2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试(4月) 数学(理)试题(学生版)

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试

理科数学

本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回. 注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.

1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （ ） A. {2}

B. {1,0}-

C. {}1-

D. {1,0,1}-

2.已知复数z 满足

i z

1

1=-，则z =（ ） A.

1122i + B.

1122i - C. 1122

-+i

D. 1122

i --

3.已知向量a b (==r r

，则向量b r 在向量a r 方向上的投影为（ ）

A. C. 1-

D. 1

4.已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A. m ∥n m n ,,αβ?? B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C. m n m ,⊥∥,n α∥β

D. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.

103

B. 3

C. 83

D.

73

6.函数f x x 2()cos(2)3

π

=+的对称轴不可能为（ ） A. 6

5x π=-

B. 3

x π

=-

C. 6

x π

=

D. 3

x π

=

7.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2

()2f x x =，则(3)f =

（ ） A. 18-

B. 18

C. 2-

D. 2

8.已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936?=，则a a a 768

111++=（ ） A.

1318

B.

1318或1936

C.

13

9 D.

136

9.椭圆22

192

x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）

A. 150?

B. 135?

C. 120?

D. 90?

10.已知b

a b c a 0.212

1()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）

A. a b c <<

B. c a b <<

C. a c b <<

D. b c a <<

11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）

213

B.

413

C. 7

7

D.

47

12.已知12,F F 分别为双曲线22

22:1x y C a b

-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径

的圆经过点P ，若12PF F ?2

23，则双曲线的离心率为（ ） 3 B. 2

5 D. 3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.在()5

2x -的展开式中，3x 项的系数是__________（用数字作答）．

14.已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ .

15.若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2

π

α+的值等于______________ .

16.已知数列{}n a 的前n 项和n n S a 1

4

λ=-

+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则

f a f a f a 721222(lo

g )(log )(log )+++L L 的值等于_______________ .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17:21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

17.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c a b C C 3(sin 3)=+. （1）求角B 的大小； （2）若3

A π

=

，D 为ABC ?外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.

18.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.

某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占8

13

，统计成绩后得到如下22?列联表：

分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计

45

（1）请完成上面22?列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；

②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）

20()P K k ≥ 0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.

001

0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10828

（参考公式22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）

19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1

,602

==

∠=?，点,E F 分别为CD AP ,的中点.

（1）证明：PC ∥面BEF ；

（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求二面角F BE A --的

余弦值.

20.已知倾斜角为

4

π

的直线经过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点，且||8AB =.

（1）求抛物线C 的方程；

（2）设P 为抛物线C 上任意一点（异于顶点），过P 做倾斜角互补的两条直线1l 、2l ，交抛物线C 于另两点C 、D ，记抛物线C 在点P 的切线l 的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为β，求证：α与β互补. 21.已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；

（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根，求证：

12

11

42a x x +>-. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C

的参数方程为sin x y αα

?=?

?

=??（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26

π

ρθ+=.

（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；

（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2

AOB π

∠=

，射线,OA OB 交曲线2C 分别于

,D C ，求AOB ?面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.

23.已知,,a b c 均为正实数，函数()222

1114f x x x a b c =+

+-+的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥； （2）111

122ab bc ac

++≤.