概率统计-习题及答案 (7)
习题七
7.1 某车间加工的钢轴直径 ξ 服从正态分布),(2
σμN ，根据长期积累的资料，已知其中 012.0=σ（cm ）。按照设计要求，钢轴直径的均值应该是 150.0=μ（cm ） 。现从一批钢轴中抽查75件，测得它们直径的样本均值为 154.0（cm ），问：这批钢轴的直径是否符合设计要求？（显著水平05.0=α）
7.2 从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：
3.25 ，3.27 ，3.24 ，3.26 ，3.24 。
设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25 ？（显著水平05.0=α）
7.3 某厂生产的一种保险丝，其熔化时间（单位：ms ）ξ～),(2
σμN ，在正常情况下，标准差20=σ。现从某天生产的保险丝中抽取25个样品，测量熔化时间，计算得到样本均值为24.62=X ，修正样本方差为 77.404*2
=S ，问：这批保险丝熔化时间的标准差，与正常情况相比，是否有显著的差异？（显著水平05.0=α）
7.4 从切割机切割所得的金属棒中，随机抽取15根，测得长度（单位：cm ）为：
10.5 ，10.6 ，10.1 ，10.4 ，10.5 ，10.3 ，10.3 ，10.2 ，
10.9 ，10.6 ，10.8 ，10.5 ，10.7 ，10.2 ，10.7 。 设金属棒长度 ξ～),(2
σμN 。问：
（1）是否可以认为金属棒长度的平均值 5.10=μ ？（显著水平05.0=α）
（2）是否可以认为金属棒长度的标准差 15.0=σ ？（显著水平05.0=α）
7.5 为了比较甲、乙两种安眠药的疗效，任选20名患者分成两组，其中10人服用甲种安眠药后，延长睡眠的时数为：
1.9 ，0.8 ，1.1 ，0.1 ，-0.1 ，4.4 ，5.5 ，1.6 ，4.6 ，3.4 ；
另外10人服用乙种安眠药后，延长睡眠的时数为：
0.7 ，-1.6 ，-0.2 ，-1.2 ，-0.1 ，3.4 ，3.7 ，0.8 ，0.0 ，2.0 。
设两组样本都来自正态总体，而且总体方差相等。问：甲、乙两种安眠药的疗效是否有显著差异？（显著水平05.0=α）
7.6 为了确定在不同的操作方法下，炼钢的得率（可用钢材量与投入炉中金属量之比，单位：%）是否有显著的差异，在同一平炉上，用原方法炼10炉钢，得到得率如下：
78.1 ，72.4 ，76.2 ，74.3 ，77.4 ，78.4 ，76.0 ，75.5 ，76.7 ，77.3 ； 用新方法炼12炉钢，得到得率如下：
79.1 ，81.0 ，77.3 ，79.1 ，80.0 ，78.2 ，79.1 ，79.1 ，77.3 ，80.2 ，82.1 ，80.1 。
设这两个样本相互独立，都来自正态总体。问：
（1）是否可以认为两种方法下炼钢得率的方差相等？（显著水平05.0=α） （2）是否可以认为两种方法下炼钢得率的均值相等？（显著水平05.0=α）
7.7
如果橡胶的伸长率服从正态分布，两种配方生产的橡胶伸长率的标准差是否有显著差异？（显著水平05.0=α）
7.8 设锰的熔化点（单位：?C ）服从正态分布。进行5次试验，测得锰的熔化点如下：
1269 ，1271 ，1256 ，1265 ，1254 。
是否可以认为锰的熔化点显著高于1250?C ？（显著水平05.0=α）
7.9 某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得超过0.005 。今在一批导线中任取9根，测得样本标准差 =S 0.007 ，这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，是否显著地偏大？（显著水平05.0=α）
7.10 某厂从用旧工艺和新工艺生产的灯泡中，各取10只进行寿命试验，测得旧工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2460小时，样本标准差为56小时；新工艺生产的灯泡寿命的样本均值为2550小时，样本标准差为48小时。设新、旧工艺生产的灯泡寿命都服从正态分布，而且方差相等。问：能否认为采用新工艺后，灯泡的平均寿命有显著的提高？（显著水平05.0=α）
7.11 甲、乙两台车床生产的滚珠的直径（单位：mm ）都服从正态分布，现从两台车床生产
问：乙车床产品的方差是否显著地小于甲车床产品的方差？（显著水平）
7.12 某炼铁厂炼出的铁水含碳量（单位：%）服从正态分布),(2
σμN ，根据长期积累的资料，已知其中 108.0=σ 。现测量5炉铁水，测得含碳量为：
4.28 ，4.40 ，4.42 ，4.35 ，4.37 。
求总体均值 μ 的水平为 95% 的置信区间。
7.13 对铝的比重（单位：g/cm 3
）进行16次测量，测得样本均值705.2=X ,样本标准差
