雅礼中学高三年级第一次模拟考试
雅礼中学2015届高三年级第一次模拟考试
数学(文科)
(时量：120分钟，满分：150分)
一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）
1．设集合}02|{=+=x x A ,集合}04|{2
=-=x x B ,则=B A I （） A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．? 【答案】A
2．复数2
(1)z i =+的实部是 A ．2B ．1C ．0D ．1- 【答案】C
3．命题“042,2
≤+-∈?x x R x ”的否定为（ ）
A ．042,2≥+-∈?x x R x
B ．042,2
>+-∈?x x R x
C ．042,2≤+-??x x R x D.042,2
>+-??x x R x
【答案】B.
4．为了得到函数3y x =的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin +=的图象（）
A ．向右平移
12π
个单位长B ．向右平移
4π
个单位长
C ．向左平移12π个单位长
D ．向左平移4
π
个单位长
【答案】A
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是
A ．2
B ．92
C ．3
2
D ．3
【答案】D
6
．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤??
≤??≤?
给定．目标函数
25z x y =+-的最大值为（）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．5- 【答案】A
7．设在△ABC 中，3AB BC ==，30ABC ∠=?，AD 是边BC 上的高，则AD AC ?u u u r u u u r
的
值等于（） A.0B.
94C.4D.94
- 【答案】B 【解析】：由于
,()cos ,AC BC BA AD AC AD BC BA AD BA AD BA =-∴?=?-=-??<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.由于
31,3,cos ,cos12022AD BA AD BA ==<>==-u u u r u u u r u u u r u u u r .所以AD AC ?u u u r u u u r =94
.故选B.
8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如图（1），在平行四边形ABCD
中，有)(22
222AD AB BD AC +=+，那么在图（2）的平行六面体1111D C B A ABCD -中有2
12
12
12
1DB CA BD AC +++等于()
211 侧视图
俯视图
x
A ．22212()A
B AD AA ++B ．222
13()AB AD AA ++ C ．222
14()AB AD AA ++D ．22
3()AB AD +
【答案】C
9．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是（）
A ．2(,)3
+∞B ．4
(,)3
+∞
C ．2(0,)3
D ．24(,)33
【答案】A
【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为1122c PF r PF r ==，，．利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c 的范围即可求出12e e +的取值范围;
设椭圆与双曲线的半焦距为1122c PF r PF r ==，，．由题意知12102r r c ==，，且
12212r r r r ＞，＞，
2102210c c c ∴+＜，＞，
55
2
c ∴＜＜,
211212222222102525c c c c c c c e e a r r c c a r r c
∴==---++双椭＝
＝＝；＝＝， 22122
2222555253
1c c c e e c c c c ∴-=-==>-+--，故选A
10．已知函数22|2|,04,
()23,46x x x f x x ---≤
，若存在12,x x ，当12046x x ≤<≤≤时，
12()()f x f x =，则12()x f x ?的取值范围是（）
A 、[0,1)
B 、[1,4]
C 、[1,6]
D 、[0,1][3,8]U
【答案】B
【解析】：当1204x x <≤≤≤6时，因为12()()f x f x =，得到1x 的取值范围是[1,3]，所
以2
1121111211
,
2,()()(22)4,2 3.x x x f x x f x x x x x x ?
二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）
11．曲线C:22cos 2sin x y α
α
=-+??
=?（α为参数），若以点()0,0O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ． 【答案】4sin ρθ=-
12．在等差数列{}n a 中，1a ，2015a 为方程016102=+-x x 的两根，则
=++201410082a a a 15
13．已知实数]30,2[∈x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是________．
【答案】
914
14．如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=6
+6θ
cos θsin
.
【答案】-1 【解析】：从图中得出，第一个到第二个OA 转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以
=6
+6θ
cos θsin 1180cos 180sin -=+οο.
15．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x
C y e =在()0+∞，上存在公共点，则a 的取
值范围为
【答案】2,4e ??+∞????
