高中数学拓展知识-对数表
对数表的历史
对数表的应用领域是极其广阔的，但对数表的编制也经历了一个漫长的过程。
早在公元前200年，古希腊数学家阿基米德（Archimedes ）就注意到表2-2中两数列之间的关系：
100 101 102 103 104 105 106 107 0
1
2
3
4
5
6
7
…
可以用下面数列中两数的加、减关系来替代上面数列中两数的乘、除关系，这样就把繁复的乘、除运算转化成简单的加、减运算。
在1544年，德国数学家施蒂费尔(Stifel ，1487－1567)在《整数的算术》中又重新发现了这个性质。
不过，Archimedes 和Stifel 的先驱性工作，成了Napier 发明对数的“巨人肩膀”。
在1594年，Napier 发明了对数，在1614年出版的《奇妙的对数定律说明书》中公布了他编制的间隔为1′的7位正弦对数表。
要编制对数表，先要解决选择底数的问题。我们已经学过换底公式
a
b
b c c a log log log
， 所以，只要选择合适的底数使对数表编制方便就可以了。 如果以a =10为底数，则有
表2-2
表2-3
b a log
0.0000 0.0001
0.0002
0.0003
?? b
1.0000
??
显然，这种对数表的真数多是无理数，使用起来很不方便。 如果以a =1010000为底数，则有
b a log
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ?? b
1.0000
101
102
103
??
显然，这种对数表的真数间隔很大，使用起来也不方便。 如果以a =1.000110000为底数，则有
b a log
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ?? b
1.0000
1.000100
1.000200
1.000300
??
显然，这种对数表的真数间隔已经小多了。
实际上，要使间隔更小，可以取底数1（1+）
n
a n
=，其中n>10000。 Napier 编制第一张对数表时选1000000)0000001.1(=a 。
纳皮尔的对数发表后，就得到英国数学家布里格斯(Briggs )的充分肯定和积极响应。他建议纳皮尔选用10来作为对数的底，因为这有利于对十进位的数取对数。
纳皮尔很赞成布里格斯的意见，然而他已有点力不从心了。制造对数表的任务后来便落在布里格斯及荷兰青年弗拉格(Vlacq )身上。他们终于完成了从1到100000，精确到14位的常用对数表。
表2-4
表2-5
依据这个表再配合对数运算律，我们就可估计所有正实数的对数值。
比如，计算152
lg.。
利用对数表（如表2-6）中，从最左一行( 直行) N底下找出15 ( 代表1.5 )，其次在最上面一列( 横列) N的右侧找到2，然后在15之横列与2的直行交汇处找到一数1818 ( 代表0.1818 )，则15201818
lg..
=。
比如，计算1526
lg.，
第一步，先查出前三个数字1.52的对数值15201818
lg..
=。
第二步，在15的横列与表尾差数字6的直行交会处找到数字3，
152018180001701835
lg....
=+=。
N0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
表尾差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
15
|
1818
|
17
表2-6
常用对数表
使用说明:
1、整数部分是一位非零数字。 计算 573.2lg 。
在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5。
0.4099+0.0005=0.4104， 所以4104.0573.2lg 。
2、整数部分不是一位非零数字的。用科学记数法表示N×10n
。 4104.44573.2lg )10573.2lg(25730lg 4
=+=?=， 5896.2)3(573.2lg )10573.2lg(002573.0lg 3-=-+=?=-。 3、查反对数时。正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置。
计算 6410410.
，
由0.4104查出573.2lg 4104.0=。则
2573000lg )10573.2lg(6573.2lg 4104.66=?=+=，
64104
10.
