巧用定积分求极限(数学分析)之欧阳歌谷创作

定积分在求极限中的应用

欧阳歌谷（2021.02.01）

1、知识准备

1.1绪论

微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.

求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.

1.2定积分的概念

下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:

定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n-1个分点将分成n个区间,记

,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设

,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即.否则称在上不可积.

注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.

注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.

注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即

仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,

定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.

对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧！1.3极限的概念

数列的极限

设为数列,为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于,实数称为数列

的极限,并记作或.

(读作:当趋于无穷大时,的极限等于或趋于).由于限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.

若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.

注1:关于:①的任意性.定义１中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正数可以任意小,说明与常数a可以接近到任何程度;②的暂时固定性.尽管有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正数,那么等等,同样也是任意小的正数,因此定义１中的不等式中的可用等来代替.从而“”可用“”代替;④正由于是任意小的正数,我们可以限定小于一个确定的正数.

注2:关于:①相应性,一般地,随的变小而变大,因此常把定义作来强调,是依赖于的;一经给定,就可以找到一个;②多值性的相应性并不意味着是由唯一确定的,因为对给定的,若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的也不必限于自然数,只要是正数即可;而且把“”改为“”也无妨.

函数的极限

设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它有多么小),总存在某正数,使得当满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫做函数当时的极限,记为

可以看出，数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近.

2、定积分与极限

2.1定积分在求极限中应用概述

不难看出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥秘吧.

事实上,定积分的定义中蕴含着一列数｛｝的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近确定的实数J=,这正是极限思想的存在,即.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法——利用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们运用之解决众多类型的和式极限.

2.2定积分求极限中应用思想的形成

先让我们看一个简单的例子:

例1.求极限.

分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义解决,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本不同;再考虑洛必达法则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这个问题吧！

解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分.为此做如下变形:

不难看出,其中的和式是函数在区间上的一个积分和(这里取得是等量分割,).所以, J=.

从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步骤:

Sept1将和式极限经过变形,使其成为积分形式.这里常取;

Sept2确定积分函数的上下限.

a=;

Sept3用x代换,写出定积分表达式,并求出原极限的值.

通过以上的一般方法步骤,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步骤.

例2.求极限.

解:Sept1 化和式极限为积分形式.

原极限=.

显然,这里,被积函数可看成

Sept2 确定积分函数上下限.

Sept3 写出积分表达式并求出积分值.

原极限=.

对于本题,我们是紧紧按照刚刚总结出的方法步骤进行的,并顺利地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案自然是肯定的.

3、应用定积分求极限

3.1一般性结论的综述及其应用

至此,我们可以得出如下结论:

结论1如果函数在区间上连续,将区间进行等分,

,那么，.

事实上,连续函数一定可积,而将区间进行n等分也是分割的一种特殊情况.根据定积分的定义,上述结论成立.

当然,并不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严格用到上面总结出的三个步骤,我们可视情况灵活处理,比如无需用到某一步骤或者还需用到其他求极限的思想等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感受结论1的用途.

习题组1

1).

这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思想应用到求极限中去.现在就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不同习题中寻找出异同,以加深对结论1的掌握和认识.解:(1) 分析原极限显然可以看成在上的定积分.故(2)分析先通过恒等变形,原极限式=,被积函数

,积分区间是,于是原极限值=;

(3)分析原和式极限的通项是不可以看成是关于的某一个函数,但是注意到:

应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即

=,上面不等式右端可以取极限,即

于是,由极限的迫敛性可知原极限值=.

这组题均典型地运用了定积分的计算,从而求出了各极限.我们发现,只要找到某个连续函数,并能把这个和式极限转化成积分形式,我们就只需计算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而确定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等

变形,因为其形式上已经是f()了;习题2与习题3形式上直观上不是f()的形式,因为式子

与式子

都不含的项.为此,我们需要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,通过提取公因式等手段使其出现的因子.当然有的题可能不容易找到对应的连续函数,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值.

3.2一般性结论的深化及推广

接下来,我们对结论1进行适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.

推论1如果函数均在上可积,

证明:首先,均在上可积.

又由于,,所以,

于是,==.

例3.求极限:

解:由推论1可知,f(x)=

于是,原极限式=.

推论2设

例4.试求:.

推论3如果函数在区间上可积,且

证明:记A=,则

例5.计算.

