2016天津高考试题及答案-理科数学

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

?如果事件A ，B 互斥，那么

?如果事件A ，B 相互独立，那么

()()()P A B P A P B =+U . ()()()P AB P A P B =.

?棱柱的体积公式V Sh =.? 棱锥的体积公式13

V Sh =

. 其中S 表示棱柱的底面面积， 其中S 表示棱锥的底面面积， h 表示圆柱的高. h 表示棱锥的高.

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合}{4,3,2,1=A ，}

{A x x y y B ∈-==,23，则=B A I （ ） （A ）}{

1

（B ）}{4

（C ）}{3,1

（D ）}{

4,1 （2）设变量x ，y 满足约束条件??

?

?

???-+-++-.0923,0632,

02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为

（A ）4-

（B ）6

（C ）10

（D ）17

≤ ≥ ≥

（3）在ABC ?中，若13=AB ，3=BC ，ο120=∠C ， 则=AC （ ）

（A ）1

（B ）2

（C ）3 （D ）4

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6

（D ）8

（5）设}{n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则

“0＜q ”是“对任意的正整数n ，0212＜n n a a +-”的（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线

1422

2=-b

y

x ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（ ）

（A ）143422=-y x （B ）134422=-y x （C ）144222=-y x （D ）112

42

2=-y x （7）已知ABC ?是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ?的值为（ ）

（A ）85-

（B ）8

1 （C ）

4

1

（D ）

8

11 （8）已知函数???

??+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a

＜（0＞a ，且1≠a ）在R 上单调递减，且

关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）

（A ）]3

2

,0(

（B ）]4

3,32[

≥ （第4题图）

（C ）Y ]32,31[{4

3

} （D ）Y )32,31[{

4

3} 绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数 学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若a b =-+)i 1)(i 1(，则

b

a

的值为_____________. （10）82)1

(x

x -的展开式中7x 的系数为_____________.（用数字作答）

（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积 为_____________3

m .

（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，

22==AE BE ，ED BD =，则线段CE 的长

为_____________.

（13）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间

)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2

(1

--f f a ＞，

则a 的取值范围是_____________.

（14）设抛物线?

??==pt y pt x 2,

22（t 为参数，0＞p ）的焦

点F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为

B .设)0,2

7

(p C ，AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=，

且ACE ?的面积为23，则p 的值为_____________.

三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知函数3)3

cos()2sin(

tan 4)(---=π

π

x x x x f .

（Ⅰ）求)(x f 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间]4

,4[π

π-上的单调性.

（16）（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列 和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面⊥OBEF 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2==BE AB .

（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角C EF O --的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且HF AH 3

2

=

，

求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.

（Ⅰ）设2

21n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列}{n c 是等差数列；

（Ⅱ）设d a =1，∑=-=n

k k

k

n b T 21

2)1(，*

∈N n ，求证21211d T n

k k

＜∑

=.

（19）（本小题满分14分）

设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FA

e

OA OF 311=

+， 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点

M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范

围.

（20）（本小题满分14分）

设函数b ax x x f ---=3

)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．

41

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数 学（理工类）

一、选择题： （1）【答案】D （2）【答案】B （3）【答案】A （4）【答案】B （5）【答案】C （6）【答案】D （7）【答案】B （8）【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题： （9）【答案】2 （10）【答案】56- （11）【答案】2

（12） （13）【答案】13

(,)22

(14) 三、解答题 （15）

【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z π

π??≠

+∈???

?

，.π（Ⅱ）在区间,124ππ??

-????上单调递增, 在区间

412π

π??--????

，上单调递减. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π

-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,

44

ππ

-

]上单调性

试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z π

π??

≠

+∈???

?

. ()

4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ???

?=-=- ? ????

?

2

1=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ??+-=+ ? ???

)()

=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23

x x x x x π

+=-

.

所以, ()f x 的最小正周期2.2

T π

π=

= ()II 解：令2,3z x π

=-

函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ??

-++∈????

由2222

3

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+,得5,.12

12

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ????=-

=-+≤≤+∈????????

，易知,124A B ππ??

=-????I .

所以, 当,44x ππ??∈-????时,()f x 在区间,124ππ??-????上单调递增, 在区间412π

π??--????

，上单调递减.

考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】（Ⅰ）1

3

（Ⅱ）详见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：2

10C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112

344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）

先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望

试题解析：解：()I 由已知，有

()112

3442

101

,3

C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为

13

. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.

()222

334

2

100C C C P X C ++==415

=

， ()11113334

2

107115

C C C C P X C +===

， ()1134

2

10

4215

C C P X C ===

. 所以，随机变量X 分布列为

随机变量X 的数学期望()0121151515

E X =?+?+?=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17)

【答案】 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量

数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值

试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF u u u r u u u r u u u r

的方向为x

轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，

()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.

