大学物理竞赛题实用标准版(含问题详解)

2011年浙江省大学生物理竞赛

理论竞赛卷

考试形式：闭卷，允许带 无存储功能的计算器 入场 考试时间： 2011 年 12 月 10 日 上午8:30~11:30

气体摩尔常量 K mol J 31.8??=R 玻尔兹曼常量 K J 10

38.1??=k

真空介电常数 ε0=8.85?10-12C 2/(N ?m 2) 真空中光速 c =3?108m/s 普朗克常数h =6.63?10-34J ?s

基本电荷e =1.6?10-19C 真空介电常数ε 0=8.85?10-12C 2/(N ?m 2) 电子质量m e =9.1? 10-31kg 真空磁导率μ0=4π?10-7H/m

真空中光速c =3?108m/s

里德伯常数-1

7

m 10097.1?=R 电子伏特 1eV=1.6? 10-19J 氢原子质量 m =1.67? 10-27kg 维恩位移定律常数b =2.898×10-3m K

斯忒恩-波尔兹曼常数σ=5.67×10-8W/m 2K 4 这三项是公式编的，字号偏大。字号改小后：-1

1

-K mol J 31.8??=R ，-1

23

K J 1038.1??=-k ，

-1

7

m 10097.1?=R

一、选择题：（单选题，每题3分，共30分）

1．质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为 j t B i t A r

ωωsin cos +=，式中A 、B 、

ω 都是正的常量．由此可知外力在t =0到t =π/(2ω)这段时间内所作的功为（ ）

A ．

)(21

222B A m +ω B ．)(222B A m +ω C ．)(21222B A m -ω D ．)(2

12

22A B m -ω

2．一座塔高24m ，一质量为75kg 的人从塔底走到塔顶. 已知地球的质量为6?1024kg ，从日心参考系观察，地球移动的距离为？（ ）（不考虑地球的转动）

A ．12m

B ．24m

C ．4.0?-24

m D ．3.0?-22m 3．边长为l

的正方形薄板，其质量为m ．通过薄板中心并与板面垂直的轴的转动惯量为（ ） A ．

231ml B ．261ml C ．2121ml D ．224

1

ml

4．μ子的平均寿命为2.2?10-6s ．由于宇宙射线与大气的作用，在105m 的高空产生了相对地面速度为0.998c （c 为光速）的μ子，则这些μ子的（ ） A ．寿命将大于平均寿命十倍以上，能够到达地面 B ．寿命将大于平均寿命十倍以上，但仍不能到达地面 C ．寿命虽不大于平均寿命十倍以上，但能够到达地面 D ．寿命将不大于平均寿命十倍以上，不能到达地面

5．乐器二胡上能振动部分的弦长为0.3m ，质量线密度为=ρ4?10-4kg/m ，调音时调节弦的

张力F ，使弦所发出的声音为C 大调，其基频为262Hz. 已知波速ρ

F

u =

，则弦中的张力

为（ ）

A ．1.0N

B ．4.2N

C ．7.0N

D ．9.9N

6．一固定的超声波探测器在海水中发出频率为30000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜艇反射回来，测得反射波频率与原来的波频率之差（拍频）为241Hz ．已知超声波在海水中的波速为1500m/s ，则潜艇的速率为( ) m/s A ．1 B ．2 C ．6 D ．10

7．如图所示，两个相同的平板电容器1和2并联，极板平面水平放置．充电后与电源断开，此时在电容器1中一带电微粒P 恰好静止悬浮着。现将电容器2的两极板面积减小为原来的一半，则微粒P 运动的加速度为（ ） A ．0 B ．

3g C ．2

g D ．32g

8．用电阻丝绕制标准电阻时，常在圆柱陶瓷上用如图所示的双线绕制方法绕制，其主要目的是（ ）

A ．减少电阻的电容

B ．增加电阻的阻值

C ．制作无自感电阻

D ．提高电阻的精度

上面4个选项间距可减小，排成一行

9．选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为（ ）

A ．302r U R

B ．R U 0

C ．2

0r RU D ．r U 0

10．如图所示．一电荷为q 的点电荷，以匀角速度ω作圆周运动，圆周的半径为R ．设t = 0

时q 所在点的坐标为x 0 = R ，y 0 = 0 ，以i 、j

分别表示x 轴和y 轴上

的单位矢量，则圆心处O 点的位移电流密度为（ ） “荷”字改为“量”

A ．i t R q ωω

sin 42π B ．j t R q ωωcos 42π C ．

k R q 2

4πω

D ．)cos (sin 42

j t i t R

q ωωω

-π

二、填空题：（10题，每题

4分，共40分）

1．一质点沿半径为R 的圆周运动，其路程S 随时间t 变化的规律为2

2

1ct bt S -

= (SI) ，

式中b 、c 为大于零的常量,且b 2>Rc. 则此质点运动的切向加速度a t =______________；法向加速度a n =________________．（“b 、c 为大于零的常量,且b 2>Rc ”中的逗号是半角的）

