赵明旺版习题解答_现控理论_第2章

习题解答

2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出量。试列写状态空间模型。

题图2-1

解:?(1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.

()()()1

()()()()()

i L C L C R C C d

U t L

i t U t dt

d i t i t i t C U t U t dt R

=+=+=+

(2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t?t 0时

刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t?t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即

x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有

1221211

11

i dx x U dt L L

dx x x dt C RC

=-+=-

经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程

11i 22110110x x L U L x x C

RC ??

-??????????=+????????-?

?????

??????

&& (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

1221110C x y U x x R R R ??

?

?=

==?????

???

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达

式

1

1

i 221211011010

x x L U L x x C RC x y x R ??-??

????????=+????????

-?

???????????????=?????

???

&&

2-2 如题图2-2所示为RLC 电路网络,其中1()v t 为输入电压,2()v t 为输出电压。试列写状态

空间模型。

题图2-2

解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.

11

21d d d d d d d d C L L C C

C L u i L R i C u t t u u u R C R i C t t ???+-=? ???

??

??

?+=- ????

?

(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题

x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分

方程组--状态方程

121121211122112121()()10()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C --??

????++????????=+????????-??

??????

++??

&& (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

()1121

2111221212d d ()

()C

L x u R R R y u R i C R x Cx x t R R R R ?????

?

==-=-=???? ?

++?

???

??&

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达

式

121121211122112121121

212121()()1

0()()()

()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C x R R R y x R R R R --??

?

?

??++????????=+????????-???????

?

++??

????=?

???

++??

??&&

2-3 设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u 和y

为分别为小车和质量体的位移,k 、b 和m 分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立u 为输入,y 为输出的状态空间模型。

题图2-3

解：下面推导安装在小车上的弹簧－质量－阻尼器系统的数学模型。假设0

不动,并且安装在小车上面的弹簧－质量－阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。在这个系统中,()u t 是小车的位移,并且是系统的输入量。当0t =时,小车以定常速度运动,即u =&常量。质量的位移()y t 为输出量（该位移是相对于地面的位移）

。在此系统中,m 表示质量,b 表示黏性摩擦系数,k 表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与y u

-&&成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与y u -成正比。 对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：

ma F =∑

式中,m 为质量,a 为质量加速度,F ∑为沿着加速度a 的方向并作用在该质量上的外力之和。对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：

22()d y dy du m b k y u dt dt dt ??

=---- ???

即： 22d y dy du

m b ky b ku dt dt dt

++=+

这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到：

)()()()(2s U k bs s Y k bs ms +=++

取)()(s U s Y 与之比,求得系统的传递函数为：

2

()()()Y s bs k

G s U s ms bs k

+=

=++ 下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程

b k b k

y y y u u m m m m

+

+=+&&&& 与下列标准形式比较：

1212o y a y a y b u b u b u ++=++&&&&&&

得到：

1b a m =

, 2k a m =, 0o b =, 1b b m =, 2k b m

= 即而得到：

0011102

2211200b b

b a m

k b b a a m m ββββββ===-=

??

=--=- ?

??

并定义：

102111x y u y b x x u x u m

ββ=-==-=-

&& 可得到：

1212222112212b x x u x u m

k b

k b x a x a x u x x u m m m m ββ=+=+

????=--+=-

-+-?? ??????

?&& 输出方程为：

1y x =

即：

[]11222120110b x x m u

k b x x k b m m m m x y x ??????????????=+????????--

????????-?

?

?? ?????

??

=??

??

&&

2-4 题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m 为登月舱质量,g 为月球表面重力常

数,m k &-项为反向推力,k 为常数,y 为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态

变量组m x y x y x ===321 , 和&,输入变量 m u &= ,试列出系统的状态方程。

题图2-4

解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。

对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组

m x y x y x ===321 , 和& 。

基此,利用力学定律并考虑到输入变量m u &=,先来导出

122333

3x y x k gm g k x y m x u m m x x x m u

====

-=-+==&&&&&&&& 在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程：

????????????+???????????????

???????-=?????

?????1 0 0 0 0 0 00 1 033321321x k x g x x x x x

x &&& 且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。

2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩

擦,其摩擦系数为f ;电动机轴上的转动惯量为J 。设输入为电枢电压u a 和激磁电压u f ,输出为电机转角θ,试列出系统的状态空间模型。

题图2-5

解 设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为

22d d d d d d a a a a

f

f f f f

u R i E i u R i L t

M J f

t t

θθ=+=+=+ 式中,E a 和M 分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且

d d d d a

e e f

E C k i t t

θθ

=Φ

=, m a m f a M C i k i i =Φ= 式中,C e 和C m 分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；?为磁场的磁通量，其正比于励磁

回路电流i f ；k e 和k m 分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为

22d d d d d d d d a

a a e f f f f f f

m f a u R i k i t

i u R i L t k i i J f

t t θθθ?

