行程问题经典例题

8、如图3-1,甲与乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此

圆形路线运动,当乙走了100米以后,她们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相

遇、求此圆形场地的周长.

【分析与解】 注意观察图形,当甲、乙第一次相遇时,甲乙共走完12圈的路程,当甲、乙第二次相遇时,甲乙共走完1+12＝32圈的路程. 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1:3,

因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走

的总路程的3倍,即100×3=300米.

有甲、乙第二次相遇时,共行走(1圈－60)+300,为

32

圈,所以此圆形场地的周长为480米. 行程问题分类例析

河北 欧阳庆红

行程问题有相遇问题,追及问题,顺流、逆流问题,上坡、下坡问题等、在运动形式上分

直线运动及曲线运用(如环形跑道)、 相遇问题就是相向而行、相遇距离为两运动物体的距

离与、追及问题就是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追

及,追及距离慢快S S S +=、顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向,去时顺流,回时则为逆流、

一、相遇问题

例1:两地间的路程为360km,甲车从A 地出发开往B 地,每小时行72km;甲车出发25分钟后,

乙车从B 地出发开往A 地,每小时行使48km,两车相遇后,各自按原来速度继续行使,那么相

遇以后,两车相距100km 时,甲车从出发开始共行驶了多少小时？

分析:利用相遇问题的关系式(相遇距离为两运动物体的距离与)建立方程、

解答:设甲车共行使了xh,则乙车行使了h x )(6025-

、(如图1)

依题意,有72x+48)(6025-

x =360+100, 解得x=4、

因此,甲车共行使了4h 、

说明:本题两车相向而行,相遇后继续行使100km,仍属相遇问题中的距离,望读者仔细体会、

例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4、6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度

就是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?

分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题、

顺风中的速度=静风中速度+风速

逆风中的速度=静风中速度-风速

解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回、

图1

依题意,有642557525575.=-++x x 解得:x=1320、

答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回、

解法二: 设飞机顺风飞行时间为th 、

依题意,有(575+25)t=(575-25)(4、6-t),

解得:t=2、2、

(575+25)t=600×2、2=1320、

答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回、

说明:飞机顺风与逆风的平均速度就是575km/h,则有

645752.=x ,解得x=1322、5、错误原因在于飞机平均速度不就是575km/h,而就是)/(h km v v v v v x v x x

574550

600550600222≈+??=+?=+逆顺逆顺逆顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车,环形公路长为42km,甲、乙两人的速度分别为21 km/h 、14 km/h 、

(1) 如果两人从公路的同一地点同时反向出发,那么经几小时后,两人首次相遇?

(2) 如果两人从公路的同一地点同时同向出发,那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这就是环形跑道的行程问题、

解答:(1)设经过xh 两人首次相遇、

依题意,得(21+14)x=42,

解得:x=1、2、

因此,经过1、2小时两人首次相遇、

(3) 设经过xh 两人第二次相遇、

依题意,得21x-14x=42×2,

解得:x=12、

因此,经过12h 两人第二次相遇、

说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题,反向运动属相遇问题、从同一地点出发,相遇时,追及路程或相隔路程就就是环形道的周长,第二次相遇,追及路程为两圈的周长、

有趣的行程问题

【探究新知】

例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,问:二人几小时后相遇？

分析与解: 出发时甲、乙二人相距30千米,以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10(千米),即两人的速度的与(简称速度与),所以30千米里有几个10千米就就是几小时相遇、

30÷(6＋4)

＝30÷10

＝3(小时)

答:3小时后两人相遇、

本题就是一个典型的相遇问题、在相遇问题中有这样一个基本数量关系:路程＝速度与×时间、

例2、如右下图有一条长方形跑道,甲从A 点出

发,乙从C点同时出发,都按顺时针方向奔跑,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.5米。当甲第一次追上乙时,甲跑了多少圈？(第二届希望杯试题)

