初三数学.相似三角形的性质与判定.学生版

中考内容

中考要求

A

B

C

图形的相似

了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系

会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一

些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小

相似三角形

了解两个三角形相似的概念

会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题

三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份 2010年 2011年 2012年 题号 3 4，20 11，20 分值

4分

9分

9分

考点

相似三角形的简单计算

根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合

根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合

中考考点分析

中考内容与要求

相似三角形的 性质与判定

比例的性质 示例剖析

（1）基本性质：(0)a c

ad bc bd b d =?=≠

3223a b

a b =?= （2）反比性质：(0)a c b d

abcd b d a c =?=≠

()23

023a b ab a b =?=≠ （3）更比性质：a c a b b d c d =?=、(0)d c

abcd b a =≠

2233

a b a b =?=或()3

02b ab a =≠

※（4）合比性质：(0)a c a b c d

bd b d b d ++=?=≠

22555a a b b b ++=?=()0b ≠ （5）分比性质：(0)a c a b c d

bd b d b d --=?=≠

44333a a b b b --=?=()0b ≠ （6）合分比性质：

()a c a b c d c d a b b d a b c d

++=?=≠≠-- 443343

a a

b b a b ++=?=--()0,0b a b ≠-≠ ※（7）等比性质：312123k k

a a a a

b b b b ====

121

121

k k a a a a b b b b ++

+?=++

+ （其中k 为正整数，且1230k b b b b +++

+≠）

①12345123451

a b c d e a b c d e a ++++====?=++++ ②

345

a b c

==，当0a b c ++≠时 345345

a b c a b c

++===

++ 模块一 成比例线段

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三、平行线分线段成比例定理及推论

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

如图1，所示，如果123l l l ∥∥，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF

AC DF

=

． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

如图2，所示，若DE BC ∥，则有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB EC

AB AC =

． 如图3，若AB DE ∥，则有AB AC BC

DE CE CD

==

． l 3l 2

l 1E

D F

C

A B

E

D

C

A

B

E

D C

B A

图⑴ 图⑵ 图⑶

【例1】 ⑴ 若

(0)23x y x =≠，则2x y x +=（ ） A ．12 B ．8

3 C ．73 D ．72

⑵ 已知(0)a c

abcd b d =≠，则下列等式中不成立的是（ ）

A ．b d a c =

B ．a b c d b d --=

C ．a c a b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠)

D ．a d a b c b

+=+

⑶ 已知457

x y z

==，则x y y z +=+ ．

⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的

实际距离为 m ．

⑸ 已知b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，则=b _____cm .

【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式是（ ）

A ．AD AE D

B E

C = B ．AB AC A

D A

E = C ．AC EC AB DB = D ．AD AE EC DB

=

⑵ 如图，已知3

2

AB AC BC AD AE DE ===，则 ①CE AE

= ； ②若10cm BD =，则AD = cm ，

③若ADE △的周长为16cm ，则ABC △的周长为 ． ⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，如果12AM MB =，

则BP BC 的 值为 ． ⑷ 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，现得到下列结论：

①AE BF EC FC =；②AD AB BF BC =；③EF DE AB BC =；④CE EA CF BF =， 其中正确比例式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个

C ．2个

D ．1个

夯实基础

F E D C

B A

P N

M

C B A

E D A B C

定 义

示例剖析

相似图形：形状相同的图形叫做相似图形． 两个正方形是相似图形

相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．

放大后的图形和放大前的图形是相似多

边形．

相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

相似三角形的性质：

⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的 比等于相似比；（需要证明）

⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.

⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．

若ABC DEF △∽△， 则AB BC AC k DE EF DF ===（k 为相似比） ABC DEF C k C =△△，2ABC DEF

S

k S =△△

【例3】 ⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是

她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花 边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 （ ）

A B C D

⑵ 如图，ABC △中，点D 在线段BC 上，且ABC DBA △∽△， 则下列结论一定正确的是（ ）

A ．A

B AD AD CD ?=? B ．2AB A

C B

D =? C ．2AB BC BD =? D ．AB AD BD BC ?=?

夯实基础

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模块二 相似的相关知识点

D C

B A

⑶ 如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，E

是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△， 则BF 的长是（ ） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8

⑷如图，ABC AED △∽△，点D 、E 分别在AB 、AC 上， 且∠ABC =∠AED ．若DE =4，AE =5，BC =8；则AB 的长 为 ．

相似三角形的判定定理

⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；

⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶三边对应成比例的两个三角形相似.