=+??

?

=+??

?=+??

(2-13)

对于上述微分方程组,若已知电枢电流i f (t )、角位移θ(t )及其导数t t /d )(d θ在初始时刻t 0

的值,以及电枢电压u a 和励磁回路电压u f ,则方程组有惟一解。因此,可以选择状态变量为

123d ()

()(),()(),()d f t x t i t x t t x t t

θθ===

因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为

1

12313313

131---f f f f m m a e a a R x x u L L x x k k u k x x f f x x i x x x J J J R J ?=+???=??

??-?== ?????

&&& 输出方程为

y =θ=x 2

由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为

11

23

2311332

1

--f f f f m m e a a a R x x u L L x x k k k f

x u x x x x JR JR J y x ?=+???=???=

-??=&&&

2-6 题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率常数为k 的一级吸热反应

A k→B

该化工反应生产过程为:温度为常量θf,含A物质浓度为常量C Af的料液以Q(t)的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为Q(t),保持单元内液体体积为V;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度θ(t)和物质B的浓度C B(t)为输出,建立状态空间模型。

题图2-6

参见2.2小节例题

2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。

(1) 2635y y y y u +++=&&&&&&

(2) 23y y u u -=-&&&&&&

(3) 45222y y y y u u u u +++=+++&&&&&&&&&&&&

解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有

a 1=2, a 2=6, a 3=3,

b =5

当选择输出y 及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为

10000103625[10

0]????

????=+????????---????

=x x u y x

& (2) 先将方程变换成y 的首项的系数为1,对方程两边除以2，得

311

222

y y u u -

=-&&&&&&

由所求的系统输入输出方程,有

a 1=0, a 2=0, a 3=-3/2,

b 0=1/2, b 1=0, b 2=0, b 3=-1/2,

故由式(2-17)可得

001110221120331221301/2

1/4

b b a b a a b a a a ββββββββββ===-==--==---=

因此,当选择状态变量

102103210121212x y u y u x y

u u y u x y u u u y u ββββββ?

=-=-??

?

=--=-??

?

=---=-??

&&&&&&&&&&&&& 时,可写出状态空间模型为

010000103/2001/41

[100]2

u

????????=+????????????=+x x u y x &

(3) 由所求的系统输入输出方程,有

a 1=4, a 2=5, a 3=2,

b 0=2, b 1=1, b 2=1, b 3=2,

故由式(2-17)可得

001110221120331221302

7

19

43

b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-=--==---=-

因此,当选择状态变量

1021032102721972x y u y u x y u u y u u x y

u u u y u u u ββββββ=-=-??

=--=+-??=---=-+-?&&&&&&&&&&&&&& 时,可写出状态空间模型为

1070011925443[10

0]2u

-????

????=+????????----????

=+x x u y x &

2-8将下列传递函数转换为状态空间模型

(1) 232

21840

()6116s s G s s s s ++=+++

(2) 2221

()56

s s G s s s ++=++

(3) 2

3(5)

()(3)(1)s G s s s +=++

解 (1) 由系统特征多项式611623+++s s s ,可求得系统的极点为

s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

于是有

3

32211)(s s k s s k

s s k s G -+-+-=

其中,

112233

[()(1)]12[()(2)]12[()(3)]

2

s s s k G s s k G s s k G s s =-=-=-=+==+=-=+= 故当选择状态变量为G (s )分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为

100102010031[12122]-????????=-+????????-????=-x x u y x

& (2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下

2222135()11()5656

s s s G s G s s s s s ++--==+=+++++% 由系统特征多项式256s s ++,可求得系统的极点为

s 1=-2, s 2=-3

于是有

1212

()1k k

G s s s s s =+

+-- 其中,

1223[()(2)]1

[()(3)]4

s s k G s s k G s s =-=-=+==+=-%%

故当选择状态变量为G (s )分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为

201031[14]-????

=+????-????=-+x x u y x u

& (3) 由系统特征多项式2(3)(1)s s ++,可求得系统的极点为

s 1=s 2=-3, s 3=-1

于是有

3

31112

2

111)()(s s k s s k s s k s G -+-+

-=

其中

2112

2122311[()(3)]3,

d

[()(3)]3,d [()(1)]3s s s k G s s k G s s s

k G s s =-=-=-=+=-=

+=-=+=。

故当选择状态变量为G (s )分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为

310003010011[333]????-????=-+????????-????=--x

x u y x

&

2-9 试求题图2-9所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。

题图2-9

解： 系统方框图变换成：

则状态空间表达式x

Ax Bu y Cx Du =+??=+?

&中：

???

?

???

?????

?????