029.0=S 。设样本来自正态总体 ξ～),(2σμN ，求：
（1）总体均值 μ 的水平为 95% 的置信区间 ； （2）总体标准差 σ 的水平为 95% 的置信区间。
7.14 某种炮弹的炮口速度服从正态分布),(2
σμN ，随机地取9发炮弹作试验，测得炮口
速度的修正样本标准差 11*=S （m/s ），求 2
σ 和 σ 的水平为 95% 的置信区间。
7.15 设总体 ξ～),(211σμN ，η～),(2
22σμN ，
其中 1σ，2σ 都未知，但已知21σσ=，（m X X X ,,,21Λ） ，（n Y Y Y ,,,21Λ）分别是 ξ，η 的样本，两个样本相互独立，请根据6.7节的定理6.8 ，推导出一个在本题条件下，求 21μμ- 的水平为 α-1的置信区间的公式。
7.16 设用原料 A 和原料 B 生产的两种电子管的使用寿命（单位：小时）分别为 ξ～
),(211σμN 和 η～),(2
2
2σμN ，其中 1σ，2σ 都未知，但已知21σσ=。现对这两种电子管的使用寿命进行测试，测得结果如下：
求 21μμ- 的水平为 0.95 的置信区间。
7.17 甲、乙两人相互独立地对一种聚合物的含氯量用相同的方法各作10次测定，测定值
的样本方差分别为 5419.02=x S 和 6050.02
=y S ，设测定值服从正态分布，求他们测定
值的方差之比的水平为 95% 的置信区间。
7.18 为研究色盲与性别的关系，对1000人作统计，得到结果如下：
问：色盲是否与性别有关？（显著水平）
7.19 为研究青少年犯罪与家庭状况的关系，对1154名青少年进行调查，得到统计结果如下：
问：青少年犯罪是否与家庭状况有关？（显著水平）
7.20 为研究儿童智力发展与营养的关系，抽查了950名小学生，得到统计数据如下：
问：儿童的智力发展是否与营养状况有关？（显著水平05.0=α）习题七
7.1 问题相当于要检验0H ：150.0=μ 。75=n ，154.0=X ，已知 012.0=σ。
8868.275012
.0150
.0154.00
=-=
-=
n X U σμ 。
对 05.0=α，查)1,0(N 分布表可得 9600.1975.02
1==-u u α 。 因为9600.18868.2>=U ，拒绝 0H ：150.0=μ。
7.2 问题相当于要检验0H ：25.3=μ 。5=n ，252.3=X ，013038.0*=S 。
3430.05013038
.025
.3252.3*
0=-=
-=
n S X T μ 。
对05.0=α，查t 分布表可得 7764.2)4()1(975.02
1==--t n t α 。 因为 7764.23430.0<=T ，接受 0H ：25.3=μ 。
7.3 问题相当于要检验 0H ：20=σ 。 25=n ，77.404*2
=S ，58.388*12
2
=-=
S n
n S ， 286.242058
.388252
20
2
2
=?=
=
σχnS 。
对05.0=α，查2
χ分布表可得
401.12)24()1(2025.022
==-χχαn , 364.39)24()1(2975.022
1==--χχαn ， 因为364.39286.24401.122
<=<χ ， 接受 0H ：20=σ 。
7.4 15=n ，4867.10=X ，235635.0*=S ，0518222.02
=S 。 （1）问题相当于要检验 0H ：5.10=μ。
219.015235635
.05
.102867.10*
-=-=
-=
n S X T μ 。
对05.0=α，查t 分布表可得 1448.2)14()1(975.02
1==--t n t α 。
因为1448.22192.0<-=T ，接受 0H ：5.10=μ ； （2）问题相当于要检验 0H ：15.0=σ 。
548.3415
.00518222
.0152
20
2
2
=?=
=
σχnS 。 对05.0=α，查2
χ分布表可得
629.5)14()1(2025.022
==-χχαn , 119.26)14()1(2
975.022
1==--χχαn ，
因为119.26548.342
>=χ ，拒绝 0H ：15.0=σ 。
7.5 设两组患者延长睡眠时数分别为总体 ξ～),(2
11σμN 和 η～),(2
22σμN ，其中
21σσ=。问题相当于要检验 0H ：21μμ=。
10=m ，33.2=X ，6801.32=x S ，10=n ，75.0=Y ，8805.22
=y S ，
8986.12
10108805
.2106801.3102
2
2=-+?+?=
-++=
n m nS mS S y
x w ，
8608.110
11018986.175.033.211=+?
-=
+-=
n
m S Y X T w
。
对05.0=α，查t 分布表可得 1009.2)18()2(975.02