由⑴得到

① 任何两个等边三角形都相似;

② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;

③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似; ④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．

【例4】 ⑴如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，

不正确．．．

的是（ ） A ．∠ABD =∠C B ．∠ADB =∠ABC C ．

CD CB BD AB = D ．AC

AB

AB AD =

夯实基础

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模块三 相似三角形的判定

D

C

B

A

E C

B

F D

E

A

D B

A

D E

C

B

⑵ 给出以下条件：

①ABC △的两个角分别是58°和70°，A B C '''△的两个角分别是58°和52°.

②ABC △的两边长分别为4cm 和3cm 2，夹角为40°，

A B C '''△的两边长分别为4

cm 3

和1

cm 2

，夹角为40°. ③ABC △的边长分别是5cm 、

6cm 、8cm ，A B C '''△的边长分别是5

cm 2

、3cm 、4cm . ④ABC △中，90C ∠=°，3AC =，4BC =，A B C '''△中，90C '∠=°，6A C ''=，8B C ''=.

其中能判定ABC △和A B C '''△相似的条件有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4 个

【例5】 ⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ABC △，②BCD △，③BDE △，④

BFG △，⑤FGH △，⑥EFK △，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）

A ．②③④

B ．③④⑤

C ．④⑤⑥

D ．②③⑥ ⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， ABC △是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC △相似（全等除外），则格点P 的坐标是 ．

⑶ ?=∠=∠90E C ，3=AC ，4=BC ，2=AE ，

则=AD ．

【例6】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°．点E 为底AD 上一点，将△ABE

沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F ．

(1) 求证：△ABG ∽△BFE ；

(2) 设4=AD ，3=AB ，当四边形EFCD 为平行四边形时，求BC 的长度．

E

G

D

C

F B A

能力提升

123432

1C B A x

K H G

F

E D C

B A ⑥⑤

④③②①

【例7】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案

例，请补充完整．

(1) 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延

长线交射线CD 于点G ．若

m EF AF =，求

CG

CD

的值． (2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和

BD 相交于点F ．若a CD AB =，b BE BC

=()0 0＞，

＞b a ，则EF

AF 的值是__________(用含a ，b 的代数式表示) ．

探索创新

图1

D G

F C

E B

A

图2

B

A

F

C

E

D

下列命题中，假命题是 （ ）

A ．若两个直角三角形中，各有一个角是50°，则两三角形相似

B ．若两个等腰三角形中，各有一个角是60°，则两三角形相似

C ．若两个等腰三角形中，各有一个角是70°，则两三角形相似

D ．若两个等腰三角形中，各有一个角是110°，则两三角形相似

_____________________

如图，F 是ABC △的AB 边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）

A ．若AFC AC

B ∠=∠，则ACF AB

C △∽△ B ．若ACF B ∠=∠，则ACF ABC △∽△ C ．若2AC AF AB =?，则ACF ABC △∽△

D ．若::AC CF AB BC =，则ACF ABC △∽△

_____________________

训练1. 若

a b c

a b c a b c

c b a

+--+-++==

，则()()()a b a c b c abc +++= ．

训练2. 已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ．

⑴当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； ⑵当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．

思维拓展训练(选讲)

F C

B

A

训练3.如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排摆放，求

EBF EBG

∠+∠．

训练4.如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF EC

⊥交AB于F，连接FC （AB AE

>）.

（1）AEF

△与ECF

△是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.

（2

）设

AB

k

BC

=是否存在这样的k值，使得AEF

△∽BCF

△，若存在，证明你的结论并求出k值；若不存在，说明理由.

F

E D

C

B

A

知识模块一成比例线段课后演练

【演练1】如图，在ABC

△中，AB AC

<，延长AB到D，在AC上取CE BD

=，连结DE与BC

交于F，求证：AB EF

AC FD

=．

A

B

C

E

D

F

实战演练

H G F

E

D

C

B

A

知识模块二相似的相关知识点课后演练

【演练2】如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形面积是（）

A．2

2cm B．2

4cm C．2

8cm D．2

16cm

知识模块三相似三角形的判定课后演练

【演练3】如图，D、E是ABC

△的边AC、AB上的点，且AD AC

?=AE AB

?，求证：ADE B

∠=∠.

【演练4】梯形ABCD中，AB CD

∥，2

AB DC

=，E、F分别为AB

与BC中点．

求证：⑴EDM FBM

△∽△；

⑵9

BD=，求BM的长．

【演练5】下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）

M

F

D C

B

E

A

E

D

C B

A

A B C D