最新湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二

次大练习数学试题

一、单选题

1．21i i

-（i 为虚数单位）的值等于（ ）

A ．1 B

C ．

D ．2

【答案】B

【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】

()()()22

212221111i i i i i i i i i ++==-+-- 由21i =-，所以222

112

i i i i -==--

所以

211i

i i

=-==-故选：B 【点睛】

本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）

A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件

B ．命题“,sin 1x R x ?∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ?∈>”

C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”

D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ?∨?为真命题 【答案】C

【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确

由23201x x x -+>?<或2x >，

故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确

特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是 “若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数” D 正确

命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，

比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ?∨?是真命题. 故选：C 【点睛】

本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>?=+=，则4

6

a a 等于（ ） A ．

56

B ．

65

C ．

23 D ．

32

【答案】C

【解析】根据4268a a a a =??，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】

在等比数列{}n a 中，4268a a a a =?? 由28466,5a a a a ?=+=

所以464656

a a a a +=???=?，又1n n a a +>，

所以462,3a a ==

所以

4623

a a = 故选：C

【点睛】

本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有

m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.

4．ABC ?中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos c

A b

<，则ABC ?为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．等边三角形

【答案】B

【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】

∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA ＞0． ∵

c

b

＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin （A+B ）＜sinBcosA, ∴sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∴sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．

5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )

A ．11种

B ．20种

C ．21种

D ．12种

【答案】C

【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理

点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()1

2f x x b

=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4

C ．b

D ．2b

【答案】B

【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()1

2f x x b

=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()1

2f x x b

=

+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()()

,,,a f a c f c 关于(),2b 对称 所以()()224f a f c +=?= 故选：B 【点睛】

本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.

7．已知ABC ?为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动

点，则()AP AB AC ?+=u u u v u u u v u u u v

A ．有最大值8

B ．是定值2

C ．有最小值1

D ．是定值4

【答案】D

【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v ，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r ，

代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】

设AD 是等腰三角形的高，长度为3

12-=.故()

AP AB AC u u u v u u u v u u u v

?+=

(

)

()

2

22

2222224AD DP AD AD DP AD AD +?=+?==?

=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.

【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.

8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．

16

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】D

【解析】计算6位选手演讲的排法有6

6A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为14

44C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】

由题可知：6位选手演讲的排法有6

6A

甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1

5

45C A

所以所求概率为15456

62

3

C A A = 故选：

D 【点睛】

本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.

9．设1F ，2F 是双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若

126PF PF a +=，且12PF F ?的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是

（ ） A

．0x ±= B

0y ±=

C ．20x y ±=

D ．20x y ±=

【答案】B

【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得

1212126,4,2.2PF PF a

PF a PF a PF PF a

?+=?∴==?

-=?? 12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得

2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-???∴-+=

2222222230,3,3,2.c

e e c a a b a b a a

∴-+=∴=∴==∴+=∴=

b

a

∴=

0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()22

2222210,x y a b c a b c a b +=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以

2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的

)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．30,5?? ???

B

．35????

C

．?

????

D

．15????

【答案】B 【解析】根据

PT =，计算2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然

后min

)

c PT

a ≥-，结合c e a =，计算，可得结果. 【详解】

由题可知：PT =

由2PF 最小值为a c -， 则

min

PT

=

又PT )a c -

即min

))PT

c a a c ≥

≥

-?-

)c a ≥

- 化简可得：

()22

()14

c a c b -≥-，则()2a c b c -≥- 所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2

222a a c c +??≤ ??+?

化简可得：223250a ac c --≥，

所以2

3250c c a a ??--≤ ???

，由c e a =

所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥ 则1e ≤-或35e ≥

，又()0,1e ∈，所以3,15e ??

∈????

又b c >，所以22222b c a c c >?->，

所以2

12

c a ??< ???，则0e <<

综上所述：3,52e ?∈???

故选：B 【点睛】

本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，

PT =

，熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.

11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：

()()()1'0x f x f x --

，()()222x

f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A ．()()10f ef < B ．()()12ef f < C ．()()

3

03e f f >

D ．()()5

14e f f -<

【答案】C

【解析】先设函数()

()x f x g x e

=

，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()

x

x f x f x e e

--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】

解：令()()x f x g x e = ，则''

()()()x

f x f x

g x e

-= 因为()()()1'0x f x f x --时，'()0g x <，

当1x <时，'

()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，

又()()222x

f x f x e

--=，所以

2(2)()

x

x f x f x e e

--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，

则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；

(0)(3)g g >，即

03

(0)(3)f f e e

>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.

