考研数学考前必背常考公式集锦(高等数学篇)

2016考研数学考前必背：常考公式集锦（高等数学篇）

离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了2016年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为高数的常考公式汇总。

1、无穷小的比较

设在某极限过程x →中，函数(),()x x αβ都为无穷小量，并且都不为0.

若()

lim

0()

x x x αβ→

=，则称当x →时，()x α为()x β的高阶无穷小量，或()x β为()x α的低阶无穷小量，记作()(())x o x αβ=； 若()

lim

0()

x x C x αβ→

=≠，则称当x →时，()x α与()x β同阶无穷小量， 若()

lim

1()

x x x αβ→

=，则称当x →时，()x α与()x β为等价无穷小量，记作()~()x x αβ. k 阶无穷小：设在某极限过程x →中，函数(),()x x αβ都为无穷小量，并且都不为0.若

[]

()

lim

0()k

x x C x αβ→

=≠，则称当x →时，()x α是()x β的k 阶无穷小. 2、导数的四则运算法则：设函数()f x 与()g x 均可导，则

[]()()()()f x g x f x g x '''±=±，

[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=

+，

2

()()()()()

()()f x f x g x f x g x g x g x '''??-=????

. 3、常用函数的n 阶导数公式

（1）x

e y = x

n e y =)(

（2）)1,0(≠>=a a a y x

n x n a a y )(ln )

(=

（3）x y sin = )2sin()

(πn x y

n +

= （4）x y cos = )2

cos()

(πn x y

n +

=

（5）x y ln = n n n x n y

----=)!1()1(1)

(

（6）a

y x = ()(1)...(1)n a n

y a a a n x -=--+

4、五个常用的麦克劳林公式

211...2!!(1)!

n x

n x x e e x x n n ξ

+=++++++，ξ在x 与0之间.

321123cos sin ...(1)(1),3!(21)!(23)!

n n

n n x x x x x n n ξ+++=-++-+-++ξ在x 与0之间.

()22122cos cos 1...(1)(1),2!2!(22)!n n n n x x x x n n ξ++=-++-+-+ξ在x 与0之间. 211

1

(1)ln(1)...(1),2(1)(1)

n

n n n n x x x x x n n ξ-++-+=-++-+++ξ在x 与0之间. 211(1)(1)...(1)(1)...()

(1)1...(1),2!!(1)!

a n n n a a a a a n n x ax x x x n n ααααξ--+---+--+=++

+++++ξ在x 与0之间.

5、极值

第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，并在0x 的某去心邻域0000(,)(,)x x x x δδ-+内

可导.

①若00(,)x x x δ∈-时'

()0,f x >而00(,)x x x δ∈+时'

()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值；

②若00(,)x x x δ∈-时'

()0,f x <而00(,)x x x δ∈+时'

()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值；

③若0000(,)

(,)x x x x x δδ∈-+时，'()f x 符号保持不变，则()f x 在0x 处不能取到极值.

第二充分条件：设函数()f x 在0x 处存在二阶导数且'0()0f x =， ①若''0()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值； ②若''0()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值； ③若''0()0,f x =则()f x 在0x 处是否取极值未知.

6、基本积分公式 （1）1

1,(1)1

a

a x dx x C a a +=

+≠-+?

，1ln ,dx x C x =+?

（2）1,ln x

x

x x a dx a C e dx e C a

=

+=+?

? （3）cos sin ,sin cos xdx x C xdx x C =+=-+??

（4）2

2

sec tan ,csc cot xdx x C xdx x C =+=-+?

?

， （5）sec tan sec ,csc cot csc x xdx x C x xdx x C =+=-+??

，

（6）

21

arctan 1dx x C x =++?，

（7）

arcsin x C =+

7、定积分的性质 1）规定： （1）()()()b

b b

a a

a

f x dx f u du f t dt ==?

??

（2）

()(),()0,()0b

a a b

a

b

a

b

f x dx f x dx f x dx f x dx =-==?

???特例:

2）线性性质 （1）[]()()()()b

b

b

a a a

f x

g x dx f x dx g x dx +=+???，

（2）()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =?

?，k 为常数

3）

1b

a

dx b a =-?

4）区间可加性：

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f u du f t dt =+?

??

注：不要求a c b <<，只要()c

a

f x dx ?

和()b

c

f x dx ?都存在就可以使用定积分的区间可加性.

5）比较定理：

（1）若在区间[,]a b 上恒有()()f x g x ≥，则有

()()b

b

a

a

f x dx

g x dx ≥?

?；

推论：（1）若在区间[,]a b 上恒有()0f x ≥，则有()0b a

f x dx ≥?

（2）

()()b

b

a

a

f x dx f x dx ≤?

?

（3）估值定理：

设M m 和为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值，则有：

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-?

（4）积分中值定理：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-?

8、微积分基本定理 1）内容：

（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，令()(),x

a

x f t dt a x b Φ=≤≤?

称为变上限积分（积

分上限函数）.

（2）变上限积分的导数：

定理：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分()()x

a

x f t dt Φ=

?

