2019年高考文科数学模拟试卷及答案(一)

2019年高考文科数学模拟试卷及答案（一）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)

1、设集合{}1 2 3 4U =，，，，集合{}2540A x x x =∈-+

A ．{}1 2，

B ．{}1 4，

C ．{}2 4，

D ．{}1 3 4，，

2、记复数z 的共轭复数为z ，若()1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（）

A ．2

B ．1

C ．22

D ．2

3、命题p:?x ∈N,x 3

A. p 假q 真

B. p 真q 假

C. p 假q 假

D. p 真q 真

4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）

A ．18

B ．20

C ．21

D ．25

5、已知 cos (π2+α)=35，且 α∈(π2,3π

2)，则 tanα=( )

A. 4

3 B. 3

4 C. ?3

4 D. ±3

4

6、已知 a ?=(1,2)，b ??=(0,1)，c ?=(k,?2)，若 (a ?+2b ??)⊥c ?，则 k =( )

A. 8

B.—8

C. 2

D. —2

7、执行如右图所示的程序框图，则输出 s 的值为 ( )

A. 10

B. 17

C. 19

D. 36

8、等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2=16x 的准线交于 A,B 两点，∣AB∣=4√3，则 C 的实轴长为 ( )

A. √2

B. 2√2

C. 4

D. 8

9、已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 cosC =2√23，bcosA +acosB =2，则 △

ABC 的外接圆面积为 ( ) A. 4π B. 6π C. 7π

D. 9π

10、一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）

A．3

126cm

B．3

46cm

C.3

272cm

D．3

92cm

11、已知f(x)=ax2+b

x (a>0,b>0)，曲线y=f(x)在点))1f(,1(处的切线经过点(3

2

,1

2

)，则

1 a +1

b

有( )

A. 最小值9

B. 最大值9

C. 最小值4

D. 最大值4

12、对实数a和b，定义运算“?”：a?b={

a,a?b≤1

b,a?b>1．设函数f(x)=(x

2?2)?(x?1)，x∈R．若函数y=f(x)?c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )

A.(?1,1]∪(2,+∞)

B.[?2,?1]

C. (?∞,?2)∪(1,2]

D. (?2,?1]∪(1,2]

二、填空题（共4小题；共20分）

13、设变量x，y满足约束条件{

x+y≤2

x?y≥0

y≥?1

,则目标函数z=2x+y的最大值为．

14、已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为

15、已知圆C:(x?1)2+(y?2)2=2，则圆C被动直线l:kx?y+2?k=0所截得的弦长是 .

16、如图，直三棱柱

111

ABC A B C

-的六个顶点都在半径为1的半球面上，

AB AC

=，侧面

11

BCC B是半球

底面圆的内接正方形，则侧面

11

ABB A的面积为．

三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+π11π

[]324x ∈，．

（1）求函数()f x 的值域；（2）已知锐角ABC △的两边长分别为函数()f x 的最大值与最小值，

且ABC △的外接圆半径为4

，求ABC △的面积．

18、（本小题满分12分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）： 女性消费情况：

（1求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；

（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22?列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”

网购达人 非网购达

人

总计

附：（2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）

20()P k k ≥

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，

2SA AB ==，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ． （1）求证:SB ∥平面ACM ； （2）求点C 到平面AMN 的距离．

20、（本小题满分12分）椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12F F ，．

（1）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；

（2）若椭圆E 过点()02A -，

，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点B C ，，且ABC △的面积为509

c

，求椭圆E 的方程．

21、（本小题满分12分）已知函数 f (x )=kx ?(k +1)lnx ?1

x ． （1）当 k =1

时，求函数 f (x ) 的单调区间和极值；

（2）求证：当 01 在区间 [1,e ] 上无解．（e =2.71828?）

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy

中，直线:2x t l y t =???=??（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；

（2

）已知点(0A ，直线l 与曲线C 相交于点M N 、，求11

AM AN

+的值．

23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|31|3f x x ax =-++． （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；

（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围．

参考答案

1. B

2. A

3. A

4. C

5. B

6.A

7. C

8. C 9. B 10. D 11. A 12. D

13. 514. 7 15. 2√216. 2

17.（1

）2π()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x =+=- 又π11π

324x ≤≤，

∴ππ7π23312x -≤≤

，∴

π

sin(2)123x -≤，∴函数()f x

的值域为2]． （2

）依题意不妨设2a b ABC ==，△

的外接圆半径4

r =

，

1sin cos sin cos 2233

22

a b A A B B r r =

=======，

sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=

，

∴11sin 2223

ABC S ab C =

=?=△ 18. （1）按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名． ∴80(5101547)3x =-+++=，20(23102)3y ==+++=

