非线性电路及其应用

非线性电路理论及其应用

作者于雷学号 200812301

摘要：随着时代的发展，人们对生活要求的提高，新技术的层出不穷，对电路元器件的要求上已不再是单纯的线性器件，非线性器件应运而生，随之而来的是有关对非线性期间构成电路的分析。本文首先简要介绍有关分析非线性电路方程的建立、解的存在性及有关分析方法，牛顿-拉夫逊发，小信号分析法的基础上，讨论非线性电路理论的有关应用。

关键词：非线性电路理论；非线性理论的应用；人工神经网络

一、简要：

线性电路的特点在于电路中的电路原件的参数不随电路变量（电压、电流、电荷、和磁通链）而变化。如果电路中至少有一个元件的参数与电路变量有关，此电路就称为非线性电路。相应地，参数随电路变量变化的元件则被称为非线性元件。实际上，一切电路严格说来都是非线性的。但是，在工程中往往可以不考虑元件的非线性，而认为它们都是线性的。特别的是对于那些非线性程度较弱的电路元件，采用线性化处理对电路行为不会带来本质上的差异。但是实际上电路中许多非线性元件特性不容忽视，否则就将无法解释电路中发生的现象，或者有时虽无质的方面的意义，但是却有显著的方面的影响。所以，对非线性电路的研究具有很重要的意义。

线性电阻、电容、电感或受控源元件的电路变量之间的关系是线性的。非线性电阻、电容、电感等元件的构成关系则是非线性的。线性电阻电路由线性代数方程组描述；包含动态元件的电路由线性常系数微分方程组描述。非线性电阻电路由非线性代数方程组描述，非线性是不变动态电路由非线性微分方程组描述。若电路含有时变元件时，描述电路的方程将成为时变微分方程或代数方程。因此，研究非线性电路的问题，首先遇到的是包含非线性电路元件的电路方程建立问题，以及非线性代数方程和非线性微分方程的求解问题。

求解非线性代数方程和非线性微分方程一般情况下是相当困难的，大多数情况下不能求出其精确解或解析解。因此，在进行非线性电路分析时，不得不采用某种手段获得其近似解。在较为特殊的情况下，即使获得近似解也不能说明问题，而不得不转向定性性质方面。

非线性科学是当今重大的研究课题，并成为科学发展观的一个重要标志。各学科中均有非线性问题。因此，非线性科学研究已经成为各学科分支共同关心的问题。特别是最近20年来有关非线性问题的研究有了飞跃的发展，形成一系列完整的理论与分析方法。非线性电路理论的研究属于非线性问题研究的一个方面。随着非线性科学研究的不断发展，其研究也取得了长足的进步。非线性电路的各种非线性现象随之也得到了有效的解释。

二、非线性电路的分析方法

1、分段线性化法

非线性电阻的伏安特性往往可以近似地或粗略地用一些直线段来逼近。伏安特性上的每一

段直线可以用直线的斜率和表征该直线的段的有效区域的电压、电流值唯一地确定。如下图1所示其中曲线部分为隧道二极管的伏安特性，此特性可用图中的三段直线粗略地表示。

假设这3段直线的斜率分别为： a G G =，当1v v <（为区域1）

b G G =，当12v v v <<（为区域2）

c G G =，当2v v >（为区域3）

其中的1v ，2v 分别为区域1和区域2 和区域2与区域3之间转折点的电压。

这种用有限段直线来近似代替非线性元件的伏安特性称为非线性元件的分段线性化特性。至于一个元件的时实际伏安特性究竟要用多少段直线表示，要由分析问题要求的准确程度决定。显然，为了逼近一个非线性的伏安特性，划分的线段的段数越多，则折线特性将越接近于实际情况，但是分析计算电路的工作量也会随之迅速增加。在用折线表示电阻元件的伏安特性之后，对于每一段直线都可以用戴维南或诺顿等效电路代替。如图1中的第二段直线即可表示为图2（a ）所示的戴维南电路，第三段直线可以表示为图2（b ）所示的诺顿电路。图中的电流源和电压源分别是其直线在纵轴（电流轴）和横轴（电压轴）上的截距。

若研究的非线性电路中所有非线性元件的伏安特性都是分段线性化表示的，则非线性电路的求解过程通过用各个线性区段内的诺顿或戴维南等效电路代替原来的非线性元件而化为线性电路的求解过程。这种研究非线性电路的方法称之为分段线性化法（折线法）。用分段现行化法分析电路时，可以做出非线性电路的分段线性化的等效电路，其拓扑结构和原来的电路相同，而等效参数则取决于割断直线的斜率和在坐标轴上的截距。通常在电路求解开始时并不知道各个电路元件的确切工作区域，往往需要用试探的方法分析。假定某个非线性元件用某段直线表示，就等于说假定了该元件的电压和电流的取值范围。在该电压、电流的取值范围内可以进行各种计算和处理，以求得需要的电路工作点。例如在求电路的工作点时，可以任选一组非线性元件的直线段的组合，据此可算出各条支路的电压和电流。若计算出的电压或电流正好是在设定的取值范围内，则该假定计算的结果便是正确的；若计算出的电压或电流没有在设定的取值范围内，则该假定下计算的结果是不合理的。如果一个电路有m 个非线性元件，而某一非线性元件又是用n 段直线表示的，那么从存在工作点的可能性来看，就需要把所有可能的组合搜算出来以获得最后结论。也就是说需要对电路进行1n 2n …m n 次分析。在电路比较复杂时，非线性元件个数较多，并且元件特性含有较多的直线段，用分段线性法对电路进行分析需要很大的工作量。