在[,]a b 上可导，

且()

()()(),x

a

x f t dt f x a x b '

'Φ=

=≤≤?

（3）牛顿——莱布尼兹公式：设()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则()()()b

a

f x dx F b F a =-?

2）计算导函数 （1）

()

()(),x

a

f t dt f x a x b '

=≤≤?

（2）

()

()(),b

x

f t dt f x a x b '

=-≤≤?

（3）[]()

()()()u x a f t dt f u x u x '??'=????

? （4）()

()()(())()(())()u x v x f t dt f u x u x f v x v x '

?

?''=-???

?

?

9、平面图形的面积

1）直角坐标系下平面图形的面积

()

b

a

f x dx

?

()

d

c

y dy

?

?

[]

()()

b

a

f x

g x dx

-

?

()

()

d

c

y y dy

φ?

-

??

??

?

2）极坐标系下平面图形的面积

在极坐标系下，由直线θα

=和θβ

=和曲线()

rρθ

=所围图形的面积为

2

1

()

2

S d

β

α

ρθθ

=?.

简单几何体的体积

1）平行截面面积已知立体图形的体积

立体在过点,

x a x b

==且垂直于x轴的两个平面之间，以()

S x表示过点x且垂直于x 轴的截面面积.

则所求立体的体积为：()b

a

V S x dx =?

2）旋转体的体积

由连续曲线()y f x =、直线,x a x b ==及x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体

.

该立体的体积为：2()b

a

V f x dx π=?

.

10、偏导数

设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y D ∈的某一邻域内有定义，把y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ?，相应的函数有增量0000(,)(,)z f x x y f x y ?=+?-，若极限

00000

(,)(,)

lim

x f x x y f x y x

?→+?-?

存在，则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处关于x 的偏导数存在，并定义此极限值为函数

(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对变量x 的偏导数，记作

000

,

,x x x x y y y y z

f x

x

====????0

00(,)x x x

x y y z f x y =='',.

类似地，可以定义函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对变量y 的偏导数

00000

(,)(,)

lim

y f x y y f x y y

?→+?-?，

记作

00000

000(,)

(,)(,)

,

,(,)y

y x y x y x y z f

z f x y y y

??''??,.

全微分：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-可表示为

z A x B y o

?=?+?+，

其中A 、B 仅依赖于(,)x y 而与x ?、y ?无关，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微，其中A x B y ?+?称为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记作dz ，即dz A x B y =?+?. 11、极值的充分条件：设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==.令

000000(,),(,),(,)xx

xy yy f x y A f x y B f x y C ''''''=== （1）若20AC B ->，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时取得极小值；当0A <时取得极大值.

（2）若20AC B -<，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点不能取到极值.

（3）若20AC B -=，则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值，也可能没有极值. 条件极值

1）函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ?=下的极值，称为条件极值，其中函数(,)z f x y =称为目标函数，(,)0x y ?=称为约束条件. 2）拉格朗日乘数法：

对条件极值给出解题方法：

（1）作拉格朗日函数：(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+

（2）解方程组：(,)(,)0(,)(,)0(,)0

x x x y y y L f x y x y L f x y x y x y λ?λ??'''?=+=?

'''=+=??

=?（本质是找三元函数(,,)L x y λ的驻点）

（3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值. 12、直角坐标与极坐标相互之间的转化公式 直角坐标与极坐标相互之间的转化公式为：

cos sin x y ρθ

ρθ=??

=?

，其中d d d d ρρθρρθ=?. 极坐标下二重积分计算公式：

(,)(cos ,sin )D

D

f x y dxdy f d d ρθρθρρθ=????

极坐标适用范围：积分区域边界为圆或与圆相关图形（扇形，环形等）；被积函数可写成

()22f x y +或被积函数中多次出现22

x y +.模棱两可时用极坐标.

对称性

ⅰ）若积分区域关于x 轴对称，且被积函数是关于变量y 的奇函数，则积分值为零；若积分区域关于x 轴对称，且被积函数是关于变量y 的偶函数，则积分值为等于第一二象限积分的两倍.

ⅱ）若积分区域关于y 轴对称，且被积函数是关于变量x 的奇函数，则积分值为零；若积分区域关于y 轴对称，且被积函数是关于变量x 的偶函数，则积分值为等于第一四象限积分的两倍.

ⅲ）特别地，若积分区域关于两个坐标轴都对称，被积函数关于两个变量都是偶函数，则积分值等于第一象限内的积分的四倍.

ⅳ）轮换对称性：若设将积分区域xy D 的变量,x y 交换之后的区域为yx D ，则有

(,)(,)xy

yx

D D f x y dxdy f y x dxdy =????.特别地，当xy D

关于直线

y x =对称时，xy yx D D =，此

时则有

(,)(,)xy

xy

D D f x y dxdy f y x dxdy =????.

