b2．于是
y1，z1），平面 FAB 的法向量为 n2＝（x2，y2，z2），由 n1· ＝0，n1· ＝0，得 可取 n1＝（3， ，－2）。由 n2· ＝0，n2· ＝0，
因此
得
故可取 n2＝（3， ，2）。从而法向量 n1，n2 的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝
，故二面角 B－AF－D 的正弦值为
19、（1）当 X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000， 当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
（2）由（1）知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值 为 0.7. （3）依题意可得 T 的分布列为
所以 ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400
20、（1）∵A（a，0），B（0，b），
，所以 M（ ， ）．∴
，解得 a＝2b，
．
解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆 E 的方程为
．
21、1 ） a =1 时， f (x) = x2 + x ? ln x(x 0) ，∴ f (x) = 2x +1? 1 = (2x ?1)(x +1) (x 0) ．
x
x
∵当
x

0,
1 2

，
f
(x)
0，
f
(x)
为单调减函数．当
x

1 2
, +

，
f
(x)
0，
f
(x)
为单调增函数．
∴
f
(x)
的单调减区间为

0,
1 2

，
f
(x)
的单调增区间为

1 2
,
+

．
（ 2 ）∵ f (x) = 2x + a ? 1 ， f (x) 在区间 (0,1] 上是减函数，∴ f (x) ≤ 0 对任意 x (0,1] 恒成立， x
即
2x
+
a
?
1 x
≤
0
对任意
x
(0,1]
恒成立．令
g(x)
=
1 x
?
2x
，
a
≤
g(x)min
．易知
g(x)
在
(0,1]
上单调递减，
∴ g(x)min = g(1) = ?1 ．∴ a ≤?1 ．
22、(1）把极坐标系下的点
化为直角坐标，得 P（0，4）。
因为点 P 的直角坐标（0，4）满足直线 的方程
，
所以点 P 在直线 上，
（2）因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为
，
于是
，∴椭圆 E 的离心率 e 为 ．
（2）由（1）知 a＝2b，∴椭圆 E 的方程为
即 x2＋4y2＝4b2（1）
依题意，圆心 C（2，1）是线段 PQ 的中点，且
．
由对称性可知，PQ 与 x 轴不垂直，设其直线方程为 y＝k（x－2）＋1，代入（1）得： （1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0
从而点 Q 到直线 的距离为
，
由此得，当
时，d 取得最小值，且最小值为 。
23（1）当
时，
，
时，
，得
时，
，得
时，
，此时 不存在
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
，
∴不等式的解集为 5
（ 2）略