2、牛顿-拉夫逊法

牛顿-拉夫逊法是一种迭代方法。

对于一维系统，若非线性代数方程为

()0f x =

设方程有解*x ，解*x 必然是()f x 曲线与x 轴的焦点，如图3所示，求解的步骤如下。

（1） 首先给定一个比较合合理的初估数值0x 作为方程()0f x =的解，若恰巧

0()0f x =，则方程的解*0x x =，否则就对初估数值0x 修正。

（2） 取修正值00x x +?，0x ?充分小，将00()f x x +?在0x 附近展开成泰勒级数，得

到

00

200000221()()()2!x x df d f f x x f x x x dx dx +?=+?+

?+ （3） 并且有如下公式：

000()0x df f x x dx +

?=

只要0

0x df

dx ≠，便可以确定出第一次修正值100x x x =+?，若1()0f x =，则*1x x =，若1()0f x ≠，同理，则由1x 确定出第二次修订值2x ，如此继续迭代，以至在第（k+1）次迭代时，有

000()x f x x df

dx ?=-

1()k k k k k k

x f x x x x x df

dx +=+?=- （*） 上式的条件是k

x df

dx 不为零。如果1()0k f x +=，则*1k x x +=，迭代结束，否则迭代继续。

实际上，只要1()k f x +足够校，即

1()k f x ε+<

迭代就可以结束。式子中ε为预先指定的一个足够小的正实数。

式子（）*对就是牛顿-拉夫逊法的迭代公式。根据这个迭代公式，有

()k k k

x f x x df

dx ?=- 此式表明，从()f x 曲线上((),)k k f x x 一点做切线，该切与x 轴的交点即为1k x +，图3中，在k x ?区间，牛顿-拉夫逊法 把()f x 曲线的ab 段用切线的直线ac 段来代替。

应用牛顿-拉夫逊法时，x 的初估值的选取很重要，初估值选得好，迭代就会很快收敛，且迭代次数少；如果x 的初估值选得不好，就有可能产生迭代震荡或发散，为了检验迭代过程是否收敛较慢或发散，通常要预先规定迭代次数，入伏哦迭代次数达到规定次数时，其结果仍不符合要求，就强迫迭代结束，另选初估值进行迭代计算。

对于非线性方程组仍可用牛顿-拉夫逊法，设非线性方程组为

11221212(,,,)0

(,,,)0

(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x ===

（**）

在第k 次迭代时所得修正值用k i x 表示，且令

12(,,)k k k k j j n f f x x x =

如果所有k i x 都确定，且所有k j f 都为零（或小于预先指定的一个小的正实数ε），则k i x 将会满足上述非线性代数方程（**），因此k i x 就是所需要的解。如果k i x 不满足，则1k j f +的值就

用多元函数j f 在点12(,,,)k k k n x x x 附近展开为泰勒级数，然后取一次项近似表示，即有

111()k

n j k k k k j j i i i i f f f x x x ++=???=+- ????

∑

令10k i f +=，就能推导出迭代公式如下

11()k

n j k k k i i j i i f x x f x +=???-=- ????∑ 计及所有1k j f +，将有下列矩阵形式

11111221k k n k k n n k k n n n f f x f x x x f f f x f x x ?????????-????????

???-????=?????????????????-??????????????

其中的1k k k i i i x x x +?=-。在求解过程中，当对所有的j ，有0j f =时，则方程右面的列向量为零，迭代收敛。上式左面的系数矩阵称为雅可比矩阵。

3、应用友网络模型求解非线性电阻电路

上述用牛顿-拉夫逊法求解非线性电阻电路问题时，首先要列写该电路的非线性代数方程组，然后在方程的解的初步估算附近将非线性方程线性化，逐次迭代求得其近似解。但是，每次迭代，不仅要计算雅可比矩阵，而且还要对它求逆，才能计算出下一次修正值，计算时间长。在此根据牛顿-拉夫逊法的思想，先对每个非线性电阻的伏安特性在该电阻电压的股指附近线性化，导出迭代时的非线性电阻的模型，构成非线性电阻电路的友网络再进行计算。

设某非线性电阻的伏安特性为

()i f u =

令k u 和1k u +表示的第k 次和第1k +次的电压估值，则对应 电流()k k i f u =，11()k k i f u ++=。把1()k f u +在k u 附近展开成泰勒级数，得到

21111221()()()()2!k k

k k k k k k k u u df d f i f u f u u u u u du du ++++==+-+-+ 由于1k k u u +-很小，故取泰勒级数的线性部分，于是得

k 111i ()()()k k k k k k k k k d d u

df f u u u f u G u G u du +++=+-=+- 式k

k d u df G du =是非线性电阻在((),)k k f u u 的动态电导。由于()k k i f u =，故上式可写成 11k k k k k k d d i i G u G u ++=+-