矩阵与线性方程

矩阵与线性方程

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1 第一章 矩阵与线性方程组

在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。一次方程又称为线性方程。在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n 个未知量和m 个方程的线性方程组上去。矩阵是解决这类问题的重要工具之一。

1.1 矩阵及其运算

1.1.1 线性方程组及其矩阵表示

线性方程组（system of linear equations ）的一般形式为

???????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112

222212********* (1.1)

显见，二元一次方程组是其特款。方程组（1.1）中有m 个

方程、n 个未知量。a ij 代表第i 个方程中未知量x j 的系数，b i 是

第i 个方程的常数项。当常数项b 1 ，b 2 ，…，b m 全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式（1.1）称为非齐次线性方程组。

当m 、n 较大时，方程组（1.1）的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间。因此，我们将方程组（1.1）中未知量的系数简化

2 成如下的m 行n 列矩形数表

????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ21

2222111211 如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得

到m 行n +1列矩形数表

?????

???????m mn m m n n b a a a b a a a b a a a ΛM M M M M ΛΛ21222221111211 对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。

将上述类型的数表抽象为如下的矩阵定义。

定义1.1 将m×n 个数ij a （i =1,2,…,m;j =1,2,…,n ）排成一个矩形数表

A =?????????

???mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ21

2222111211 (1.2)

称为一个m 行n 列矩阵(matrix)，简称为m×n 矩阵。其中横向各排称为行，纵

向各排称为列，m×n 个数叫作矩阵A 的元或元素；a ij 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元；所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。

式（1.2）也简记为：

A = (a ij )m×n 或 A = (a ij )

一般情况下，我们用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵。本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。

定义1.2 如果两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记为

3 A =B 。即如果A = (a ij )m×n , B = (b ij )m×n , 且a ij =b ij (i=1,2,…, m ; j=1,2,…, n ),则 A =B

我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的。为了说明线性方程组如何通过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算。

定义1.3 设矩阵A = (a ik )m×l 的列数与B = (b k j )l×n 行数相同，则由元素

c i j =a i 1b 1j + a i 2b 2j +…+ a il b l j =∑=l

k kj ik

b a

1

(i=1,2,…, m ;

j=1,2,…, n )

构成的m 行n 列矩阵C = (c ij )m×n =(∑=l

k kj ik

b a

1

)m×n 称为矩阵A

与矩阵B 的乘积,记为 C=AB

如果记

A =????????????mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ212222111211, x =?

?

???

?

??????n x x x M 2

1, b =????????????m b b b M 21

则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程

Ax=b (1.3)

1.1.2 矩阵的基本运算及性质

需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成为解决线性问题的有力工具。矩阵已经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运算。

定义1.4 设有两个m×n 矩阵A = (a ij )m×n ，B = (b i j )m×n ，那么A 与B 的和记作A +B ，规定为

4 A +B =?

?

???

??

??

???+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ΛM M M M ΛΛ

2

21

12222

2221

211112121111 应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵，即它们的行数、列数分别对应相等时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m×n 矩阵） (1) A +B = B +A

(2) (A +B)+C=A+(B+C) 设矩阵A = (a ij ),记

－ A = (－a ij )

－A 称为矩阵A 的负矩阵, 显然有 A+(－A)=O 由此规定矩阵的减法为

A －B=A+(－B)

定义1.5 数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ,规定为

λA=A λ=???

??

????

???mn m m n n a a a a a a

a a a λλλλλλλλλΛ

M M

M

M ΛΛ21

222

21

11211

设A 、B 为m×n 矩阵，λ、μ为数，数乘矩阵满足下列运算

规律

(1) (λμ)A =λ(μA ) (2) (λ+μ)A =λA +μA (3) λ(A+B )=λA +λB

这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。

下面给出一些矩阵基本运算的例子。

例1.1 设 A =????

??-361531 B=???

???--83

0212

5 则 A+B=?

?

?

?

??-1191323 例1.2 3??????????---543501321=??

??

??????---151291503963

例1.3 矩阵乘法

????????????-????????????????-1011 10010010010010120101

＝????????????????+++++-+++++-+++-10010010000010120001＝??

?

????

?

????????--21021 例1.4 矩阵乘法

???????

??????????

??

???--111101100101 01

1011110011=??

???

?

?????

?--021*********

0011 例1.5 给定矩阵A =??????????100100010 B =????