故选C. 【点睛】

本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3

2

31f x ax x =-+，定义

()()(){}()()()()()

(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ?≥?

==?

[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[)2,+∞

B ．13,8??

+∞????

C ．(],2-∞

D ．13,8?

?-∞ ??

? 【答案】C

【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果.

【详解】 由题可知：

()()(){}()()()()()(),,

max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ?≥?==?

且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x = 等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解 由()3

2

31f x ax x =-+，则()'

236f

x ax x =-

又()()g x xf x '=，所以()3

2

36g x ax x =- 所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解

即313

2a x x ≤

+在[]1,2有解， 令()313h x x x

=+，()'

4233h x x x =--

所以[]

1,2x ∈，则()'

0h x <

故()3

13

h x x x

=

+在[]1,2单调递减 所以()()max 14h x h == 所以242a a ≤?≤ 故选：C 【点睛】

本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.

二、填空题 13．设2422sin

,sin ,tan 555

a b c πππ

===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>

【解析】利用诱导公式，可得sin

5

a π

=，根据sin y x =在0,

2π?

?

??

?

的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π??

??

?

的单调性，以及中间值1比较，可得结果. 【详解】

由题可知：24sin

sin 5sin 555a ππππ?

?==-= ??

? 由sin y x =在0,2π??

??

?

的单调递增， 所以20sin

sin

15

5

a b π

π

<=<=< 又tan y x =在0,2π??

??

?

的单调递增 所以2tan

tan 154

c ππ

=>= 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】

本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.

14．已知0,0x y >>，且21

1x y

+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________.

【答案】()(),42,-∞-+∞U

【解析】利用等价转化法，可得()2

min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得

()min 2x y +，简单计算，最后可得结果.

【详解】

由题可知：若2

22x y m m <++有解 则()2

min 22m m x y >++

因为

21

1x y

+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ??+=++

???

42448x y x y y x +=+

+≥+=

当且仅当4x y

y x

=，即2x y =时，取等号

所以228m m +>，

则()()2

280420m m m m ->?+->+

所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-?+∞ 故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】

本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得

28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题.

15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且

()22225a f m f m m ?

?-->-+- ??

?，则m 的取值范围是______.

【答案】1

12

m ≤<

. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】

因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，

所以可得(

)(

)

2

2

122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,

因为210m --<，2

2

22(1)10m m m -+-=---< 所以由(

)(

)

2

2

122f m f m m -->-+-可得，

22221223103220

m m m m m m ?-->-+-?-≤--≤?

?-≤-+-≤?

解得112m ≤<. 故m

的取值范围是112

m <. 【点睛】

本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.

16．已知函数(),0

ln ,0

x a e x f x x x ??≤=?>?，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数

解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U

【解析】令()t f x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】

令()t f x =，方程()()0f

f x =有且只有一个实数解

即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点

当0a =时，()0,0

ln ,0x f x x x ≤?=?>?

则0000t t ≤??≤?=?或0

1ln 0

t t t >??=?=? 如图

若1t =时，有1个交点 当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，

则00t t t ae ≤??∈??=?或0

1ln 0

t t t >??=?

=? 如图

当1t =时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点 则011ae a

t t ae ≤??∈??

=?或0

1ln 0

t t t >??=?=? 如图

当1t =时，(),y t y f x ==图象只有一个交点 所以0a <

综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U 【点睛】

本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.

三、解答题

17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如

下：

已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；

（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；

（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.

（注：n 个数据12,,,n x x x ?，的方差()()()222

2

121n s x x x x x x n ??=-+-++-?

?L ，其中x 为数据12,,,n x x x ?的平均数）

【答案】（1）127；（2（3）

2125

【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.

（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2

A s ，然后可得A s （3）先计算抽取A ，

B 型号电动摩托车各1台的总数1

1

55C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】

（1）A 型续航里程的平均数：

120+125+122+124+124

=1235A x =

B 型续航里程的平均数：

118+123+127+120+488

=55

B a a x +=

又B A x x =，所以127a = （2）由()()()2222

121n s x x x x x x n ??=

-+-++-?

?L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：

()()()()()22222

23211115A s ---??=+-+-+?

+?

则2

3.2A s =（km 2）

所以标准差为A s =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数11

5525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11

224C C =

所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：

42112525

P =-

= 【点睛】

本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题

18．已知向量2cos ,1,cos

,3cos 22x x a b x π-????