1==-+-t n m t α 。
因为 1009.28608.1<=T ，接受 0H ：21μμ= 。
7.6 设两种方法下炼钢的得率分别为总体 ξ～),(2
11σμN 和 η～),(2
22σμN 。
10=m ，2300.76=X ，99210.22=x S ，32456.3*2=x S ；
12=n ，3833.79=Y ，82972.12
=y S ，99606.1*2=y S 。
（1）问题相当于要检验 0H ：2
221σσ= 。
666.199606.132456
.3*
*2
2===y x S S F 。
对05.0=α，查F 分布表，可得
59.3)11,9()1,1(975.02
1==---F n m F α ，
256.091
.31
)9,11(1)1,1(1)1,1(975.02
12
===--=
---F m n F n m F α
α ，
因为 59.3666.1256.0<= 22 1σσ= 。 （2） 问题相当于要检验 0H ：21μμ=。 61055.12 121082972 .11299210.2102 22=-+?+?= -++= n m nS mS S y x w ， 5727.412 110161055.13833.792300.7611-=+? -= +-= n m S Y X T w 。 对05.0=α，查t 分布表可得 0860.2)20()2(975.02 1==-+-t n m t α 。 因为 0860.25727.4>-=T ，拒绝 0H ：21μμ= 。 7.7 设两种配方生产的橡胶伸长率分别为总体 ξ～),(2 11σμN 和 η～),(2 22σμN 。 问题相当于要检验 0H ：21σσ= 。 9=m ， 7778.53*2=x S ；10=n ， 844.236*2=y S 。 227.0844.2367778.53* *2 2===y x S S F 。 对05.0=α，查F 分布表，可得 10.4)9,8()1,1(975.02 1==---F n m F α ， 229.036 .41 )8,9(1)1,1(1)1,1(975.02 12 ===--= ---F m n F n m F α α ， 因为 229.0227.0<=F ，拒绝 0H ：21σσ= 。 7.8 设锰的熔化点ξ～),(2 σμN ，问题相当于要检验0H ：1250≤μ（1H ：1250>μ ）。 5=n ，1263=X ，64853.7*=S ，8006.3564853 .712501263* =-= -= n S X T μ。 对05.0=α，查 t 分布表，可得 1318.2)4()1(95.01==--t n t α 。 因为 1318.28006.3>=T ，拒绝 0H ：1250≤μ ，接受 1H ：1250>μ 。 可认为锰的熔化点显著高于1250?C 。 7.9 设导线电阻ξ～),(2 σμN ，问题相当于要检验0H ：005.0≤σ（1H ：005.0>σ ）。 2 2 2 σχnS = 64.17005 .0007.092 2=?= 。 对05.0=α，查 2 χ 分布表，可得507.15)8()1(295.021==--χχαn 。 因为507.1564.172 >=χ ，拒绝 0H ：005.0≤σ ，接受1H ：005.0>σ 。这批导线的电阻的标准差，比起规定的电阻的标准差来，显著地偏大。 7.10 设新、旧工艺生产的灯泡寿命分别为总体 ξ～),(2 11σμN 和 η～),(2 22σμN ，其中21σσ=。问题相当于要检验 0H ：21μμ≥（1H ：21μμ<）。 10=m ，2460=X ，56=x S ，10=n ，2550=Y ，48=y S ， 9747.542 10104810561022 22 2=-+?+?=-++= n m nS mS S y x w ， 6607.310 11019747.54255024601 1-=+? -= +-= n m S Y X T w 。 对05.0=α，查t 分布表可得 1009.2)18()2(95.01==-+-t n m t α 。 因为1009.26607.3-<-=T ，拒绝 0H ：21μμ≥ ，接受1H ：21μμ< 。可以认为采用新工艺后，灯泡的平均寿命有显著的提高。 7.11 设甲乙两台车床生产的滚珠的直径分别为 ξ～),(211σμN 和 η～),(2 22σμN 。 问题相当于要检验 0H ：2 221σσ≤（1H ：2 22 1σσ> ） 。 8=m ， 0955357.0*2=x S ；9=n ， 0261111.0*2=y S 。 66.30261111.00955357.0**2 2===y x S S F 。 对05.0=α，查F 分布表，可得50.3)8,7()1,1(95.01==---F n m F α。 因为50.366.3>=F ，拒绝 0H ：2 221σσ≤ ，接受1H ：2 22 1σσ> 。