分析与解:这就是一道环形路上追及问题。在追及问题问题中有一个基本关系式:追击路程=速度差×追及时间。

追及路程:10＋6=16(米)

速度差:5－4、5=0、5(米)

追击时间:16÷0、5=32(秒)

甲跑了5×32÷[(10＋6)×2]=5(圈)

答:甲跑了5圈。

例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地,平均每小时行45千米,一列客车从乙地开往甲地,平均每小时比货车快15千米,已知客车比货车迟发2小时,中午12时两车同时经过途中某站,然后仍继续前进,问:当客车到达甲地时,货车离乙地还有多少千米？

分析与解:货车每小时行45千米,客车每小时比货车快15千米,所以,客车速度为每小时(45＋15)千米;中午12点两车相遇时,货车已行了(12—6)小时,而客车已行(12—6－2)小时,这样就可求出甲、乙两地之间的路程、最后,再来求当客车行完全程到达甲地时,货车离乙地的距离、

解:①甲、乙两地之间的距离就是:

45×(12—6)＋(45＋15)×(12—6—2)

＝45×6＋60×4

＝510(千米)、

②客车行完全程所需的时间就是:

510÷(45＋15)

＝510÷60

＝8、5(小时)、

③客车到甲地时,货车离乙地的距离:

510—45×(8、5＋2)

＝510－472、5

＝37、5(千米)、

答:客车到甲地时,货车离乙地还有37.5千米、

例4、两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米、两车错车时,甲车上一乘客发现:从乙车车头经过她的车窗时开始到乙车车尾经过她的车窗共用了14秒,求乙车的车长？

分析与解:首先应统一单位:甲车的速度就是每秒钟36000÷3600＝10(米),乙车的速度就是每秒钟54000÷3600＝15(米)、本题中,甲车的运动实际上可以瞧作就是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动,乙车的运动则可以瞧作就是乙车车头的运动,因此,我们只需研究下面这样一个运动过程即可:从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起,乙车车头与甲车乘客开始作反向运动14秒,每一秒钟,乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大(10＋15)米,因此,14秒结束时,车头与乘客之间的距离为(10＋15)×14＝350(米)、又因为甲车乘客最后瞧到的就是乙车车尾,所以,乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之与应恰等于乙车车身的长度,即:乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之与、

解:(10＋15)×14

＝350(米)

答:乙车的车长为350米、

例5、某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米、时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟？

分析与解:解这类应用题,首先应明确几个概念:列车通过隧道指的就是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止、因此,这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长;两车相遇,错车而过指的就是从两个列车的车头相遇算起到她们的车尾分开为止,这个过程实际上就是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题,这两个列车在这段时间里所走的路程之与就等于她们的车长之与、因此,错车时间就等于车长之与除以速度之与。

列车通过250米的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,所以列车行驶的路程为(250—210)米时,所用的时间为(25—23)秒、由此可求得列车的车速为(250—210)÷(25—23)＝20(米/秒)、再根据前面的分析可知:列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长,因此,这个列车的车长为20×25—250＝250(米),从而可求出错车时间。

解:根据另一个列车每小时走72千米,所以,它的速度为:

72000÷3600＝20(米/秒),

某列车的速度为:

(250－210)÷(25－23)＝40÷2＝20(米/秒)

某列车的车长为:

20×25-250＝500-250＝250(米)

两列车的错车时间为:

(250＋150)÷(20＋20)＝400÷40＝10(秒)、

答:错车时间为10秒、

例6、甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行,各自前往B地、A地。甲每小时行32千米,乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机,当她们之间的距离小于20千米时,两人可用对讲机联络。问:

(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络?

(2)她们用对讲机联络后,经过多长时间相遇?

(3)她们可用对讲机联络多长时间?