==- ? ?????

r r . （1）当a b ⊥r r

时，求2cos sin 2x x +的值；

（2）设函数()()

f x a b a =-?r r r

，在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且

(

)4,f A a ==ABC ?的面积S 的最大值.

【答案】（1）

7

10；（2）52

【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得

2

2tan 1

tan 1

x x ++，然后简单计算，可得结果. （2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2

A π

=

，

然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】

（1）由a b ⊥r r

，所以0a b ?=r r ，又2cos ,12x a ??= ??

?

r

cos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-????

=-=- ? ?????

r

所以2cos

sin 3cos 3cos sin 022x x x x x ??-+=-= ???

又cos 0x ≠，所以tan 3x =

22

222

cos 2sin cos 2tan 1

cos sin 2cos sin tan 1

x x x x x x x x x +++==++ 所以2

22317

cos sin 23110

x x ?++=

=+

（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ??-=-

???

r r 所以()2cos +sin 2cos 13cos 222

x x x

f x x ??=?+- ??? 则()2

4cos

2sin cos 13cos 222

x x x

f x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++- 所以(

)sin cos 334f x x x x π?

?=-+=

-+ ??

?

由()4f A =

344A π?

?-+= ??

?

则sin 4A π?

?

-

= ?

?

?， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ????

-∈- ? ??

???

所以4

4

2

A A π

π

π

-

=

?=

所以可知三角形ABC ?为直角三角形

则2

2

2

2a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）

又a =，所以5bc ≤ 所以1522

S bc =

? 【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题

19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.

（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ； （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n n

S T c K =

，求证：()

*

1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2n

n b =，()32

n n n S +=

，122n n

T

+=-；（2）证明见详解

【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得

()()

12

111339

26a d a d a a d +=???+=+??，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】

（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 等比数列{}n b 的公比为q 则由题可知：

()()

11232

2317111339

926a d a a a a a a a d a a d +=?++=?????=+=+??? 所以121a d =??=?或130a d =??=?

（舍）

所以()111n a a n d n =+-=+ 由11232,4b a b a ====，则2

1

2b q b == 所以2n

n b =，

()()1+32

2

n n a a n n n S +=

=，

(

)11

12

21n

n n b q T q

+-=

=--

（2）由（1）可知：()12n n

n n a b =+?

所以()2

3

223242...12n

n n K =?+?+?+++?①

则()2

3

4

1

223242 (12)

2n n n K +=?+?+?+++?②

所以①-②可得：

()

()2231222...212n n n n K +=++++-+?-

所以(

)()1

21

1412212

212

n n n n

n n K -++-=+-+?=-?--

所以12n n K n +=?

()()

()()1

1

1

32

22

2

2321n n n n n n n n

n S T c K n n

n ++++-+-=

?==

()()()()12

1

142122321n n n n n n c n n c ++++-

=

-+--+

则112

22

02

n n n n n c c +++++-=> 所以(

)*

1n n c c n N +>∈

【点睛】

本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题

20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ?为正三角形，点D 在棱BC 上，且

3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．

（1）证明：1//A C 平面DEF ；

（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（26

【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明

出1

3AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；

（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 【详解】

（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，

E Q 、

F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BO

G =Q I ，则G 为OB 的中

点，

在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，

11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，111

24

BG BO A B ∴=

=，13A G BG ∴=， 13AG

CD BD BG

∴

==，1//AC DG ∴， 1A C ?Q 平面DEF ，DG ?平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；

（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，

Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，

E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边

形，

1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，

ABC ?Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，

以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，

设ABC ?的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11

,,0A a

、(10,C a

、(C 、()0,0,0E

、3,0,44D ?- ??

、1,,02a F ?

?- ???

，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ??

=- ??

?u u u r ，

1A C EF ⊥Q ，则2

1102

a AC EF ?=-

=u u u r u u u r

，得a =

(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q

，34ED ?=- ??u u u r

，EF ??=- ? ???

u u u r . 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r

，由30402n ED x z n EF x y ??=-+=?????=-+=??

u u u v v u u u v v

，得y z ?=??=??.

令1x =

，可得y

，z =DEF

的一个法向量为(n =r

，

111111cos ,A C n A C n A C n ?===?u u u u r r

u u u u r r u u u u r r ，

因此，直线11A C 与平面DEF

【点睛】

本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

21．已知抛物线()2

:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中

直线12,l l 关于直线2x =对称.

（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；