可认为乙车床产 品的方差显著地小于甲车床产品的方差。 7.12 5=n ，364.4=X 。 对95.01=-α，查)1,0(N 分布表可得 9600.1975.02 1==-u u α 。 095.05 108.09600.10 2 1=? =-n u σα ， 27.4095.0364.40 2 1=-=-=-n u X σθα ， 46.4095.0364.40 2 1=+=+=-n u X σθα 。 μ的水平为 95% 的置信区间为]46.4,27.4[ 。 7.13 （1）16=n ，705.2=X ，029.0=S ，029951.01 *=-= S n n S 。 对95.01=-α，查 t 分布表可得 1314.2)15()1(975.02 1==--t n t α。 016.016 029951 .01314.2* 2 1=?=-n S t α ， 689.2016.0705.2* 2 1=-=-=-n S t X α θ ， 721.2016.0705.2* 2 1=+=+=-n S t X α θ 。 μ的水平为 95% 的置信区间为]721.2,689.2[ 。 （2）013456.0029.0162 2=?=nS 。 对95.01=-α，查2 χ 分布表，可得 262.6)15()1(2025.022 ==-χχαn ，488.27)15()1(2975.022 1==--χχαn 。 0004895.0488.27013456.022 12 === -α χθnS ， 0021488.0262.6013456.022 2===α χθnS 。 0221.00004895.0==θ ，0464.00021488.0==θ 。 σ 的水平为 95% 的置信区间为]0464.0,0221.0[ 。 7.14 9=n ，96811)19(*)1(2 2 2 =?-=-=S n nS 。 对95.01=-α，查2 χ 分布表，可得 180.2)8()1(2025.022 ==-χχαn ，535.17)8()1(2 975.022 1==--χχαn 。 2.55535.1796822 12 === -α χθnS ， 444180.2968 22 2===α χθnS 。 43.72.55==θ ，1.21444==θ 。 2 σ 的置信区间为 ]444,2.55[ ；σ 的置信区间为 ]1.21,43.7[ 。 7.15 由6.7节的定理6.8可知 n m Y X 22 2 1 21) ()(σ σ μμ+ ---～)1,0(N 。 对于给定的显著水平α，查)1,0(N 分布表，可以求出临界值 2 1α-u ，使得 ασσμμα=?? ? ???????????>+----2 1222121)()(u n m Y X P ， 即使得 ασσμμα-=?? ? ???? ???????≤+----1)()(2 1222121u n m Y X P ， 即有 ασσμμσσαα-=?? ? ???????++-≤-≤+----122212*********n m u Y X n m u Y X P 。 令 =θn m u Y X 22 2 12 1σσα + ---，=θn m u Y X 22 2 12 1σσα + +-- ， 则有{} αθμμθ-=≤-≤121P ，按照定义，],[θθ 就是21μμ- 的水平为 α-1的置信区间。 7.16 8=m ，25.1636=X ，4.106482=x S ，5=n ，1662=Y ，33762 =y S 。 3267.962 583376 54.1064882 2 2=-+?+?= -++= n m nS mS S y x w 。 对05.0=α，查 t 分布表，可得 2010.2)11()2(975.02 1==-+-t n m t α。 n m S n m t w 11)2(2 1+-+-α87.12051813267.962010.2=+??=， =θn m S t Y X w 1 12 1+---α62.14687.120166225.1636-=--=， =θn m S t Y X w 1 12 1++--α12.9587.120166225.1636=+-=。 21μμ-的水平为 95% 的置信区间为]12.95,62.146[- 。 7.17 10=m ，5419.02=x S ，602111.01*2 2 =-= x x S m m S ； 10=n ，6050.02 =y S ，672222.01 *22=-= y y S n n S 。 22**y x S S 8957.0672222 .0602111 .0== 。 对05.0=α，查F 分布表，可得 03.4)9,9()1,1(975.02 1==---F n m F α ， 248.003 .41 )9,9(1)1,1(1)1,1(975.02 12 ===--= ---F m n F n m F α α 。 