解:本题也可以直接运用推论3,

这三个推论是对结论1的必要补充与完善.形式上我们不仅有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思路继续进行探索,从形式上丰富了定积分在求极限中应用这一思想,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的实质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基本性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不同形式的极限向定积分定义中的和式上去靠拢.最终通过简单明了的定积分公式,求出定积分的值来,以确定出原极限的值.由这三个推论来看,

等形式的极限，我们都有方可循,用定积分的方法容易求出其极限来.对于任何一种数学方法,只要我们仔细地观察与推究,都能将其结论或应用范围加以推广,就像结论1.现在让我们来看一组习题,以

体会以上诸推论.

现在,我们已经积累了多种求和式极限的方法,它们是今后应用定积分解决极限类问题的最佳模型与范例.那就再让我们来看一组习题,以熟悉与巩固

等形式的极限吧.

下面这组习题综合用到了以上各结论与推论.

习题组2用定积分的方法计算下列各极限.

(1);

(2);

(3);

(4).

解:分析以上例题都容易恒等变形,使其满足结论1或者推论1至推论3的条件.于是,

(1)

(2)

=，

(3)

;

(4).

3.3定积分在求极限中应用思想的转移

至此,我们已经深深的体会到了各种形式的定积分在极限中应用的作用.仅仅于此,我们尚不能满足,我们可以把定积分在求极限中的应用思想借鉴到其他方面.例如,利用这种思想方法来证明一些不等式,或者用之解决一些复杂一点的求极限问题.下面将举例说明.例 6.证明:若函数在上连续,且对于，有，则.

证明:已知与在上都可积.将进行等分,分点是

.在第K个区间上取.由算数平均不小于几何平均,有

体会:本例恰巧反过来,将积分和转化为极限和的形式,并运用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地认识与掌握定积分与极限之间的关系是解决本问题的关键.该例题说明,我们应该充分认识到定积分在极限中的作用,并能做到灵活变通,适当情形下,二者可以相互转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目的.

例7.试求极限.

分析:该问题似乎不能直接运用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不容易化成以上结论或者推论的情形.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否定的.在解决该问题之前,还是先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！

沃利斯公式:.

证明:令,则当时用分部积分法容易求得

移项并整理后可得递推公式:由于

重复应用上面的递推公式可得

又由于

,再将式代入,便可以得到

,因为

,根据极限的迫敛性可知.而,故得沃利斯公式

现在让我们来仔细看看沃利斯公式究竟与定积分有什么关系吧!事实上,在计算定积分

时,我们巧妙地运用了定积分的递推表达式,这样我们才正真地寻找到了解决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算还是在其中发挥了不可低估的作用.那么就让我们直接运用该公式来探究例8问题吧！

根据沃利斯公式,可知

从某种程度上讲,我们利用了定积分方法解决了例8中极限的问题.倘若我们采用其方法来求这个极限,恐怕会走一些弯路.

3.4定积分在求极限中应用思想的完善

我们知道反常积分也是定积分在极限下定义出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分形式,从而应用了定积分巧妙地求出了原极限的结果,那么能不能把定积分在求极限中局部应用呢？现在我们再来看一个有趣的问题,以便说明此问题.

例8.证明:.

分析:这个例题不同于前面所有的例题,前面的例题,我们都能迅速地将所求极限的表达式转化成,而本例不行,但它形式上与我们讨论的定积分在求极限中应用的例子非常相像,因为式子中有无穷多项和,所以我们就尝试用定积分的方法来求它吧！

把这个极限式子的分子进行适当变形.如果根据前面的经验,我们知道的.可是现在我们对两个问题有

所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分形式;第二,即使局部用到了定积分,但我们知道的.事实上,原式经变形后,我们会发现分子与分母中的无穷大量是等价的.即

(这里我们统一了分子分母中的变量,统一用变量x,这里已经表示变量x是逐步趋近,由数学分析中归结原理”,这个手段是不影响极限结果的).

最后我们求得其结果,.

由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思想不仅可以对表达式整体使用,也可以对其进行局部使用.总之,只要我们善于思考书本上的一些概念以及分析它们之间联系,我们就往往能够游刃有余地把一种数学思想用于解决其他数学问题上.

最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应该注意的几个问题.

第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经过适当的恒等变形之后能转化为定积分的形式.

第二,应用定积分求极限时,往往还需要用到其他的一些求极限

的方法和手段,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手段等.