???-----=00

1

00

001000000/00

/00//1/00000

/000/2

1111

1

111J k J k J k J J k k k k k k k A b n p p p p

??????

?

??

???????????=00000/1p k k B , []010000=C , 0=D

2-10 给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为y u 和,试列出系统

的一个状态空间模型。

题图2-10

解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一

阶环节的输出取为状态变量1234,,,x x x x 。进而,利用每个环节的因果关系,可以导出变换域变量关系式：

()()()(){}

12310

????52

x s u s x s x s s =--????+ ()()()()(){}212342

?????x s x s x s x s x s s

=-++ ()()()()(){}312342

?????1

x s x s x s x s x s s =-+++ ()()(){}4231

???3

x

s x s x s s =-+ 基此,可以导出变换域状态变量方程：

()()()()()1123?????2505010sx

s x s x s x s u s =--++ ()()()()()21234?????2222sx

s x s x s x s x s =-++ ()()()()()31234?????222sx

s x s x s x s x s =-++ ()()()()4234????23sx

s x s x s x s =-- 将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用(){}1i i L sx s x -=&,就定义此方块图的状态变量方

程：

112321234312344234

250501022222223x x x x u

x x x x x x x x x x x x x x =--++=-++=-++=--&&&&

再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：

11223

3442 50 50 010 2 -2 2 2 0 2 -2 1 2 0 0 1 -1 -3 0x x x x u x x x x --????????????????????????=+????????????????????????

????&&&& 进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出

方程：

[]12

340 1 1 0x x y x x ??????=-????????

2-11已知系统的状态空间模型为

3001015220021053016

20????

????=+??????????????

=????

&x x u y x

现用%x =P x 进行状态变换,其变换矩阵为

100020003P ??

??=??

????

试写出状态变换后的状态方程和输出方程。

解 本题的线性变换为%x =P x ，因此相应的各个矩阵的变换公式为

11,,,A PAP B PB C

CP D D --====%%%% P 的逆矩阵为

110

001/20001/3P -????=??????

因此有

113

0010254/3400

31015301/36

10A PAP B PB C CP --????

????====?

???

??????????==???

?

%%%

故系统在新的状态变量x ~下的状态空间模型为

3

0010254/340031015301/36

10????

????=+??????????????

=????

x x u y x

&%%%

2-12 求下列各方阵A 的特征值、特征向量和广义特征向量。

(1) 1302A ??

????

＝

(2) 122212221A ??

??=??

???? (3) 010001254A ??

??=??

??-??

(4) 0

100018126A ????=??

??---??

解 (1) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=1, λ2=2

计算对应于λ1=1的特征向量。按定义有

(λ1I -A )v 1=0

将A 、λ1和v 1代入上式,有

111203001v v -??

??=????-????

该方程组有无穷组解。由于 n -rank(?1I -A )=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T

T

111

11

00v v v ==

令v 11=1, 可得如下独立的特征向量

[]T

110v =

再计算对应于重特征值λ2= 2的特征向量。按定义有

(λ2I -A )v 2=0

将A 、λ2和v 2代入上式,有

212213000v v -????=????????

由于 n -rank(?2I -A )=1,该方程组有特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T

T

221

2222

223v v v v v ==

因此,令v 22=1,解之得

[]T

231v =

(2) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=-1, λ3=5

即-1为系统的二重特征值,其代数重数为2。

计算对应于二重特征值-1的特征向量。按定义有

(λ1I -A )v 1=0

将A 、λ1和v 1代入上式,有

1112132222220222v v v ---??

??????---=????????---????

由于 n -rank(?1I -A )=2,该方程组有特征向量解空间为2维,故特征向量解空间为2维,独立的特

征向量数为2。解该方程,可得特征向量的通解式为

[][]T

T

11112

231112

1112()v v v v v v v v ==-+

因此,令v 11=1,v 12=0或1,解之得

[]T 1101v =- 和 []T

2112v =-

即重特征值2有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。

再计算对应于重特征值λ3=5的特征向量。按定义有

(λ3I -A )v 2=0

将A 、λ3和v 3代入上式,有

3132334222420224v v v --??

??????--=????????--????

该方程组有无穷组解。由于 n -rank(?1I -A )=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T T

33132

33313131v v v v v v v ==

令v 31=1, 可得如下独立的特征向量

[]T

1111v =

(4) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=1, λ3=2

由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=1的特征向量和广义特征向量分别为

[]

[][]

T

T

21,111

1T

T

1,211111012012v v v λλλ??===??==

对应于λ3=2的特征向量和广义特征向量分别为

[]T

T

233

31124v λλ??==??

(4) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=λ3=-2

由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=λ3=-2的特征向量和广义特征向量分别为

[]

[][][][]

T

T

2

1,1111T T

1,21T

T

1,31124012014001001v v v v λλλ??===-??==-==