=2573000。 负的对数化负整数+正纯小数。再同样查。
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sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ． sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2 C ． cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin 2B sin 2C ． 15．a sinα＋b cosα＝22b a +sin （α＋φ），????????????+=+=2222s i n c o s b a b b a a ??， ＝22b a +cos （α－φ1），??? ? ????????+=+= 221221c o s s i n b a b b a a ??．
高中数学必修系列函数基础知识
高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题 ★角平分线定理 如下图所示，若P 为ABC ?中A ∠的内（外）角平分线与BC 的交点，则 PC BP AC AB = 。 【示例1】已知1F 、2F 分别为双曲线C ：127 92 2=-y x 的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)02(，，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF 。 【简答】：依据题意可得)0,6(1-F ，)0,6(2F ，因为AM 为21AF F ∠的平分线，且点M 的坐标为)02(，，所以由角平分线定理得 24 8 2 12 1== = MF M F AF AF ，即212AF AF =。 由双曲线的定义知6221==-a AF AF ，故可得62=AF 。 【示例2】已知I 是ABC ?的内心，2=AC ，3=BC ，4=AB ，若AC y AB x AI +=，则y x +的值为（ ） （A ） 31 （B ）32 （C ）94 （D ）9 5 【简答】：如上图所示，因为I 是ABC ?的内心，即AD 平分BAC ∠，BI 平分ABC ∠，所以由角平分线定理得 224===DC BD AC AB ，从而得23 2 ==BC BD 224===ID AI BD AB ，AD AI 3 2 = （评注：目的是为了确定I D ,的位置） 所以)32(32)(3232BC AB BD AB AD AI +=+== BC AB 9 4 32+= 9492)(9432+=-+= ，即3 2 9492=+=+y x ，故选B 。 【示例3】已知双曲线C ：122 22=-b y a x 的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ， 交另一条渐近线于N 。若=2，则双曲线的离心率=e 。 【简答】：如上图所示，因为)(2 2 2 b a c c OF +==，所以依据题意可得b MF =，a OM =，b FN 2=。 注意到，x 轴为MON ∠的平分线，所以由角平分线定理可得到 2 1 ==FN MF ON OM ，所以a ON 2= 进而在直角三角形OMN 中，由勾股定理可得2 2 2 )2()2(a b b a =++，即3 1 22=a b 所以3 3 2311122=+=+=a b e ★广义托勒密定理（不等式） 设ABCD 为任意凸四边形，则BD AC AD BC CD AB ?≥?+?，当且仅当D C B A ,,,四点共圆时取等号。 高考数学总复习基础知识手册 一、 集合与简易逻辑 基本考点 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．子集个数 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 非空的真子集有2n –2个. 6. 7. 8. 9.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 常用结论 1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性. 2.对集合A B 、，A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.? 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B =”；“并的补等于补的交，即 ()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”. 7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”. 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果. 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?. 8.充要条件 条件推结论为充分，结论反推条件为必要 二、 函 数 基础考点 1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： 2019年高中数学·拓展学习 数列 一、单调性： 1、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n n S b n =?* ()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 2、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ?????? 是递增数列；4α：数列{}2 n a 是递增数列．其中真命题的是 3、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =. (1）设对任意正整数n ，有1 () n b f n = ．若不等式12226 log (1)35 n n n b b b x +++++> +对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围． 二、新定义型： 1、（运算型）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 2、（方法型）设1210x x x ，，，为1210，， ，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） （A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64 3、（运算型）已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8) D. 4、（运算型）对于数列{}n a ，规定{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+?=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ?为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-?=?-?．若数列{}n a 的通项1 3 n n a -=，则 2122232n a a a a ?+?+?++?= 5、（运算型）以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以() 2 ,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2 m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以( )n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -???的分数集合n A ，其所有 元素和为n a ；则12n a a a ???+++=________. 6、（概念型）已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足： ① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素； ② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +?<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n n a b a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 7、（概念型）设)2(log 1+=+n a n n )(* ∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希 望数”的个数为 8、（匹配型）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足 ......321<<<< 欧拉公式 等式i e cos i sin θθθ=+称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula ）。 1714年，英国数学家科兹（1682－1716），首先发表了下述定理（用现代+， +， +， 在的展开式中把x 换成±ix . i =，4（）i ± 3423（1-+）（-+）!3!4!2!1!3! x x x x x i +±=±， ix e cos x i sin x ±=±， ix e cos x i sin x =+ (x R ∈)， 这个等式有一种直观的几何解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i 。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转2 π， 可以分别得到结果1，i ，-1，-i ，1， 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：θθsin cos i +。 根据欧拉公式 θθθsin cos i e i +=可以看出θi e 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以πi e 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。 用积分的方法也可以证明欧拉公式。 设复数()z cos x i sin x,x R =+∈，两边对x 求导数，得 2dz sin x i cos x i sin x i cos x i(cos x i sin x )iz dx =-+=+=+=， 分离变量并对两边积分，得 1即dz idx,ln z ix C z ==+??， 取0x =得0C =，故有ln z ix =，即ix e cos x i sin x =+。 欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事。欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职。一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。 “先生，10ｅi π+=，因此上帝存在。请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了。 图3-1 意味着单位向量逆时针旋转了π 原命题若p 则q 否命题 若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为 逆否 互逆否 互为逆否互互逆否 互第一章 集合与简易逻辑 一、集合知识 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质: ①U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C ②C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 6. 设集合A 中有n 个元素,则①A 的子集个数为n 2； ②A 的真子集个数为12-n ； ③A 的非空子集个数为12-n ；④A 的非空真子集个数为22-n . 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集 二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式的解集b ax >（)00<>a a 或分 ②一元二次不等式的解集)0(02>>++a c bx ax ：（大于取两边，小于取中间） ③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法 ???≠≥?≥>?>0 )(0 )()(0)() (; 0)()(0) ()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f （移项通分，不能去分母） 3.含绝对值不等式的解法 c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （将x 的系数化为正,大于取两边，小于取中间） 三．简易逻辑 1．构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )(一真则真)； p 且q(记作“p ∧q ” )（一假则假）；非p(记作“┑q ” )（真假相反） 。 2．四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 (原命题?逆否命题) 3、充要条件： 4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题
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