第三,求极限一类问题往往需要使用各种手段,这样才能做到事半功倍.

4、论文总结

4.1再认识数学

通过以上探讨,我们重新认识了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切体会的.数学本身是一门严谨的自然科学,因为它是一种思维的工具,是一种思想方法,它还是一种理性的艺术.

数学是一种思维的工具.第一,数学具抽象性.数学概念是以极度抽象的形式出现的.本文中讨论的定积分以及极限更是如此.与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上,而必须依靠于严格的证明.当数学应用于实际问题的研究时,其关键在于能建立一个较好的数学模型.我们在运用定积分求极限时,就已经拥有了较好的数学模型——函数模型.在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算,以形成对问题的认识,判断和预测.这就是运用抽象思维去解决现实问题的体现.第二,数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性,是使认识从感性阶段发展到理性阶段,并使理性认识进一步深化的重要手段.在数学中,每一个公式,定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立.当我们发现了“结论1”之后,相继经过严密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种辅助工具和表现方式.我们在解决数学问题本身时,还必须依赖于数学中的其他相关方法思路.另外数学反映的是一种复杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有

简明的数学符号与形象鲜明的图形等来表示它.无论是定积分还是极限,其中都用到了丰富的数学符号,离开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.

数学是一种思想方法.数学是研究量的科学.它研究客观对象量的变化,关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法.数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一,内容与形式的统一的最有效的表现方式.无论是定积分还是极限都离不开计算,这就意味着它们中都蕴含着量的变化.

数学还是一种理性的艺术.一般我们觉得,艺术与数学是两种风格与本质都有着明显不同的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精神世界的枢纽地带;一个是自然科学的代表,另一个则是美学的杰作.但是,在种种表面上无关甚至完全不同的现象身后却隐藏着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研究纯粹是我们进取以及求知欲的驱使.

艺术与数学都是公认的地球语言.艺术与数学在描绘万事万物的过程中,还同时完善了自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言特征.其共同特点有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学的整体性来自于数学统一的符号体系,各个分支之间的有力联系,共同的逻辑法则和既约的表达方式.(3)简明性.它首先表现

为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表性.艺术与数学语言各自代表性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把注意力转向思维,上升为理念,成为表现人类内心意图的方式.(5)形式性.在艺术与数学各自进行的符号与信息的含义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分离.我们研究的定积分在求极限中的应用,那种思想以及符号呈现方式可被世界人悦纳.

艺术与数学具有共同的精神价值.其共同的特点有:(1)自律性.数学价值的自律性是与数学价值的客观性相关联的;艺术的价值也是不能以人的意志而转移.艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别,鉴赏和评价的.(2)超越性.它们可以超越时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超越过程中,现实得以扩张,延伸.艺术与数学的超越性还表现为超前的价值.(3)非功利性.艺术与数学的非功利性是其价值判断异于其他种类文化与科学的显著特征之一.(4)多样化,物质化与广泛化.在现代技术与商业化的推动下,艺术与数学的价值也开始发生升华,出现了各自价值在许多领域内的散射,渗透,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不仅仅贡献于数学本身,它将逐渐在其他领域也发挥一定的作用.

4.2结束语

我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各种形式.事实上,只要我们对学过的某些概念用心的体会,并加以深刻的思考,我们就可能将其精髓运用到数学的其他领域.正如我们这里把定积分与极限结合起来,并进行了适当推广,得到了较为满意的结论和推论.

本文主要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开始我们就

回忆了定积分以及极限等大学数学学习中的重要概念.然后剖析它们之间的内在联系,进而寻找到了一种独特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思想也并非空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思想方法或者一些独特的步骤.因为不是所有的数学概念之间经过思考推理,相互之间就能建立起联系来.因此,在平时的数学学习中,我们务必对教材中的基本概念加深体会,尤其是要把相互之间或多或少存在着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行一定的逻辑证明.如果我们的假设成立,那就是我们发现的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地掌握不同概念之间区别,这对于我们理解知识都是有好处的.所以,在我们平时的学习过程中,我们要积极去思考,并大胆地进行某些适当的假设,以提升我们创新思维能力.

求极限的方法可能还有更多,值得大家去思考与挖掘.希望本文能起到抛砖引玉的目的,能激发更多的数学爱好者携起手来探索出更多实用与巧妙的求极限的方法来.欢迎大家对本文进行批评与指正.