2 12 2**α θ-= F S S y x 222.003.48957.0==，2 22**α θF S S y x =61.3248.08957 .0== 。 2 221σσ 的水平为 95% 的置信区间为 ]61.3,222.0[ 。 7.18 设 ξ 为患色盲的状况，η 为性别，问题相当于要检验 0H ：ξ 与 η 独立。 首先，求出联立表中各行、各列的总和： )1( 11 2 2 -=∑∑==?? r i s j j i j i n n n n χ )1520 9565144809564425204464804438(10002 222-?+?+?+??=139.27= 。 对显著水平05.0=α，自由度1)1()1(=--s r ，查 2 χ 分布表，可得临界值 841.3)1())1()1((2 95.021==---χχαs r 。 由于841.3139.272 >=χ ，拒绝 0H ：ξ 与 η 独立 ，即可认为色盲与性别有关。 7.19 设 ξ 为家庭状况，η 为有无犯罪记录，问题相当于要检验 0H ：ξ 与 η 独立。 )1(11 2 2-=∑∑ ==??r i s j j i j i n n n n χ 2222 9738870231154(1)26.4810611043106111193104393111 =?+++-=???? 对显著水平05.0=α，自由度1)1()1(=--s r ，查 2 χ 分布表，可得临界值 841.3)1())1()1((2 95.021==---χχαs r 。 由于2 26.48 3.841χ=> ，拒绝 0H ：ξ 与 η 独立 ，即可认为犯罪与家庭状况有关。 7.20 设 ξ 为营养状况，η 为智商情况，问题相当于要检验 0H ：ξ 与 η 独立。 首先，求出联立表中各行、各列的总和： )1(11 2 2-=∑∑ ==??r i s j j i j i n n n n χ 222222 2452281772193127950(8692768692558691908692298127681255=?++++++?????? 22 13101)9.698119081229 +-=?? 对显著水平05.0=α，自由度(1)(1)3r s --=，查 2 χ 分布表，可得临界值 22 10.95((1)(1))(3)7.815r s αχχ---== 。 由于2 9.697.815χ=> ，拒绝 0H ：ξ 与 η 独立 ，即可认为智力发展与营养状况有关。 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+<0且 ∑=++=n i i x n L 1 ln )1ln(ln θθ, 令 1 d ln ln d 1 n i i L n x θ θ== ++∑=0, 得 一、习题详解： 3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0, (,)0, x y x y x y F x y ----?--+≥≥=??其他 求}{ 12,35 P X Y <≤<≤. 解：因为 25 7(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F 5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F 所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤< == +--=----745672 3 22220.0234 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1) 且 0)1,2(===Y X P ，6.053 )2,2(4 52 223=====C C C Y X P 4.052 )1,3(4 5 1 233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为 3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且 81)2 1()3,0(3 = ===Y X P ，8 3)21()21()1,1(2 113====C Y X P 83)21()21()1,2(1 223====C Y X P ，8 1)21()3,3(3====Y X P 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 习题7-1 1.选择题 (1)设总体X 的均值口与方差 /都存在但未知，而X 1,X 2,L ,X n 为来 自X 的样本，则均值 口与方差 (T 2的矩估计量分别是 (). (A) X 和 (B) 1 n X 和—(X n i 1 i )2 . (C) 口和 2 (T ? 