抽取的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A ，B ，C ； 两位男性设为a ，b ．

从5名任意选2名，总的基本事件有(,)A B ，(,)A C ，(,)A a ，(,)A b (,)B C ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，

(,)C b ，(,)a b ，共10个．

设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件A ”．

则事件包含的基本事件有(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b 共6个． ∴63

(A)105

P =

=． （2）22?列联表如下表：

则2

()100(5015305)9.091 6.635()()()()80205545

n ad bc k a b c d a c b d -?-?=

=≈>++++???，且2( 6.635)0.010P k =≥．

所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别无关”．

19. （1）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．

∵ABCD 是正方形，∴E 是BD 的中点．∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB △的中位线．∴ME SB ∥． 又∵ME ?平面ACM ，SB ?平面ACM ，∴SB ∥平面ACM ． （2）由条件有DC SA DC DA ⊥⊥，，∴DC ⊥平面SAD ，∴AM DC ⊥．

又∵SA AD M =，是SD 的中点，∴AM SD ⊥．∴AM ⊥平面SDC ．∴SC AM ⊥．

由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面AMN ．于是CN ⊥面AMN ，则CN 为点C 到平面AMN 的距离， 在Rt SAC △

中，2SA AC SC ====，

于是23AC CN SC CN =??=

，∴点C 到平面AMN

的距离为3

． 20.（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，

∴2b a c =+，22242b a ac c =++，()

222242a c a ac c -=++， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a -得，25230e e +-=，解得3

5

c e a =

=． （2）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c =-代入椭圆方程22

214x y a +

=，得()222220a c x a cx +-=， ∴()22222422

c c a c

x a c c +==++．∴()22

42c c C y c ??+ ? ?+??，． 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：

()()2

22241222222c c S x y x c c c ??+??=?+==+????，∴()2

2

24250

29

c c c c c ??+??=-+????

，解得21c =，∴25a =．

故所求椭圆的方程为22

154

x y +

=． 21. （1） 因为 f (x )=kx ?(k +1)lnx ?1

x ， 所以 f?(x )=k ?k+1x

+1

x 2=

kx 2?(k+1)x+1

x 2

，当 k =1

2 时，f?(x )=

1

2

(x?2)(x?1)x ．

令 f?(x )=

1

2

(x?2)(x?1)x 2

=0，得 x 1=1，x 2=2，

所以 f?(x )，f (x ) 随 x 的变化情况如下表：

所以 f (x ) 在 x =1 处取得极大值，极大值为 f (1)=?1

2， 在 x =2 处取得极小值，极小值为 f (2)=12?3

2ln2． 函数 f (x ) 的单调递增区间为 (0,1)，(2,+∞)， f (x ) 的单调递减区间为 (1,2)．

（2） “不等式 f (x )>1 在区间 [1,e ] 上无解”等价于“f (x )≤1 在区间 [1,e ] 上恒成立”，即函数 f (x ) 在区间 [1,e ] 上的最大值小于或等于 1．由（1）可得 f?(x )=k(x?1k

)(x?1)

x ，令 f?(x )=0，得

x 1=1

k ，x 2=1．

因为 0

k >1．当 1

k ≥e 时，f?(x )≤0 对 x ∈[1,e ] 成立，则函数 f (x ) 在区间 [1,e ] 上单调递减，

所以函数 f (x ) 在区间 [1,e ] 上的最大值为 f (1)=k ?1<1，所以不等式 f (x )>1 在区间 [1,e ] 上无解；

当 1<1

k

)?

1e

．

因为 f (e )?1=ke ?(k +1)?1

e ?1=k (e ?1)?2?1

e <(e ?1)?2?1

e =e ?3

?1

e <

0，所以 f (e

)<1．

综上，当 01 在区间 [1,e ] 上无解． 22. （1）2222cos sin 40ρθρθ-+=2222404x y y x ?-+=?-=；

（2）将直线l 的参数方程化为标准形式：x y ???

??==??

，（t 为参数），

代入曲线C 的方程得234105t t ++=，则

12121211114t t AM AN t t t t ++=+==．

23. （1）1a =时，()|31|34f x x x =-++≤，即|31|1x x --≤，

1311x x x ---≤≤，解得102x ≤≤，所以解集为1

[0]2

，．

（2）因为1(3)23

()1(3)43a x x f x a x x ?

++??=?

?-+<

??

，≥，，所以()f x 有最小值的充要条件为3030a a +??-?≥≤， 即33a -≤≤．