??????000000100 则有 AB =??????????100100010??????????000000100=??????????000000000= O BA=??????????000000100??????????100100010=????

??????000000100≠O 由定义及例1.5可以看出，矩阵乘法与数的乘法有一些根本

性的区别：

6 （1）矩阵的乘法对相乘的两个矩阵在行数和列数上是有要求的，即乘积AB 中A 的列数必须与B 的行数相一致，否则乘法无意义。

（2）矩阵的乘法一般是不可交换的，即在一般情况下，AB ≠BA 。实际上，AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使有意义，两者也不一定相等。

（3）两个非零矩阵相乘有可能变成零矩阵。因而，由AB =O 并不能推出A=O 或B=O 。随之而来的是：由AB=AC ，且A ≠O ，并不能推出B=C 。

可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律（假设运算都是可行的）

（1）结合律 A(BC)=(AB)C

（2）分配律（A+B ）C=AC+BC A(B+C)=AB+AC （3）对任一数k ，有k (AB)=(k A)B=A(k B)

矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称为矩阵代数。

对于矩阵，还可以定义转置运算。

定义1.6 把矩阵A 的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称为A 的转置（transpose ），记作A T (或A t ，或A ')。

例如矩阵 A =??????-113021的转置矩阵为 A T =????

?

?????-101231 矩阵的转置满足如下运算规律（假设其中所涉及的运算都

是有意义的）

（1）(A T )T =A

（2）(A+B)T =A T +B T （3）(λA)T =λA T （4）（AB ）T =B T A T

前三个规律是显然的，现在证明（４）：

设A = (a ij )是m×n 矩阵，B =(b ij )是n×p 矩阵。

于是 A T =(ij

a ')n×m ，B T =(ij

b ')p×n ，其中 ij a '＝a ji ，ij b '＝b ji B T A T 中第i 行第j 列元为

7

∑∑∑=====''n

k ki jk n

k jk ki

n k kj

ik

b a a b

a b 1

1

1

而（AB T

)中第i 行第j 列元是AB 中的第j 行第i 列元，即

∑=n

k ki jk

b a

1

所以 （AB T

)＝B T A T 证毕 设A 为n 阶方阵，如果满足A T =A ，即

a ij =a ji (i,j=1,2,…，n )

那么A 称为对称阵。对称阵的特点是：它的元以主对角线为对称轴而对应相等。 1.1.3 几种特殊形式的矩阵

如果矩阵A = (a ij ) 行数与列数等于n ，则称A 为n 阶矩阵

（或称n 阶方阵）。

在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元称为对角元。主对角线一侧所有元都为零的方阵称为三角形矩阵。三角形矩阵有两种，分别称

????????????nn n n a a a a a a ΛM M M M ΛΛ00022211211 或 ????????????nn n n a a a a a a ΛM M M M ΛΛ

21

222111000 为上三角形矩阵或下三角形矩阵。

主对角线以外全为零的n 阶方阵

Λ=?

?

???

?

??????n λλλΛM M M M ΛΛ

00000021 称为对角线矩阵（diagonal matrix ），简称对角阵，也可以记为

Λ=diag(λ1 ,λ2 ,…,λn )

主对角线上元都为1的n 阶对角阵

8 ?

????

?

??????100010001ΛM M M M ΛΛ

称为n 阶单位矩阵（identity matrix ），记为E 或E n 。在矩阵的乘法运算中，

单位矩阵具有如下性质：

对任意矩阵A ，B ，有EA =A ，BE=B

这里假设上述矩阵乘法都是有意义的。

1.1.4 逆矩阵

定义1.7 设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B ，使得

AB=BA=E

则称A 为可逆阵，B 是A 的逆矩阵（inverse ），简称逆阵；可逆阵也称为非退

化阵或非奇异阵。

性质1.1 如果方阵A 可逆，则A 有唯一的逆阵。 证明 设矩阵B 、C 都是A 的逆阵，则有

B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C

所以A 的逆阵是唯一的。 证毕

由于可逆阵A 的逆阵为唯一确定，所以可以用符号A －

1表示，有

A A －1＝A －

1A ＝E

利用逆矩阵的记号，可以方便地表示出某些线性方程组的解。

考虑由n 个方程、n 个未知量构成的线性方程组：

??????

?+++++++++n

n n a x a x a a x a x a a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ221122221211212111

其系数矩阵是方阵