1 (D) X 和一 n n (X i i 1 x)2. 解 选 (D). (2) 设X : U[0, ],其中 e >0为未知参数，又X ,,X 2,L ,X n 为来自总体 X 的样本 ,则e 的矩估计量是( ). (A) X . (B) 2X . (C) max{X i }. (D) m i^ X i } . 解选(B). 2.设总体X 的分布律为 其中0v B v 为未知参数,X1, X 2,…,X.为来自总体X 的样本，试求e 的矩 估计量. 解 因为 E (X )=(- 2)x3 e +1x(1 -4 e )+5x e =1-5 e ,令 1 5 X 得到 的矩估计量为 3.设总体X 的概率密度为 f(x ；) (1)x ,0 x 1, 0, 其它? 其中 0> -1是未知参数，X,冷… ,X n 是来自 X 的容量为n 的简单随机样本 求 ： (1) 的矩估计量； ⑵ 0的极大似然估计量? 解 总体X 的数学期望为 - 1 9 2X 1 令E(X) X ,即一1 X,得参数B 的矩估计量为？ ? 2 1 X 设X 1, X 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值，则似然函 数为 n (1)n X i , 0 x i 1, i 1 0, 其它. In x i 1 In X i i 1 4.设总体X 服从参数为 的指数分布，即X 的概率密度为 E(X) 1 xf(x)dx o ( 1)x dx 当 0 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域） 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 习题7.1 1.设总体X服从指数分布 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估计值. 解: 似然函数为 令 得 2.设总体X的概率密度为 其他 试求(1)的矩估计的极大似然估计 解: (1) 的矩估计 (2) 似然函数为 令 解得 3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8) 解:由服从参数为的泊松分布 由矩法,应有 似然函数为 解得的极大似然估计为 习题7.2 1.证明样本均值是总体均值的相合估计 证: 由定理知是的相合估计 2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量 证: 是的相合估计 3.设总体为其样品试证下述三个估计量 (1) (2) (3) 都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 都是的无偏估计 故的方差最小. 4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值 (1)证明是参数的无偏估计和相合估计 (2)求的极大似然估计 (1)证: 是参数的无偏估计 又 是参数的相合估计 (2)故其分布密度为 其他 似然函数 其他 因对所有有 习题7.3 1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中 抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间 解: 置信度为的置信区间是 2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的 寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间) 解:查分布表知 平均寿命的的置信区间为 3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从 其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得 求两总体方差比的置信度0.90的置信区间. 解:此处 的置信度0.90的置信区间为: 4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1)已知滚珠直径的标准差毫米; (2)未知标准差 第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=< 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . < 概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑= 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
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