13、球面坐标系下的三重积分计算：球面坐标通过三个变量式来确定三维空间中的点.其中ρ为点到原点的距离，确定了该距离后，该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上；

(02)θθπ≤≤和(0)??π≤≤是两个角度：将xoz 平面0x >部分的半平面逆时针旋转，

当旋转到经过该点时，所转过的角度即为θ，可见，θ的作用类似于地球仪上的经度；将该点与原点连接，该连线与z 轴正半轴的夹角即为?，可见?的作用类似于纬度（只不过这

个纬度是以南纬90度作为0度的）.它与直角坐标系的转换公式为sin cos sin sin cos x y z ρ?θρ?θρ?=??

=??=?

.

三重积分球面坐标转换公式：

2

(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin D

D

f x y z dxdydz f d d d ρ?θρ?θρ?ρ

?ρ?θ=??????

当被积函数中形如(

)222

f x y z

++或()f z ，积分区域为球体、锥体时，可考虑用球面坐

标.

14、对弧长的曲线积分计算方法: ①设曲线L 的参数式为()

,()

x x t t y y t αβ=?≤≤?

=?，则有计算公式：

(,)((),(L

f x y ds f x t y t β

α

=?

?

15、格林公式：设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有连

续的一阶偏导数，则有：

L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ??

??+=- ????

????，其中曲线L 取正向边界. 注：1）在运用时要注意检验(,)P x y 及(,)Q x y 是否具有所需的连续的一阶偏导数 2）L 是闭合的

3）正向定义：沿着曲线L 的方向走时，闭区域D 在其左手边 16、对面积的曲面积分的计算方法： 计算的原则是代入、投影

解题思路：首先将积分曲面转化为(,)z z x y =，再将dS

，最后再确定曲面∑在xoy 平面上的投影即可.

17、高斯定理：设空间闭区域Ω是由分块光滑的闭曲面∑围成的，函数

(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω??

???++=++ ?????

?????? 其中, ∑是关于Ω的外侧.

18、斯托克斯公式：设Γ是分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑有向曲面，∑与Γ的方向符合右手规则（当拇指以外的四指沿着Γ的方向运动时，拇指所指的方向与∑上法向量的指向一致），函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在∑上具有一阶连续偏导数，则有

R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑????????????++=-+-+- ? ? ??????????

??????. 19、二阶常系数线性微分方程的求解

若二阶线性微分方程'

''()()()y P x y Q x y f x ++=中函数(),()P x Q x 均恒为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.我们下面讨论这类方程的解法，也即形如

'''()y py qy f x ++=的方程的求解.

先求解二阶常系数齐次线性微分方程：'

''0y py qy ++= a. 写出'

''0y py qy ++=对应的特征方程2

0r pr q ++= b. 求出特征方程的两个根12,r r .

c. 根据12,r r 的不同形式，我们有如下的公式：

再求解二阶常系数非齐次线性微分方程：'

''()y py qy f x ++=

该方程的通解为*

1122C y C y y ++，其中1122C y C y +为齐次线性微分方程的通解，*y 为非齐次线性微分方程的特解.下面讨论*y 的求法

20、（比较审敛法） 设

1n

n u

∞

=∑与

1

n

n v

∞

=∑均为正项级数，若除了有限项以外，均有n n u v ≥成立，则若

1

n

n u

∞

=∑收敛则

1

n

n v

∞

=∑也收敛，若

1

n

n v

∞

=∑发散，则

1

n

n u

∞

=∑也发散.

推论1：设

1

n

n u

∞

=∑与

1n

n v

∞

=∑均为正项级数，假设存在0N >使得当n N >时有(0)

n n ku v k ≥>成立.则有，若

1

n

n u

∞

=∑收敛则

1n

n v

∞

=∑也收敛，若

1

n

n v

∞

=∑发散，则

1

n

n u

∞

=∑也发散.

推论2（极限形式）：设

1

n

n u

∞

=∑与

1

n

n v

∞

=∑均为正项级数，

当lim (0)n

n n

u l l v →∞=<<+∞时，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞

=∑同敛散 当lim 0n

n n u v →∞=时，若1n n v ∞=∑收敛则1n n u ∞=∑收敛.若1n n u ∞=∑发散则1n n v ∞

=∑发散 当lim n

n n

u v →∞=+∞时，若1n n u ∞=∑收敛则1n n v ∞=∑收敛.若1n n v ∞=∑发散则1n n u ∞

=∑发散 (3) p 级数

1

1

p n n ∞

=∑的收敛性：当1p >时收敛，当1p ≤时发散. 21、幂级数求和

(),n n n S x a x x D ∞

==∈∑，D 为收敛域．

利用1

,sin ,cos ,ln(1),

1x

e x x x x

+-的幂级数展开式求和． 分析运算在求幂级数的和函数时经常要用到，其方法是先逐项求导或逐项积分，将其变为几个已知和函数的幂级数，再求和． 幂级数间接展开法

常用函数的幂级数展开式：,sin ,cos ,ln(1),(1)x

e x x x x α

++.

通过求导或积分或拆分使)(x f 变成已知幂级数展开式函数的组合，把已知展开式带入.