热力学统计物理试题.doc
热力学·统计物理试题
适用于 200×级本科物理学专业
( 20 0×-200×学年度第×学期 )
1.(10 分 ) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 .
2.试证明，相变潜热随温度的变化率为
(20 分)
dL L v
c p - c p
T p dT T v L T p v v
如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为：dL
c p c p
dT
3．
(10 分) 若将 U 看作独立变数T, V, n , n 的函数，试证明：
1k
（1）U n i U V U
i
n i V
（2）u i U
v i
U n i V
4．（ 20 分）试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为
S Nk Ps ln Ps
s
e s e s
式中 P s是总粒子处于量子态s 的概率，P s , 对粒子的所有量子态求
N Z1 s
和。
5．（20 分）铁磁体中的自旋波也是一种准粒子, 遵从玻色分布 , 色散关系是Ak 2
. 试证
明在低温下 , 这种准粒子的激发所导致的热容与T
3/2成正比.
6．（ 20 分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp
,其中c为光速.试求自
由电子气体在0K 时的费米能量 , 内能和简并压.
附标准答案
1. (10分)解证：范氏气体p
a
v b RT v 2
由式 (2.2.7) U
=T
p R a
v T
-p=T p
2
(5 分)
T V v b v
U a
U (T ,v) a
f (T )
v T =
2
U 0
v v
C V U
= f (T ) ；与 v 无关。
(5 分) T V
2．
(20 分) 证明：显然属于一级相变 ; L T (S S );其中S S T, p(T ) ，
在 p～T 相平衡曲线上 .
dL
S S T S
T
S dp
dT T p dT 其中：
S S S
T T T
P P
S dp
[ S S
]
dp
(5 分)
p dT T T dT
P P
又有： C P T S
； L T( S S ) T P
由麦氏关系 (2.2.4): S V
（5 分）p T T P
上几式联立 (并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：
dL
- c p L v v L
c p
T T p v v (5 分)
dT T p
若相是气相，相是凝聚相；V
V
～ 0；～0；
T p
相按理想气体处理。pV=RT
dL
c p c p
(5 分) dT
3．（ 10 分） 证明：（1） U (T , V , n 1 ,
n k )U (T ,V , n 1 , n k )
根据欧勒定理，xi
f ，可得
f i
x i
U
n i U
V U
i n i
V （2） U
n i U
V U
i
n i
V u i
U v i
U n i
V
(5 分)
n i ( U v i
U
)
n i u i
i n i V
i
(5 分)
4．（ 20 分）证明：出现某状态
s 几率为
P
s
设 S 1,S 2,S k 状态对应的能级
s
设 S k+1 ,S k+2 ,S w 状态对应的能级 s
类似
e s
则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计
P S
；
N
显然 NP 代表粒子处于某量子态
S 下的几率， NP S
e
S
。于是
e
S
代表
s
处于 S 状态下的粒子数。例如，对于
S K
个粒子在
s 上的 K 个微
s 能级
e
S
S S 1
S k
观状态的概率为：
P S
P S 粒子数
P S
S e s
S 1
S k
s
类似写出： P S
e
P S
SS 1
等等。
(5 分)
于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率。
S
S k
S k
P
e
s
e
s
PS P S SS1
P S
SS 1
S S
一微观状态数
1 ，（基于等概率原理）
P
S k ln
(5 分)
S k ln
1
S k
S W
（ 5 分）
P S
e S
e S
S S 1
P S SS K1
S K
S W
k
e
S
ln P S
e
S
ln P S
S 1
S
K 1
将 NP S
e
S
带入 S
kN P S ln P S
(5 分 )
S
5．（ 20 分）证明 : 在体积 V 中, ω到 ω+ d ω的频率范围内准粒子的量子态数为
g( )d
4 V p 2 dp B 1 / 2 d
h 3 ,
（ 5 分）
推导上式时 , 用到关系
p k
. 这里 B 为常数 . 由于准粒子数不守恒
, 玻色分布中的
. 系统的内能为
3 / 2
E
m
g ( )dB
m
d
e1
e
（5 分）
1,
考虑到态密度在高频时发散
, 需引入截止频率
m
. 但在低温下
1
, 在积分中
可令
m
. 设
x
, 则有
E CT
5 / 2
x 3 / 2
dx T 5 / 2
e x 1 ,
（5 分）
C V
E
T 3/2
其中 ,C 为常数 .易得
T
V
.
（5 分）
6．（ 20 分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为
cp
, 其中 c 为光速 .
试求自由
电子气体在 0K 时的费米能量 , 内能和简并压 .
解: 在体积 V 中 , 到 + d
的能量范围内电子的量子态数为
g( )d
8 V
2
8 V 2
d
3
p dp
3 c 3
h h .
f 1,
0,
绝对零度时 , 费米函数为
.
Nfg (
)d
8 V
2
d
8 V 3 0 h 3 c
3
3h 3c 3
总电子数满足
,
3N 1/ 3
hc
可求出费米能量
8 V
.
E
fg (
0 8 V 3
8 V
)d
h 3 c 3 d
电子气的内能
0 4h 3c 3
（5 分）
（5分）
4
3
N 0
4.
E N
p d
4V
气体的简并压 3V
（5 分）
. （5 分）