【解析】：根据题意，函数与函数在()0+∞，上有公共点，令2
x
ax e =得：2x
e a x
=
设()2x e f x x =则()22
2x x
x e xe f x x -'=
由()0f x '=得：2x =
当02x <<时，()0f x '<，函数()2x
e f x x =在区间()0,2上是减函数，
当2x >时，()0f x '>，函数()2x
e f x x =在区间()2,+∞上是增函数，
所以当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+∞，上有最小值()2
24e f =
所以2
4
e a ≥
三、解答题（本大题共6个小题，共计75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知π
6
C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ．
（1）求A 的值；
（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =u u u r u u u r
，AD =ABC 的面积．
【解析】：（1）由题意知sin cos 0A B ?=+=m n ，
又π6C =
，πA B C ++=，所以5π
sin cos()06
A A +-=，
即1
sin sin 02A A A +=，即πsin()06A -=，
又5π06A <<，所以ππ2π()()663A -∈-,，所以π06A -=，即π
6
A =．6分
（2）设BD x =u u u r ，由3BD BC =u u u r u u u r ，得3BC x =u u u r
，
由（1）知π6A C ==
，所以3BA x =u u u r ，2π
3
B =，
在△ABD
中，由余弦定理，得2222π=(3)23cos 3
x x x x +-??， 解得1x =，所以3AB BC ==，
所以112πsin 33sin 223ABC S BA BC B =
??=???Δ12分 17．（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.
8709
201012n m 甲
组乙组 （1）分别求出m ，n 的值；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2
s 乙，并由此
分析两组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.
（注：方差2222121
=[()()()]n s x x x x x x n
-+-+-+L ，其中x 为数据12,,,n x x x L 的平均数）.
【解析】：（1）根据题意可得：10)10121087(5
1
=+++++=
m x 甲，∴3=m ，10)1211109(5
1
=++++=n x 乙，∴8=n ；
（4分） （2）根据题意可得：
2
222221[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s =-+-+-+-+-=甲，
2
222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25
s =-+-+-+-+-=乙，
∵乙甲x x =，2
2
乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（8分） （3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)8,7(，)9,7(，)10,7(，
)11,7(，)12,7(，)8,8(，)9,8(，)10,8(，)11,8(，)12,8(，)8,10(，)9,10(，(10,10)，
(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(138)，，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,8(，)9,8(，共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有
25520-=，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为
204
255
=.（12分） 18．（本小题满分12分）已知数列{}n n a n S 的前项和是，且*1
1().2
n n S a n N +=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设*
31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程
122311112551
n n b b b b b b ++++=L 的正整数n 的值。
【解析】：（Ⅰ）1n =时，11112
123
a a a +
==，（2分） 2n ≥时，11111112
()1212n n n n n n n n S a S S a a S a
----?
=-??-=-?
?=-??，，11(2)3n n a a n -∴=≥（4分） {}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，1211()2()333
n n
n
a -=?=（6分） （Ⅱ）11
()331311
1log (1)log (1)23
n n n n n n S a b S n ++-===-==-+，（8分）
1111
12
n n b b n n +=-++ 1223111111111111()()()23341222
n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-+++L L （11分） 11251002251
n n -==+，（12分） 19．（本小题满分13分）已知长方体1111ABCD A B C D -，点1O 为11B D 的中点.
1
A
（1）求证：1//AB 面11AO D ； （2）若12
3
AB AA =
，试问在线段1BB 上是否存在点E 使得1A C ⊥AE ，若存在求出
1
BE
BB ，若不存在，说明理由. 【解析】：（1）证明：连结1AD 交1A D 于点G ，所以G 为1AD 的中点，连结1O G
Q 在11AB D ?中，1O 为11B D 的中点
11//O G AB ∴Q 1O G ?面11AO D 且1AB ?面11AO D
∴1//AB 面11AO D 6分
1
A
（2）若在线段1BB 上存在点E 得1A C ⊥AE ，连结1A B 交AE 于点M
BC ⊥Q 面11ABB A 且AE ?面11ABB A BC AE ∴⊥
又1AC BC C =Q I 且1,A C BC ?面1A BC AE ∴⊥面1A BC
1A B ?Q 面1A BC 1AE A B ∴⊥
在AMB ?和ABE ?中有：90,90BAM ABM BAM BEA ∠+∠=?∠+∠=?