（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r .设()1,,n x y z =u r 为平面ADF 的法向量，

则1100

n AD n AF ??=???=??u r u u u r u r u u u r

，即2020x x y z =??-+=? .不妨设1z =，可得()10,2,1n =u r ，又()0,1,2EG =-u u u r ，可得10EG n ?=u u u r u r

，又因为直线EG ADF ?平面，所以//EG ADF 平面.

（II ）解：易证，()1,1,0OA =-u u u r

为平面OEF 的一个法向量.依题意，

()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-u u u r u u u r .设()2,,n x y z =u u r 为平面CEF 的法向量，则220

n EF n CF ??=???=??u u r u u u r u u r u u u r

，即0

20x y x y z +=??

-++=?

.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-u u r . 因此

有222

cos ,3OA n OA n OA n ?<>==-

?u u u r u u r

u u u r u u r u u u r u u r ，于

是2sin ,3OA n <>=u u u r u u r ，所以，二面

角

O EF C --

（III ）解：由23AH HF =，得2

5

AH AF =.因为()1,1,2AF =-u u u r ，所以

2224,,5555AH AF ??==- ???u u u r u u u r ，进而有334,,555H ??

- ???

，从而284,,555BH ??= ???u u u r

，因此

222

cos ,21BH n BH n BH n ?<>==-

?u u u r u u r

u u u r u u r u u u r u u r .所以，直线BH 和平面CEF

所成角的正弦值为21. 考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：2

1n

n n b a a +=，从而22

112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：

()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和

化简()

221

1n

n

n n k T b ==

-∑()()()22

22221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂

项相消法求和()222111111111111212121n

n n k k k k

T d k k d k k d n ===????

==-=?- ? ?+++????∑∑∑，易得结论.

试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，

因此()2

12122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.

（II ）证明：()()()

2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+

()()

()22224222212

n n n a a d a a a d d n n +=+++=?

=+L

所以()2222

111111111111

12121212n

n n k k k k

T d k k d k k d n d ===????==-=?-< ? ?+++????∑∑∑.

考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）

【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),4

6[]46,(+∞--∞Y 【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由

113||||||c OF OA FA +=，得113()c

c a a a c +=-，

再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠?

||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1

M x =，

再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组

求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由

113||||||c OF OA FA +=，即113()

c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为

22

143

x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，

由方程组??

???-==+)2(13

42

2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2

222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而3

4122

+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(22

2++-=k k

k k BF .由HF BF ⊥，得0=?HF BF ，所以03412344922

2=+++-k ky k k H

，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k

k x k y 124912

-+

-=.

设),(M M y x M ，由方程组??

???-=-+

-=)

2(124912

x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202

2++=k k x M .在MAO ?中，||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠，即2222)2(M M M

M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1

)

1(129

2022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4

6

[]46,(+∞-

-∞Y . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】 （20）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2

)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3

)1(2

0a

x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由

)

()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较

(1),(1)f f -

，

||,|(|33f f -的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，

33120331a

a +≤<≤-

，

②

当

3

34

a ≤<时，

3

321233133103321a

a a a +≤<+<-<≤-

，③

当

3

04

a <<

时，

23

313310<+<-

a . 试题解析：（Ⅰ）解：由

b ax x x f ---=3

)1()(，可得a x x f --=2

)1(3)('. 下面分两种情况讨论：

（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2

≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为

),(+∞-∞.

（2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331a

x +

=，或3

31a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：

所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a

a +-

，单调递增区间为)3

31,(a --∞，),3

31(+∞+

a

. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得

0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =

-， 进而b a

x a b ax x x f ---=---=3

32)1()(00300.

又b a ax x a

b x a x x f --+-=----=-32)1(3

8)22()22()23(000300

)(3

3200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足

)()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；

（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理： （1）当3≥a 时，3

3120331a

a +≤<≤-

，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此

|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=

??

?<++--≥+++-=0

),(10

),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当

34

3<≤a 时，3321233133103321a

a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)3

31()3321()0(a f a f f +=-

≥，)331()3321()2(a f a f f -=+≤，

所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]3

31(),331([a

f a f -+

，因此 |}39

2||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a a

b a a a a f a f M -----=-+

= |})(39

2||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--

= 4

14334392||392=???≥++=

b a a a . （3）当4

30<

a ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， )331()3321()0(a f a f f +=-

<，)3

31()3321()2(a

f a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此

|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=

4

1

||1>

++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于4

1. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】