2．质量为m 的物体，在外力作用下从原点由静止开始沿x 轴正向运动．所受外力方向沿x 轴正向，大小为F = kx ．物体从原点运动到坐标为x 0的点的过程中所受外力冲量的大小为__________________．

3．水平桌面上铺一张纸，纸上放一质量为0.5kg 、半径为0.1m 的均匀球，球与纸之间的动摩擦系数为0.02．重力加速度g =10m/s 2．现用力拉出纸，从静止开始的2s 内（球始终在纸

1 2

P

上），球心相对桌面移过的距离为____________，球转过的角度为____________.

计算题5给了转动惯量，这里是否也给？（已知小球的转动惯量为2

5

2mR J =）

4．宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则从地面上观测该飞船的长度为______________ (用c 表示真空中光速).

5．已知某物体作简谐振动的v ~t 曲线如图所示，则此简谐振动的方程为_______________．

6．如图所示，半径为R 的半圆环均匀带电，电荷线密度为λ，则圆心处

的场强为_______________．

7．有一内外半径分别为a 和b 的球形金属空腔，带电量为 +Q ，空腔内与球心o 相距r 处有一点电荷 +q （如图所示），则球心o 点

的电势为____________．

8．真空二极管是由一个圆柱体阴极和一个套在阴极外的同轴圆柱筒阳极构成。设阴极半径为R 1，阳极圆柱筒半径为R 2，两极电势差为U 。若电子从阴极逸出时的速度为零，则该电子到达阳极时的速度为____________，电子在运动中受到的最大作用力为____________．（设电子质量m ，电量e ） 9．将表面涂有绝缘漆的一根长为L =6.28cm 的软导线与一电源连成一个闭合回路．开始时将导线并成条形（如图，电源没有画入），后在B =0.1T 的匀强磁场作用下，回路被扩成一个圆（磁场与圆平面垂直），若回路中的电流保持为I =2A ，则这过程中磁力作功为____________．

10．如图所示，闭合回路由在x 轴上的一段直线和对数螺线构成，对数螺线方程为π

θ/e -=a r ，式中a 是大于1的常数．回路中的电流强度为I ，则原点处的磁感应强度大小为___________，方向__________．

--

三、计算题：（8题，共 80分）

1．（本题10分）如图所示，长直细绝缘杆与y轴成θ角，固定于绝缘地面Array上O点．将质量m、带电量q的小环（可视为点电荷）从上端套入细杆，

小环可滑动到细杆底端O点，环与杆之间的滑动摩擦系数为μ．再将第二

个完全相同的小环放入，求第二个小环能停住的y坐标的范围．

2．（本题10分）将质量为m的物体以初速度v0向上斜抛，抛射角（初始运动方向与地面的夹角）为θ．设物体在空中运动时，受到的阻力与速率成正比，比例系数为k．求运动方程．

（该题留的空可能不够）

3．（本题12分）有一质量为M 、长为l 的均匀细棒，其一端固定一质量也为M 的小球，另一端可绕垂直于细棒的水平轴O 自由转动，

组成一球摆．现有一质量为m 的子弹，以水平速度v

射向小球，子

弹穿过小球后速率减为2

v

，方向不变，如图所示．如果要使球摆能在铅直平面内完成一个完全的圆周运动，则子弹射入速度v

的大小至

少为多大？ .

4．（本题8分）一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．

(1) 求λ2

1=d P 处质点的振动方程；

(2) 求此波的波动表达式；

(3) 若图中 λ2

1=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．

本题改为：

4．（本题8分）一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．若图中 λ2

1=d ，求

(1) P 处质点的振动方程； (2) 此波的波动表达式；

(3) 坐标原点O 处质点的振动方程．

(m)

v

5．（本题10分）质量为m ，半径为r 的均匀小球从高为h 的斜坡上向下作纯滚动，问h 必须满足什么条件，小球才能翻过如图所示半径为R 的圆形轨道顶部而不脱轨？（设r R <<）（已知小球的转动惯量为2

25

=

J mr ） 6．（本题10分）如图，一电荷面密度为σ的均匀带电球面，半径为R ，圆心位于O 点。将球面绕x 轴以角速度ω匀速旋转，求圆心O 处的磁感应强度．

7．（本题10分）如图，真空中一长直导线通有电流I (t )=I 0e -λt （式中I 、λ为常量，t 为时间），一带滑动边的矩形线框与长直导线平行共面，线框宽为b ，与长直导线相距也为b ．线框的滑动边与长直导线垂直，并且以匀加速度a （方向平行长直导线）滑动．忽略自感，设开始时滑动边与对边重合．求滑动边在线框上的任意t 时刻，线框回路内： （1）动生电动势的大小； （2）感生电动势的大小．