ABM BEA ∴∠=∠同理：1BAE AA B ∠=∠
1Rt Rt ABE A AB ∴??:1
BE AB
AB AA ∴
= 123AB AA =
Q 124
39
BE AB BB ∴==即在线段1BB 上存在点E 有
149BE BB =13分
M
E
O1
D
C
C1
A1
D1
B1
A
20．（本小题满分13分）已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则1
2
p
=，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.（2分）
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由
2
1,
4
y kx
x y
=+
?
?
=
?
消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝21
k+
由
1
1
,
2,
y
y x
x
y x
?
=
?
?
?=-
?
解得点M的横坐标11
2
1
111
1
228
4
4
M
x x
x
x
x y x
x
===
--
-
.
同理点N的横坐标x N＝
2
8
4x
-
.（8分）
所以|MN|2|x M－x N|
12
88
2
44
x x
-
--
＝12
1212
82
416
x x
x x x x
-
-(+)+
＝
2
821
|43|
k
k
+
-
.（10分）
令4k －3＝t ，t ≠0，则3
4t k +=
. 当t ＞0时，|MN |
＝当t ＜0时，|MN |
＝≥综上所述，当253t =-，即43k =-时，|MN |
.（13分）
21．已知函数x c x x x g R b a bx ax x x f ln 1
22)(),,(2ln )(2
-+-=∈-+=.
(1)当1,2
1
≤=b a 时，)(x f 与)(x g 在定义域上单调性相反，求c b +||的最小值。
（2）当02>>
a b 时，求证：存在R m ∈，使m x f =)(有三个不同的实数解
321,,t t t ，且对任意}3,2,1{,∈j i 且j i ≠都有
)(22
j i j
i t t a b t t --<+.
【解析】：(1)因为22'
'2
2212(2)(),();(1)ax bx cx c x c
f x
g x x x x -+-+--==+---------2
分。
当12a =时，2'
21()x bx f x x -+=；当1b ≤时，2
210x bx -+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，
所以，0)('
≥x f 对(0,)x ∈+∞恒成立，所以，()f x 在(0,)x ∈+∞上为增函数。
根据()f x 和()g x 在定义域上单调性相反得，()g x 在),0(+∞上为减函数，所以'
()0
g x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，即：2
4(1)x c x ≤+，所以
24(1)x
c x ≥
+
因为2
41(1)x x ≤=+，当
且仅当1x =时，2
4(1)x
x +取最大值1.所以1c ≥，此时||b c +的最小值是1，-------6分
(2)因为2'
221(),
ax bx f x x -+=
当0b >时，0a >，且一元二次方程
22210ax bx -+=的2
4(2)0b a ?=->，所以22210ax bx -+=有两个不相等的实
根
12x x =
当1(0,)x x ∈时，()f x 为增函数；1()(,())f x f x ∈-∞ 当12(,)x x x ∈时，()f x 为减函数；21()((),())f x f x f x ∈
当2(,)x x ∈+∞时，()f x 为增函数；2()((),)f x f x ∈+∞
所以当21((),())m f x f x ∈时，()f x m =一定有3个不相等的实根1t ，2t ，3t 分别在1122(,)+x x x x -∞∞、(，)、(，
)内，不妨设i j
t t <，因为
(),()i j f t m f t m
==，所以
()()
i j f t f t =即
22ln 2ln 2i i i j j j
t at bt t at bt +-=+-即
22ln ln ()2()
i j i j i j t t a t t b t t -=--+-
即
1
ln ()2i i j i j j
t a t t b t t t =-++-所以
1
ln ()2i i j i j j
t a t t b t t t =-++-
所以
221
[2()]ln i i j i j i j i j j t b a t t t t t t t t t --+=-++-]ln )(2[1tj
t t t t t t t i j i j i j i -+--=
]ln 1)1(
2[1tj
t t t t t t t i j
i j
i
j i -+--=，令t tj t i
=，则
t t t tj t t t t t i j
i j i
ln 1)
1(2ln 1)1(
2-+-=-+-
由（1）知
x x x x g ln 12
2)(-+-=
在),0(+∞上为减函数，又0)1(=g
所以当，10<
所以,0)](2[2
<+--+j i j
i t t a b t t 即).(22
j i j
i t t a b t t +-<+8分