旋转经典练习题

例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.

例2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠BPC的度数。

练习：

1、如图，将ΔABC绕顶点A顺时针旋转60o后得到ΔAB′C′，且C′为BC的中点，则C′D:DB ′=（）

A．1:2 B．1: C．1: D．1:3

2、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心，逆时针旋转90°至ED，连结AE、CE，则△ADE的面积是（）

A 1

B 2

C 3

D 不能确定

3、如图，已知△ABC中AB=AC，∠BAC =90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF 分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：（1）AE=CF（2）∠APE=∠CPF（3）△EPF是等腰直角三角形（4）EF=AP（5）S四边形AEPF=S△ABC÷2，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）上述结论中始终正确的序号有＿＿＿

4、如图，点F在正方形ABCD的边BC上，AE平分∠DAF ，请说明DE=AF-BF成立的理由。

5、正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：ΔPBC是等边三角形吗？为什么？

6、等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC 于点E、F．

①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）

②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

A

B C

P

E F

A

B C

P

E

F

图图

7、、图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C ′D ′E ′叠放在一起（C 与C ′重合）.

（1）操作：固定△ABC ，将△C ′D ′E ′绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，连结AD 、BE ，CE 的延长线交AB 于F （图2）；

探究：在图2中，线段BE 与AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.

（2）操作：将图2中的△CDE ，在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR （图3）；

探究：设△PQR 移动的时间为x 秒，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数自变量x 的取值范围.

（3）操作：图1中△C ′D ′E ′固定，将△ABC 移动，使顶点C 落在C ′E ′的中点，边BC 交D ′E ′于点M ，边AC 交D ′C ′于点N ，设∠AC C ′=α（30°＜α＜90°）（图4）； 探究：在图4中，线段C ′N ·E ′M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C ′N ·E ′M 的值，如果有变化，请你说明理由.

8、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。

（1）将图1中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点，求证：

112

CP AP 2

＝

； （2）将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转30°到△22A B C （如图3），点22P A C 是与AB 的交点。线段112CP PP 与之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由； （3）将图3中线段1CP 绕点C 顺时针旋转60°到3CP （如图4），连结32P P ， 求证：32P P ⊥AB.

E ′

图1

C B

A

D ′

图2

F

E

D C B A 图2 Q

P

R A B

C

F 图3

图3

D ′

E ′

图4M

N

B

A

G

C 图4

C / （C /

）

（C /

）

9、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝900

，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究： （1） 三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。 （2） 三角板绕点P 旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由。

（3） 若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM ：MB ＝1：3，和前面一样

操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

10、把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，

4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．

（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此

时，AP

CQ =· ． （2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中

090α<<，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由．

（3）在（2）的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Ｂ Ｅ

Ｐ

Ａ

Ｄ(Ｏ)

Ｃ

Ｑ

Ｆ

Ｍ

Ｂ

Ｅ Ｐ Ａ

Ｃ

Ｑ

Ｆ

Ｄ(Ｏ)

Ｄ(Ｏ) B (Q ) C F

E A P 图1 图2

图3

11、已知：将一副三角板（Rt ⊿ABC 和Rt ⊿DEF ）如图（1）摆放，点E 、A 、D 、B 在一条直

线上，且D 是AB 的中点。将Rt ⊿DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（00<α<900

），在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，

垂足为G 、H （1）当α=300 时（如图（2）），求证：AG=DH ；（2）当α=600

时（如图（3）），

（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当00<α<900

时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图（4）说明理由。

图(1)

F

B

C

A

D

E M

图(2)

(N)

N G

D E

F C A B

图(3)

H

M

N

E

F

D C

A

B

图(4)

H G M

N

F

C

A B

D E

12、如图12-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．

（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．

（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．

图12-1

A

B C

O

E F 图12-2

A B C

O E

F

13、如图，在Rt ⊿ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=900

，将直角三角板EPF 的直角顶点P 放在线段BC 的中点上，以点P 为旋转中心，转动三角板的两直角边PE 、PF 分别与线段AC 、AB 相交，交点分别为N 、M ，线段MN 、AP 相交于点D 。（1）请你猜出线段PN 与PM 的大小关系，并说明理由；（2）设线段AM 的长为x ，⊿PMN 的面积为y ，请求出y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）当三角板运动到使DM ∶AM=4∶5时，求线段AM 的长。

D

M

N

F

P

B

C

A

E

14、已知等腰直角⊿ABC ，一等腰直角板的一个锐角顶点与C 点重合，将此三角板绕C 点旋转时，三角板两边交直线AC 于M 、N 。（1）当M 、N 在⊿ABC 斜边AB 上时（如图1）,求证：AM 2+BN 2=MN 2；（2）当点M 在AB 上，点N 在AB 的延长线上时，猜想线段AM 、BN 和MN 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，延长AN ，使AN 的延长线与三角板直角边的延长线交于点K ，若AC=32，BN=3时，求tan ∠HKN 的值。

图(1)

M

N

B

A

C

图(2)

K

N

M

H

B

C

A

15、正方形ABCD 的一边BC 及一等腰直角三角板CEF 斜边CF 在同一条直线MN 上，连接AF ，点O 为AF 的中点，分别连接DO 、EO ；（1）求证：DO=EO ，DO ⊥EO ；（2）若将三角板CEF 绕

点C 顺时针旋转α角（00<α<450

）如图2，猜想线段DO 与EO 的位置关系与数量关系，并证明你的猜想。（3）在（2）的条件下，当α=150

，CD=2，CF=42时，求DO 的长。

N

M

图1

O

F

E

A

B

D

C

图2

N

M

O

F

E

A B

C D

16、如图，⊿ABC 为等边三角形，点P 是边AC 所在直线上一动点，连接BP ，作∠BPQ 等于600

，直线PQ 与直线BC 交于点N 。（1）当点P 在边AC 上时（如图1）试猜想AP ?PC 与AB ?CN 的大小关系；（2）当点P 在如图2、图3所示位置时，上述关系是否成立？若成立，请选择其中一种情况给予证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中，延长BA 交直线PQ 于点M ，若BC=2，CN=1.5求PM 的长。

图1

N

Q

A

B

C

P

图2

N

A

C B

P

Q

图3

M

N

A

C

B

P

Q

1、把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于．

2、如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向

旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm．

3、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm．

4、如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是．

5、如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

6、如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，…，OP n （n 为正整数）. （1）求点P 6的坐标； （2）求△P 5OP 6的面积；

（3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来．

旋转的几个典型图：

D C

G A F B

E D E A C B

A

E F

B C D

2 1 3