题中“（式中I 、λ为常量，t 为时间）”I 应为I 0 8．（本题10分）平行长直电缆线由两根半径为a =10mm 的平行长直导线构成，两线相距为d =20cm ．（忽略导线内部的磁通量）

（1）计算这对传输线单位长度的自感系数；

（2）若通以I =20A 的电流，将导线分开到40cm ，计算这过程中磁场对单位长度导线做的功．

d

四、附加题：（2题，共 30分）

1．（本题15分）计划发射一颗距离地面高度为地球半径R0的圆形轨道地球卫星,卫星轨道平面与赤道片面重合，已知地球表面重力加速度为g.

（1）求出卫星绕地心运动周期T.

（2）设地球自转周期T0,该卫星绕地球旋转方向与地球自

转方向相同，则站在赤道空旷地域的人能连续看到该卫星

的时间是多长？

“卫星,卫星”、“T0,该卫”中间逗号是半角的

（2）中缺“球”字

2、（本题15分）如图所示，n摩尔单原子理想气体

按p-V图进行循环过程. 该循环由等体过程（1-2）、“阶梯”过程（2-3）和等压过程（3-1）组成. 已知状态2的压强是起始状态1的k倍，状态3的体积是起始状态1的k倍，“阶梯”过程中共由N个台阶组成，每一台阶的气体压强与体积的变化均相同. 求整个循环过程的热机效率。

kp

p

0 0

2011年浙江省大学生物理创新竞赛

理论竞赛卷评分参考答案.

2011.12.10

一、选择题：（单选题，每题3分，共30分）

1.C

2.D

3.B

4.B

5.D

6.C

7.B

8.C

9.C 10.D

二、填空题：（10题，每题4分，共40分）

1．-c ，(b -ct )2/R 2

3．0.4 m ，10 rad 4．2)/(1c t c v -??? 5．??

?

??+=66

5

cos 38.0ππt x 6．

R

02πελ

7．b

Q b a r q 004)111(4πεπε++- 8．

m

eU

2，)/ln(121R R R eU eE m =

9．)J (1028.6452

-?=πL IB 10． )1e (42

0-a

I μ，方向垂直纸面向外

三、计算题：（8题，共 80分）

1．（本题10分）

解：设第二个小环能停住的y 坐标的范围为21y y y ≤≤

在最高坐标位置y 2处，小环所受到的摩擦力f 的方向沿细杆向上，小环还受到重力mg 、静电力F 和细杆压力N 的作用，各力平衡，小环恰能停住，如图所示．

沿细杆方向 θcos mg f F =+

垂直细杆方向 θsin mg N =

此时静电力 2

2024r q F πε=

式中r 2为小环到O 点的距离，有 θcos 22r y = 摩擦力 N f μ=

联立上述各式解得

)

sin (cos 41

cos 02θμθπεθ

-=mg q y

在y 1位置时，摩擦力f 方向沿细杆向下，摩擦力f 、重力mg 、静电力F 和细杆压力N 的作用平衡，小环恰能停住。

沿细杆方向 θcos mg f F +=

垂直细杆方向 θsin mg N =

F

y

此时静电力 21

024r

q F πε=

θcos 11r y =

解得

)

sin (cos 41

cos 01θμθπεθ

+=mg q y

该小环能停住的y 坐标的范围为

)

sin (cos 41

cos )sin (cos 41cos 00θμθπεθ

θμθπεθ+≥≥-mg q y mg q

2．（本题10分）

解：设物体的斜抛点为坐标原点，在空中运动位置为x 和y 时的速率分别为v x 和v y ．

t

m

k F x

x x d d v v =-=，t m k mg F y y y d d )(v v =+-=

??-=t x x t m

k

x 0cos d d 0v v v v θ，??-=+t y y t m k k mg k y 0sin d d 0v v v v θ t m

k

x -=e cos 0θv v ，k

mg k mg t m k

y -+=-)e sin (0θv v ??-=t t m

k

x t x 00

0d e cos d θv ，??-+=-t t m k y t k

mg k mg y 000d ])e sin [(d θv ???