(第四届希望杯试题)

分析与解:

(1)(260-20)÷(32+48)=3(小时)。

(2)20÷(32+48)=0、25(小时)。

(3)从甲、乙相遇到她们第二次相距20千米也用0、25小时.所以她们一共可用对讲机联络

0、25+0、25=0、5(小时)。

例7、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇、相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米？

分析与解:甲、乙两车共同走完一个AB全程时,乙车走了64千米,从上图可以瞧出:它们到第二次相遇时共走了3个AB全程,因此,我们可以理解为乙车共走了3个64千米,再由上图可知:减去一个48千米后,正好等于一个AB全程、解:①AB间的距离就是

64×3－48

＝192－48

＝144(千米)、

②两次相遇点的距离为

144—48－64

＝32(千米)、

答:两次相遇点的距离为32千米、

※例8赵伯伯为锻炼身体,每天步行3小时,她先走平路,然后上山,最后又回沿原路返回,假设赵伯伯在平路上每小时行4千米,上山每小时行3千米,下山每小时行6千米,在每天锻炼中,她共行走多少米？(第五届希望杯试题)

分析与解:赵伯伯上山与下山走的路程相同,上山速度为3千米,下山速度为6千米,上山与下山的平均速度就是多少？(这就是一个易错题)可以通过“设数”的方法让四年级同学明白。

设上山路程为6千米,(想一想为什么设6千米？还可以设几千米？)

上山时间为:6÷3=2(时)

下山时间为:6÷6=1(时)

上下山的平均速度为:(6＋6)÷(2＋1)=4千米

又因为平路的速度也为4千米/小时,所以赵伯伯每天锻炼走的路程为:4×3=12千米。

【挑战自我】

1、小明、小华与小新三人家在同一条街道上,小明家在小华家西300米处,小新家在小明家东400米处,则小华家与小新家相距多少米？(第三届希望杯试题)

答案:画图得100米。

2、小明家离学校2千米,小光家离学校3千米,小明与小光的家相距多少千米？(第一届希望杯试题)

答案:1千米与5千米之间。

分类讨论,一题多解。

当小明家与小光家在同一侧时,距离最近为1千米。

当小明家与小光家方向相反时,距离最远为5千米。

但就是小明与小光家可能不在一条直线上,所以小明与小光家的距离应在1千米至5千米之间。

3、甲乙两个港口相距400千米,一艘轮船从甲港顺流而下,20小时可到达乙港。已知顺水船速就是逆水船速的2倍。有一次,这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到突发事件,反向航行一段距离后,再掉头驶向乙港,结果晚到9个小时。轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？(第四届希望杯试题)

答案:顺水速度就是400÷20=20(千米)

逆水速度就是20÷2=10(千米)

反向航行一段距离顺水时用的时间就是9÷(2＋1)=3(小时)

比正常情况多行驶的路程就是20×3×2=120(千米)

4、两列相同而行的火车恰好在某站台相遇。如果甲列车长225米,每秒行驶25米,乙列车每秒行驶20米,甲、乙两列车错车时间就是9秒。求:

(1)乙列车长多少米？

(2)甲列车通过这个站台用多少秒？

(3)坐在甲列车上的小明瞧到乙列车通过用了多少秒？

(第二届希望杯试题)

答案:(1)乙列车长180米(2)甲列车通过这个站台用多9秒(3)坐在甲列车上的小明瞧到乙列车通过用了4秒

5、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶,甲车如果每小时行60千米,则5小时可追上前方的乙车;如果每小时行驶70千米,则3小时可追上前方的乙车。由上可知,乙车每小时行驶多少千米？(第三届希望杯试题) 答案:乙车每小时行驶45千米。

【综合练习】

1、甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车到达B城需4小时,乙车到达A城需6小时,问:两车出发后多长时间相遇？

答案:240÷(240÷4＋240÷6)＝2、4(小时)、

2、小明家在学校东400米处,小红加在小明家的西200米处,那么小红家距离学校多少米？(第三届希望杯试题)

答案:画图解题,小红家距学校200米。

3、甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,她们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离？