参考文献

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[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析讲义习题选解.北京,高等教育出版社,2002．

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[5]刘树利.计算机数学基础.北京.高等教育出版社,2001．

[6]刘利茹,孙永华.高等学校经济数学系列教材.北京,高等教育出版社,2004．

[7]陈吉象,戴英等.文科数学基础.北京高等教育出版社,2003．

[8]天津大学数学竞赛(人文学科及医学等类),2005．

英文摘要

Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule and Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in calculation.This paper will focus on the applications of definite integral in solving the limit problems.

Keywords:Definite integral, Limit, Applications.

求极限的方法总结

学号：0 学年论文求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级学生指导教师（职称）完成时间年月日至年月日

摘要极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

高数中求极限的16种方法

高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况 0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！） E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限，q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限） 11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。求225 lim 3 x x x →+-的极限解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２．求3 x →

33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在，则此极限值就称函数f(x) () 'f x。即

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；

专题利用定积分定义求极限

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1 01 1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑?——i ξ取每个小区间的右端点，或者1 01 11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑?——i ξ取每个小区间的左端点。举例：求3 41lim n n i i n →∞=∑

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

数学分析求极限的方法

求极限的方法具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为：令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

巧用定积分求极限(数学分析)

定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11 =112 2- ? 111=2323-?

因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。例4. 3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形：（1，

专题1——利用定积分定义求极限(1)

专题1 ---- 利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ①是n 时的极限 n ②极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间 b a 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） n lim0 f(a .b a、b a i )- n n 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 n lim f (a n i 1 baba i )- n n b f (x) dx , a 而不是（定积分的定义中是任意分割区间［a,b］，（即定义中的x），这n个小区间分别为 r b a、「b a b a n r [a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ], n n [a (n n _ b a 2 ,a n b a 3山],…, n 1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n 致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中左端点时i） x i就变为 f (a i- a) b a n n ，那么lim n n f(a i 1 b a f （X）dX。 n lim f (a n i 1 (i baba b 忖匚a?) 注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割 ,当分割方式为均等分割时，n 就 f (x)dx。

高数求极限方法总结

第一章极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：数列极限、函数极限，说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：0)1(1 lim 2=+-∞→n n ；5)13(lim 2=-→x x ；1,0lim <=∞ →q q n n 当等。定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 0)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。（2）一定注意两个重要极限成立的条件。例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ， )(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5．连续性定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内

定积分在极限运算中的应用

定积分在极限运算中的应用胡涛 (武汉军械士官学校基础部数学教研室/助教) 摘要：极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，本文利用定积分的定义式来解决一些复杂的和式极限的问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解。关键词：定积分极限运算和式极限一引言极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，二者关系十分密切，其中定积分的概念由极限的思想引出，数学上具体表述如下：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在 [,]a b 上可积，从而()f x 在[,]a b 上的任意积分和均以()b a f x dx ?为极限，数学表达式为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==?∑ ? ，其中1[,](1,2,,)i i i x x x i n -?== ，1max i i n x λ≤≤=?，i ξ为区间1[,]i i x x -上的任意一点。本文将利用定积分的定义式，通过一些巧妙的构造，去解决一些复杂的和式的极限问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解，增强学生的解题反思能力。二算例分析下面我们通过两个例子来引入本文的观点：例1、求极限1 1 lim p n p n i i n +→+∞ =∑ ，其中0p >为常数解：首先将和式进行变形 1 1 1 1() p n n p p i i i i n n n +=== ∑∑ 对于上述和式中的变量 (1,2,,)i i n n = ，当n →+∞时，其取值范围为区间 [0,1]。令i x n = ，则上述和式可以看成是函数()p f x x =在区间[0,1]上的一个积分和，即 1 1 1 1 ()p n n p i i i i f n n n +=== ∑ ∑ 。又因为()p f x x =在区间[0,1]上可积，于是：

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（）（1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（（3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数）上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解：观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则如果存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。即在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

高数数学极限总结

函数极限总结一．极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或定理：函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等即。 2. 极限概念函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件：（1）从某项起，即，当时，有；（2）；，那么数列的极限存在，且准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时，（2），，那么存在，且等于。夹逼定理：（1）当时，有??成立（2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱爱爱爱祝爱爱愿爱爱你爱爱永爱爱远爱爱被爱爱爱爱爱包爱爱围爱爱爱爱爱爱爱爱漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！高数中求极限的16种方法假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换