????--+=-=--t

k mg e k mg k m y e k

m x t

m k

t m

k )1)(sin ()1(cos 00θθv v

3．（本题12分）

解：1、2223

4

31Ml Ml Ml J =+=

（1） 由O 轴角动量守恒：02ω=+v

mvl m l J （2）

由（1）、（2）得：038ω=mv

Ml （3）

由机械能守恒：2

202

122221ωωJ l Mg l Mg J ++= （4）

要能完成一个完全的圆周运动，必须满足：0≥ω （5）

由（3）、（4）、（5

）得子弹入射的最小速度为：=v

4．（本题8分）

解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为

])4/2cos[(π+π=t A y P )2

1

cos(π+π=t A (SI)

(2) 波动表达式为 ])4(2cos[π+-+π=λ

d

x t A y (SI)

(3) O 处质点的振动方程 )2

1cos(0t A y π=

5．（本题10分） 解：机械能守恒，

2211222

ω=++mgh mg R mv J （22

5=J mr ）

牛顿第二定律 ，2

+=v mg N m R

纯滚动， ωr v = 不脱轨， 0≥N 解得 R h 10

27

≥

6．（本题10分）

解：如图，在x 处取宽为d x 的细圆环。

θθπσθπσd sin 2d 2d 2R rR q =?=，

θθσωπωd sin d 2d d 2R q T q I ===

2

/32220)

(2d d x r I

r B +=μ R R R R dB B σωμθθσωθ

μπ

π00

23

2200

3

2

d sin 2sin =

?==?

?，方向沿x 轴正向． 7．（本题10分） 解：（1）任意t 时刻v =at ，在滑动边上距长直导线r 处取线元d r

?动2ln 2e d 2e d )(00200π

μπμλλt b b t L at I r r I --=??

=??=??v l B

v ，方向向下

（2）如图，任意t 时刻2

21at l =，在r 处取长为l ，宽为d r 的面元d S ?感2ln 4e d 212e d 200220

0π

λμπλμλλt b b t

S t aI r at r I t --=?=???-=??S B ，方向为逆时针 或由法拉弟电磁感应定律

?总)2(42ln d 212d d d d 2002200t t

b b t te e t a I r at r e I t t Φλλλλπ

μπμ----=?-=-=?，方向为逆时针

?感= ?总-（-?动）2ln 4e 200π

λμλt

t aI -=

8．（本题10分）

解：（1）两导线间的磁场为)

(2200r d I

r I B -+=πμπμ 单位长度导线间的磁通量

r r d I

r I S B Φd ])

(22[d d 00-+=?=πμπμ，

a

a d I r r d I r I Φa d a -=-+=?-ln d ])(22[000πμπμπμ

单位长度导线的自感系数μH 2.1ln 0=-==a

a

d I ΦL πμ

（2）设移动一根导线，移动过程中受力为F =IlB ，磁场对单位长度导线做的功为

J 105.52ln 2d 2d 52

04

.02.00-?==?==??

π

μπμI r r I I r F A

四、附加题：（2题，共 30分）

1．（本题15分）

解：(1) 对卫星由牛顿第二定律，有

2

02

02()(2)(2)π=GMm m R R T

对地面的物体0m ，有

02

0=GMm m g R 联解得

2=T (2)设人在B 1位置刚好看见卫星出现在A 1位置，最后在B 2位置看到卫星从A 2位置消失，有

112OA OB =

知 11223

AOB A OB π∠=∠=

设从B 1到B 2时间为t ，有 02223t t

T T

πππ+=

联解有

03()

TT t T T =

=

-

d

A 1

2、（本题15分）

解：由题意，N 个台阶中每一个气体压强的改变为

N

p k p 0

)1(-=

? 同理，每一个气体体积的改变N

V k V 0

)1(-=

? 一个循环中气体对外所作的功等于闭合图线所包围的面积。则该循环中气体对外所作的功为

200

22200

(12......)(-1)(1)2(1)(1)22W p V p V N k N N p V N k k p V N =??=??++++=??--=+????

∑∑

气体经历1-2过程为等容升压过程，温度升高，内能增加，气体从外界吸热，吸收的热量为

121()V Q nC T T =- ， 其中T 1，T 2分别为1和2状态的温度 又由克拉伯龙方程 001p V nRT =，002kp V nRT = 可得

1003

(1)2

Q k p V =-

在2-3过程中：

经历N 次等压膨胀和等容降压，其中等压膨胀过程中气体吸收热量 Q 2，而等容降压过程中对外散热，则吸收的总热量为

212(......)p N Q nC T T T =?+?++? 其中1T ?、2T ?、…….N T ?分别为第1次到第N 次的温度增量

又由克拉伯龙方程有

01kp V nR T ?=?，02()kp p V nR T -??=?，……0[(1)]N kp N p V nR T --??=?

则有

200000

2005

Δ{+([]}

2

(1)51)(1)

22512(1)4Q V kp kp p kp p k V N k N p N N k k N p V N

=?+??+?-++-=+---=-)-(N -1)（（） 而3-1过程中为等压压缩过程，外界对气体做功，气体内能减少，放出热量

故该循环过程的热机效率为

2

2

122(1)(1)5(1)2(35)115

W N k Q Q N k N k N η+-==+++--+

kp p 0