答案:①A、B两地间的距离: 4×3—3＝9(千米)、

②两次相遇点的距离:9－4－3＝2(千米)、

4、周老师与王老师沿着学校的环形林荫道散步,王老师每分钟走55米,周老师每分钟走65米。已知林荫道周长就是480米,她们从同一地点同时背向而行。在她们第10次相遇后,王老师再走多少米就回到出发点？(第四届希望杯试题) 答案:几分钟相遇一次:480÷(55＋65)=4(分钟)

10次相遇共用:4×10=40(分钟)

王老师40分钟行了:55×40=2200(米)

2200÷480=4(圈)……280(米)

所以正好走了4圈还多280米,480－280=200(米)

答:再走200米回到出发点。

5、“希望号”与“奥运号”两列火车相向而行,“希望号”车的车身长280米,“奥运号”车的车身长385米,坐在“希望号”车上的小明瞧见“奥运号”车驶过的时间就是11秒,求:(1)“希望号”与“奥运号”车的速度与？

(2)坐在“奥运号”车上的小强瞧见“希望号”车驶过的时间？

(3)两列火车的会车的时间？

答案:(1)速度与35米/秒;(2)8秒;(3)会车时间19秒。

5.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),她们在离甲村3、5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇、问她们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？

解:画示意图如下、

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍,因此张走了

3、5×3＝10、5(千米)、

从图上可瞧出,第二次相遇处离乙村2千米、因此,甲、乙两村距离就是

10、5-2＝8、5(千米)、

每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程、第四次相遇时,两人已共同走了两村距离(3＋2＋2)倍的行程、其中张走了

3、5×7＝2

4、5(千米),

24、5=8、5＋8、5＋7、5(千米)、

就知道第四次相遇处,离乙村

8、5-7、5=1(千米)、

答:第四次相遇地点离乙村1千米、

35甲、乙、丙就是一条路上的三个车站,乙站到甲、丙两站的距离相等,小强与小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行,小强经过乙站100米时与小明相遇,然后两人又继续前进,小强走到丙站立即返回,经过乙站300米时又追上小明,问:甲、乙两站的距离就是多少米？

先画图如下:

分析与解:结合上图,我们可以把上述运动分为两个阶段来考察:

①第一阶段——从出发到二人相遇:

小强走的路程=一个甲、乙距离+100米,

小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。

②第二阶段——从她们相遇到小强追上小明,小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米, 小明走的路程=100+300=400(米)。

从小强在两个阶段所走的路程可以瞧出:小强在第二阶段所走的路就是第一阶段的2倍,所以,小明第二阶段所走的路也就是第一阶段的2倍,即第一阶段应走400÷2＝200(米),从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300(米)。

47、现在就是3点,什么时候时针与分针第一次重合？

分析与解:3点时分针指12,时针指3。分针在时针后5×3＝15(个)格、

48、有一座时钟现在显示10时整。那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合;再经过多少分钟,分针与时针第二次重合？

解:10时整,分针与时针距离就是10格,需要追击的距离就是(60-10)格,分针走60格,时针走5格,即分针走1格,时针走5/60=1/12格。

第一次重合经过 (60-10)/(1-1/12)=54(6/11)(分)

第二次重合再经过60/(1-1/12)=65(5/11)(分)

答:经过54(6/11)分钟,分针与时针第一次重合;再经过65(5/11)分钟,分针与时针第二次重合。

2点钟以后,什么时刻分针与时针第一次成直角？

分析与解:在2点整时,分针落后时针5×2=10(个)格,当分针与时针第一次成直角时,分针超过时针60×(90÷360)=15(个)格,因此在这段时间内分针要比时针多走10+15=25(个)格,所以到达这一时刻所用的时间为:

49、在9点与10点之间的什么时刻,分针与时针在一条直线上？

分析与解:分两种情况进行讨论。①分针与时针的夹角为180°角:

当分针与时针的夹角为180°角时,分针落后时针60×(180÷360)=30(个)格,而在9点整时,分针落后时针5×9=45(个)格、因此,在这段时间内分针要比时针多走45-30=15(个)

格,而每分钟分针比时针多走

(分钟)。

②分针与时针的夹角为0°,即分针与时针重合:

9点整时,分针落后时针5×9=45(个)格,而当分针与时针重合时,分针要比时针多走45个格,因此到达这一时刻所用的时间为:45÷(1-1/12)＝49又1/11(分钟)

19、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙;如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离。

解: 先画图如下:

【方法一】若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C 用6分钟、而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程时,所用时间应

为:(26-6)=20(分)。

同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD、即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之与,为50×(26＋6)=1600(米)、所以,甲的速度为1600÷20＝80(米/分),由此可求出A、B间的距离。

50×(26+6)÷(26-6)=50×32÷20＝80(米/分)

(80+50)×6＝130×6=780(米)

答:A、B间的距离为780米。

【方法二】设甲的速度就是x米/分钟

那么有(x-50)×26=(x+50)×6

解得x=80

所以两地距离为(80+50)×6=780米

5.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),她们在离甲村3、5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇、问她们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？

解:画示意图如下、

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍,因此张走了

3、5×3＝10、5(千米)、

从图上可瞧出,第二次相遇处离乙村2千米、因此,甲、乙两村距离就是

10、5-2＝8、5(千米)、

每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程、第四次相遇时,两人已共

同走了两村距离(3＋2＋2)倍的行程、其中张走了

3、5×7＝2

4、5(千米),

24、5=8、5＋8、5＋7、5(千米)、

就知道第四次相遇处,离乙村

8、5-7、5=1(千米)、

答:第四次相遇地点离乙村1千米、

例20 从甲市到乙市有一条公路,它分成三段、在第一段上,汽车速度就是每小时40千米,在第二段上,汽车速度就是每小时90千米,在第三段上,汽车速度就是每小时50千米、已知第一段公路的长恰好就是第三段的2倍、现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行、1小时20分后,在第二段的1/3处(从甲方到乙方向的1/3处)相遇,那么,甲、乙两市相距多少千米？

解一:画出如下示意图:

当从乙城出发的汽车走完第三段到C时,从甲城出发的汽车走完第一段的

到达D处,这样,D把第一段分成两部分

两车在第二段的1/3处相遇,水明甲城汽车从D到E走完第一段,与乙城汽车走完第二段的1/3从C到F,所用时间相同,设这一时间为一份,一小时20分相当于

因此就知道,汽车在第一段需要

第二段需要 30×3＝90(分钟);

甲、乙两市距离就是

答:甲、乙两市相距185千米、

把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段,而两车逐段所用时间都相应地一样、这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系、这就是一种典型的方法、例8、例13也就是类似思路,仅仅就是问题简单些、

还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间、

解二:走第一段的2/5,与走第三段时间一样就得出

第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2、

D至E与C至F所用时间一样,就就是走第一段的3/5与走第二段的1/3所用时间一样。

第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9、

因此,三段路程所用时间的比就是: 5∶9∶2、

行程问题(三)

相遇问题就是指两个物体在行进过程中相向而行,然后在途中某点相遇的行程问题。其主要数量关系式为:

总路程=速度与×相遇时间

追及问题就是指两个物体在行进过程中同向而行,快行者从后面追上慢行者的行程问题。其主要数量关系式为:

路程差=速度差×追及时间

例1 姐姐放学回家,以每分钟80米的速度步行回家,12分钟后妹妹骑车以每分钟240米的速度从学校往家中骑,经过几分钟妹妹可以追上姐姐？

分析:经过12分钟,姐姐到达A地,妹妹骑车回家。如下图所示:

例2 一辆公共汽车与一辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行,公共汽车每小时行35千米,小轿车每小时行55千米,几小时后两车相距90千米？

分析:两车从相距360千米的两地同时出发相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距90千米。如下图